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课下层级训练二十五 平面向量的基本定理及向量的坐标运算[A级 基础强化训练]1．2019·河南郑州联考设平面向量a＝－10，b＝02，则2a－3b等于 A．63 B．－2，－6C．21D．72B [2a－3b＝－20－06＝－2，－6．]2．已知点A－15和向量a＝23，若＝3a，则点B的坐标为 A．74B．714C．54D．514D [设点B的坐标为x，y，则＝x＋1，y－5．由＝3a，得解得故点B的坐标为514．]3．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝12，b＝m3m－2，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μbλ，μ为实数，则实数m的取值范围是 A．－∞，2B．2，＋∞C．－∞，＋∞D．－∞，2∪2，＋∞D [由题意知向量a，b不共线，故2m≠3m－2，即m≠
2.]4．2018·安徽马鞍山期末已知向量a＝21，b＝34，c＝1，m，若实数λ满足a＋b＝λc，则λ＋m等于 A．5 B．6 C．7 D．8B [由平面向量的坐标运算法则可得a＋b＝55，λc＝λ，λm，据此有解得λ＝5，m＝1，∴λ＋m＝
6.]5．2019·贵州适应性考试已知向量a＝24，b＝－11，c＝23，若a＋λb与c共线，则实数λ＝ A．B．－C．D．－B [由已知得a＋λb＝2－λ，4＋λ，因为向量a＋λb与c共线，设a＋λb＝mc，所以解得]6．2019·河南三市联考已知点A13，B4，－1，则与同方向的单位向量是__________. [＝－＝4，－1－13＝3，－4，∴与同方向的单位向量为＝.]7．如图，已知□ABCD的边BC，CD上的中点分别是M，N，且＝e1，＝e2，若＝xe2＋ye1x，y∈R，则x＋y＝__________. [设＝a，＝b，则＝a，＝－b.由题意得解得∴＝e2－e
1.故x＝，y＝－，∴x＋y＝.]8．已知向量a＝12，b＝x1，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为__________. [因为a＝12，b＝x1，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝12＋2x1＝2x＋14，v＝212－x1＝2－x3．又因为u∥v，所以32x＋1－42－x＝0，即10x＝5，解得x＝.]9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，.解 ＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，＝＋＝－b＋＝b－a，＝＋＝－b－＝a－b.10．平面内给定三个向量a＝32，b＝－12，c＝41．1求满足a＝mb＋nc的实数m，n；2若a＋kc∥2b－a，求实数k.解 1由题意得32＝m－12＋n41，所以解得2a＋kc＝3＋4k2＋k，2b－a＝－52，由题意得2×3＋4k－－5×2＋k＝0，解得k＝－.[B级 能力提升训练]11．已知点A23，B45，C710，若＝＋λλ∈R，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为 A．B．－C．D．－B [设Px，y，则由＝＋λ，得x－2，y－3＝22＋λ5，7＝2＋5λ，2＋7λ，∴x＝5λ＋4，y＝7λ＋
5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－27λ＋5＝0，解得λ＝－.]12．在平面直角坐标系xOy中，已知A10，B01，C为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC＝，|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝ A．2B．C．2D．4A [因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C，，又因为＝λ＋μ，所以，＝λ10＋μ01＝λ，μ，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝
2.]13．已知A－30，B0，，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为__________.1 [由题意知＝－30，＝0，，则＝－3λ，，由∠AOC＝30°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，所以tan150°＝，即－＝－，所以λ＝
1.]14．2019·浙江杭州五校联考在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，P为矩形内一点，且AP＝，若＝λ＋μλ，μ∈R，则λ＋μ的最大值为__________. [建立如图所示的平面直角坐标系，设Px，y，B，0，C，，D0，．∵AP＝，∴x2＋y2＝.点P满足的约束条件为∵＝λ＋μλ，μ∈R，∴x，y＝λ，0＋μ0，，∴ ∴x＋y＝λ＋μ.∵x＋y≤＝＝，当且仅当x＝y时取等号，∴λ＋μ的最大值为.]15．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.1求△ABM与△ABC的面积之比；2若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．解 1由＝＋，可知M，B，C三点共线．如图，设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ－＝1－λ＋λ，所以λ＝，所以＝，即△ABM与△ABC的面积之比为1∶
4.2由＝x＋y，得＝x＋，＝＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒⇒。
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