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课下层级训练六 函数的奇偶性与周期性[A级 基础强化训练]1.2019·山东滨州月考下列函数中,既是偶函数又在区间12内单调递减的是 A.fx= B.fx=C.fx=2x+2-xD.fx=-cosxB [对于A,偶函数与单调递减均不满足;对于B,符合题意;对于C,不满足单调递减;对于D,不满足单调递减.]2.2019·河北邯郸月考已知fx为定义在R上的奇函数,当x≥0时,fx=2x+m,则f-2= A.-3B.-C.D.3A [由fx为R上的奇函数,知f0=0,即f0=20+m=0,解得m=-1,则f-2=-f2=-22-1=-
3.]3.2019·甘肃天水月考已知fx=,则下列正确的是 A.奇函数,在R上为增函数B.偶函数,在R上为增函数C.奇函数,在R上为减函数D.偶函数,在R上为减函数A [定义域为R,∵f-x==-fx,∴fx是奇函数,∵ex是R上的增函数,-e-x也是R上的增函数,∴是R上的增函数.]4.2019·辽宁抚顺模拟已知fx在R上是奇函数,且满足fx+4=fx,当x∈02时,fx=2x2,则f7= A.2B.-2C.-98D.98B [因为fx+4=fx,所以函数fx的周期T=4,又fx在R上是奇函数,所以f7=f-1=-f1=-
2.]5.定义在R上的偶函数fx,对任意x1,x2∈[0,+∞x1≠x2,有0,则 A.f3f-2f1B.f1f-2f3C.f-2f1f3D.f3f1f-2A [由题意知fx为偶函数,所以f-2=f2,又x∈[0,+∞时,fx为减函数,且321,∴f3f2f1,即f3f-2f1.]6.2019·河南洛阳月考设函数fx是定义在R上周期为2的偶函数,当x∈
[01]时,fx=x+1,则f=________. [依题意得,f2+x=fx,f-x=fx,则f=f=f=+1=.]7.2019·贵州适应性考试已知fx是奇函数,gx=.若g2=3,则g-2=__________.-1 [由题意可得g2==3,则f2=1,又fx是奇函数,则f-2=-1,所以g-2===-
1.]8.设定义在R上的函数fx同时满足以下条件
①fx+f-x=0;
②fx=fx+2;
③当0≤x1时,fx=2x-1,则f+f1+f+f2+f=__________.-1 [依题意知函数fx为奇函数且周期为2,则f1+f-1=0,f-1=f1,即f1=
0.∴f+f1+f+f2+f=f+0+f+f0+f=f-f+f0+f=f+f0=2-1+20-1=-
1.]9.设fx是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且f1+x=f1-x,当-1≤x≤0时,fx=-x.1判断fx的奇偶性;2试求出函数fx在区间[-12]上的表达式.解 1∵f1+x=f1-x,∴f-x=f2+x.又fx+2=fx,∴f-x=fx.又fx的定义域为R,∴fx是偶函数.2当x∈
[01]时,-x∈[-10],则fx=f-x=x;从而当1≤x≤2时,-1≤x-2≤0,fx=fx-2=-x-2=-x+
2.故fx=[B级 能力提升训练]10.2019·广东惠州模拟已知函数fx是R上的偶函数,gx是R上的奇函数,且gx=fx-1,若f3=3,则f2019的值为 A.3B.0C.-3D.±3A [因为g-x=f-x-1,所以-gx=fx+1.又gx=fx-1,所以fx+1=-fx-1,所以fx+2=-fx,fx+4=-fx+2=fx,则fx是以4为周期的周期函数,所以f2019=f3=
3.]11.2019·河北邢台月考已知fx是定义在R上的偶函数,且fx+1=-fx,若fx在[-10]上单调递减,则fx在
[13]上是 A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数D [根据题意,∵fx+1=-fx,∴fx+2=-fx+1=fx,∴函数的周期是2;又fx在定义域R上是偶函数,在[-10]上是减函数,∴函数fx在
[01]上是增函数,∴函数fx在
[12]上是减函数,在
[23]上是增函数,∴fx在
[13]上是先减后增的函数.]12.2018·甘肃兰州期中对任意实数x,定义[x]为不大于x的最大整数例如[
3.4]=3,[-
3.4]=-4等,设函数fx=x-[x],给出下列四个结论
①fx≥0;
②fx<1;
③fx是周期函数;
④fx是偶函数.其中正确结论的序号是__________.
①②③ [由题意有[x]≤x<[x]+1,∴fx=x-[x]≥0,且fx<1,∴
①②正确;∵fx+1=x+1-[x+1]=x+1-[x]+1=x-[x]=fx,∴fx为周期函数,即
③正确;∵f-
0.1=-
0.1-[-
0.1]=-
0.1--1=
0.9,f
0.1=
0.1-[
0.1]=
0.1-0=
0.1≠f-
0.1,∴fx不是偶函数,故
④不正确.]13.2019·山东淄博月考已知fx是定义域-11的奇函数,而且fx是减函数,如果fm-2+f2m-3>0,那么实数m的取值范围是__________. [∵fx是定义域-11的奇函数,∴-1<x<1,f-x=-fx.∵fx是减函数,∴fm-2+f2m-3>0可转化为fm-2>-f2m-3,∴fm-2>f-2m+3,∴∴1<m<.]14.设函数fx是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f=-f成立.1证明y=fx是周期函数,并指出其周期;2若f1=2,求f2+f3的值;3若gx=x2+ax+3,且y=|fx|·gx是偶函数,求实数a的值.1证明 由f=-f,且f-x=-fx,知f3+x=f=-f=-f-x=fx,所以y=fx是周期函数,且T=3是其一个周期.2解 因为fx为定义在R上的奇函数,所以f0=0,且f-1=-f1=-2,又T=3是y=fx的一个周期,所以f2+f3=f-1+f0=-2+0=-
2.3解 因为y=|fx|·gx是偶函数,且|f-x|=|-fx|=|fx|,所以|fx|为偶函数.故gx=x2+ax+3为偶函数,即g-x=gx恒成立,于是-x2+a-x+3=x2+ax+3恒成立.于是2ax=0恒成立,所以a=
0.。