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课下层级训练三十四 合情推理与演绎推理[A级 基础强化训练]1.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明“cos4θ-sin4θ=cos2θ-sin2θcos2θ+sin2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ”过程应用了 A.分析法 B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法B [结合推理及分析法和综合法的定义可知,B正确.]2.给出下列三个类比结论
①abn=anbn与a+bn类比,则有a+bn=an+bn;
②logaxy=logax+logay与sinα+β类比,则有sinα+β=sinαsinβ;
③a+b2=a2+2ab+b2与a+b2类比,则有a+b2=a2+2a·b+b
2.其中正确结论的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3B [a+bn≠an+bnn≠1,a·b≠0,故
①错误.sinα+β=sinαsinβ不恒成立,如α=30°,β=60°,sin90°=1,sin30°·sin60°=,故
②错误.由向量的运算公式知
③正确.]3.某人进行了如下的“三段论”如果f′x0=0,则x=x0是函数fx的极值点,因为函数fx=x3在x=0处的导数值f′0=0,所以x=0是函数fx=x3的极值点.你认为以上推理的 A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确A [若f′x0=0,则x=x0不一定是函数fx的极值点,如fx=x3,f′0=0,但x=0不是极值点,故大前提错误.]4.对于数25,规定第1次操作为23+53=133,第2次操作为13+33+33=55,如此反复操作,则第2014次操作后得到的数是 A.25B.250C.55D.133D [由题意知,第3次操作为53+53=250,第4次操作为23+53+03=133,第5次操作为13+33+33=55,….因为每次操作后的得数呈周期排列,且周期为3,又2014=671×3+1,故第2014次操作后得到的数是
133.]5.若数列{an}是等差数列,则数列{bn}也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则dn的表达式应为 A.dn=B.dn=C.dn=D.dn=D [若{an}是等差数列,则a1+a2+…+an=na1+d,∴bn=a1+d=n+a1-,即{bn}为等差数列;若{cn}是等比数列,则c1·c2·…·cn=c·q1+2+…+n-1=c·q,∴dn==c1·q,即{dn}为等比数列.]6.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示,按照图中的规律,第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为__________.6n+2 [由题意知,第1个图中有8根火柴棒,第2个图中有8+6根火柴棒,第3个图中有8+2×6根火柴棒,……,依此类推,第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为8+6n-1=6n+
2.]7.已知x∈0,+∞,观察下列各式x+≥2,x+=++≥3,x+=+++≥4,…,类比得x+≥n+1n∈N*,则a=__________.nn [第一个式子是n=1的情况,此时a=11=1;第二个式子是n=2的情况,此时a=22=4;第三个式子是n=3的情况,此时a=33=27,归纳可知a=nn.]8.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说我没去过C城市;丙说我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为__________.A [由甲、乙的回答易知甲去过A城市和C城市,乙去过A城市或B城市,结合丙的回答可得乙去过A城市.]9.在锐角三角形ABC中,求证sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.证明 ∵△ABC为锐角三角形,∴A+B>,∴A>-B,∵y=sinx在上是增函数,∴sinA>sin=cosB,同理可得sinB>cosC,sinC>cosA,∴sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.10.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.1若a,b,c成等差数列,证明sinA+sinC=2sinA+C;2若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.1证明 ∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.∵sinB=sin[π-A+C]=sinA+C,∴sinA+sinC=2sinA+C.2解 ∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.由余弦定理得cosB==≥=,当且仅当a=c时等号成立.∴cosB的最小值为.[B级 能力提升训练]11.2018·宁夏银川期末将正整数排列如下12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则图中数2016出现在 A.第44行第81列B.第45行第81列C.第44行第80列D.第45行第80列D [由题意可知第n行有2n-1个数,则前n行的数的个数为1+3+5+…+2n-1=n2,因为442=1936452=2025,且1936<2016<2025,所以2016在第45行,又第45行有2×45-1=89个数,2016-1936=80,故2016在第45行第80列.]12.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程=x确定x=2,则1+= A.B.C.D.C [设1+=x,即1+=x,即x2-x-1=0,解得x=x=舍,故1+=.]13.2016·全国卷Ⅱ有三张卡片,分别写有1和21和32和
3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是__________.1和3 [由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”可知,丙为“1和2”或“1和3”,又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,所以乙只可能为“2和3”,所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,所以甲只能为“1和3”.]14.2019·浙江绍兴月考已知cos=,coscos=,coscoscos=,……1根据以上等式,可猜想出的一般结论是__________;2若数列{an}中,a1=cos,a2=coscos,a3=coscoscos,…,前n项和Sn=,则n=__________.1coscos·…·cos=n∈N* 210 [1从题中所给的几个等式可知,第n个等式的左边应有n个余弦相乘,且分母均为2n+1,分子分别为π,2π,…,nπ,右边应为,故可以猜想出结论为cos·cos·…·cos=n∈N*.2由1可知an=,故Sn==1-==,解得n=
10.]15.在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,求证=+,那么在四面体ABCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.解 如图,由射影定理得AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=DC·BC,故+=+===.在四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,AH⊥底面BCD,垂足为H.则=++.证明连接BH并延长交CD于E,连接AE.∵AB,AC,AD两两垂直,∴AB⊥平面ACD,又∵AE⊂平面ACD,∴AB⊥AE,在Rt△ABE中,=+
①又易证CD⊥AE,故在Rt△ACD中,=+
②把
②式代入
①式,得=++.16.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
④sin2-18°+cos248°-sin-18°cos48°;
⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°.1试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;2根据1的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解 1选择
②式,计算如下sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=.2三角恒等式为sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=. 证明如下法一sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=sin2α+cos30°cosα+sin30°sinα2-sinαcos30°cosα+sin30°sinα=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.法二sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=+-sinαcos30°cosα+sin30°sinα=-cos2α++cos60°cos2α+sin60°sin2α-sinαcosα-sin2α=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-1-cos2α=1-cos2α-+cos2α=.。