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“空间位置关系”双基过关检测
一、选择题1.设三条不同的直线l1,l2,l3,满足l1⊥l3,l2⊥l3,则l1与l2 A.是异面直线B.是相交直线C.是平行直线D.可能相交、平行或异面解析选D 如图所示,在正方体ABCDEFGH中,AB⊥AD,AE⊥AD,则AB∩AE=A;AB⊥AE,AE⊥DC,则AB∥DC;AB⊥AE,FH⊥AE,则AB与FH是异面直线,故选D.2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列几种说法正确的是 A.A1B∥D1B1B.AC1⊥B1CC.A1B与平面DD1B1B成45°角D.A1B与B1C成30°角解析选B 易知四边形BDD1B1是平行四边形,所以DB∥D1B1,又因为A1B与DB相交,所以A1B与D1B1是异面直线,故A错误;连接A1C1交B1D1于点O,连接BO,易知A1C1垂直平面DD1B1B,所以A1B与平面DD1B1B成30°角,故C错误;连接A1D,则三角形A1BD是等边三角形,且A1D∥B1C,则A1B与B1C成60°角,故D错误,选B.3.已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β,则下列命题中正确的是 A.若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥nB.若m∥α,n⊥β,α⊥β,则m∥nC.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥nD.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n解析选D 若m∥α,n∥β,α∥β,则m与n平行或异面,即A错误;若m∥α,n⊥β,α⊥β,则m与n相交或平行或异面,即B错误;若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m与n相交、平行或异面,即C错误,故选D.
4.2018·广东模拟如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论
①BE与CF异面;
②BE与AF异面;
③EF∥平面PBC;
④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的个数是 A.1 B.2C.3D.4解析选B 画出该几何体,如图,因为E,F分别是PA,PD的中点,所以EF∥AD,所以EF∥BC,BE与CF是共面直线,故
①不正确;
②BE与AF满足异面直线的定义,故
②正确;
③由E,F分别是PA,PD的中点,可知EF∥AD,所以EF∥BC,因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC,故
③正确;
④因为BE与PA的关系不能确定,所以不能判定平面BCE⊥平面PAD,故
④不正确.故选B.
5.如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出下列五个结论
①PD∥平面AMC;
②OM∥平面PCD;
③OM∥平面PDA;
④OM∥平面PBA;
⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数有 A.1B.2C.3D.4解析选C 因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,所以O为BD的中点.在△PBD中,M是PB的中点,所以OM是△PBD的中位线,OM∥PD,则PD∥平面AMC,OM∥平面PCD,且OM∥平面PDA.因为M∈PB,所以OM与平面PBA、平面PBC相交.6.2018·余姚模拟如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是 A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行解析选D 如图,连接C1D,在△C1DB中,MN∥BD,故C正确;∵CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴CC1⊥BD,∴MN与CC1垂直,故A正确;∵AC⊥BD,MN∥BD,∴MN与AC垂直,故B正确,故选D.
7.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是 A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥ABEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等解析选D 因为AC⊥平面BDD1B1,BE⊂平面BDD1B1,所以AC⊥BE,A项正确;根据线面平行的判定定理,知B项正确;因为三棱锥的底面△BEF的面积是定值,且点A到平面BDD1B1的距离是定值,所以其体积为定值,C项正确;很显然,点A和点B到EF的距离不相等,故D项错误.8.2018·福州质检在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与直线A1B1,EF,BC都相交的直线 A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条解析选D 在EF上任意取一点M,直线A1B1与M确定一个平面,这个平面与BC有且仅有1个交点N,当M的位置不同时确定不同的平面,从而与BC有不同的交点N,而直线MN与A1B1,EF,BC分别有交点P,M,N,如图,故有无数条直线与直线A1B1,EF,BC都相交.
二、填空题9.如图所示,平面α,β,γ两两相交,a,b,c为三条交线,且a∥b,则a,b,c的位置关系是________.解析∵a∥b,a⊂α,b⊄α,∴b∥α.又∵b⊂β,α∩β=c,∴b∥c.∴a∥b∥c.答案a∥b∥c10.2018·天津六校联考设a,b为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,给出下列命题
①若a∥α且b∥α,则a∥b;
②若a⊥α且a⊥β,则α∥β;
③若α⊥β,则一定存在平面γ,使得γ⊥α,γ⊥β;
④若α⊥β,则一定存在直线l,使得l⊥α,l∥β.其中真命题的序号是________.解析
①中a与b也可能相交或异面,故不正确.
②垂直于同一直线的两平面平行,正确.
③中存在γ,使得γ与α,β都垂直,正确.
④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以,正确.答案
②③④11.如图所示,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线D1E和A1F所成角的余弦值等于________.解析取BB1的中点G,连接FG,A1G,易得A1G∥D1E,则∠FA1G是异面直线D1E和A1F所成角或补角,易得A1F=A1G=,FG=,在三角形FA1G中,利用余弦定理可得cos∠FA1G==.答案12.2017·全国卷Ⅲa,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________.填写所有正确结论的编号解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,又AC⊥a,AC⊥b,AC⊥圆锥底面,∴在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b,连接AD,设BC=1,在等腰△ABD中,AB=AD=,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=,又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,EF,∴BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,故
②正确,
①错误.由最小角定理可知
③正确;很明显,可以满足平面ABC⊥直线a,∴直线AB与a所成角的最大值为90°,
④错误.∴正确的说法为
②③.答案
②③
三、解答题
13.在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°,设AA1=a.1求a的值;2求三棱锥B1A1BC的体积.解1∵BC∥B1C1,∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角,即∠A1BC=60°.又AA1⊥平面ABC,AB=AC,则A1B=A1C,∴△A1BC为等边三角形,由AB=AC=1,∠BAC=90°⇒BC=,∴A1B=⇒=⇒a=
1.2∵CA⊥A1A,CA⊥AB,A1A∩AB=A,∴CA⊥平面A1B1B,∴VB1A1BC=VCA1B1B=××1=.14.如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点.1证明直线EE1∥平面FCC1;2证明平面D1AC⊥平面BB1C1C.证明1∵F是AB的中点,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,∴AF綊CD,∴四边形AFCD为平行四边形,∴CF∥AD.又ABCDA1B1C1D1为直四棱柱,∴C1C∥D1D.而FC∩C1C=C,D1D∩DA=D,∴平面ADD1A1∥平面FCC
1.∵EE1⊂平面ADD1A1,∴EE1∥平面FCC
1.2在直四棱柱中,CC1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴CC1⊥AC,∵底面ABCD为等腰梯形,AB=4,BC=2,F是棱AB的中点,∴CF=AD=BF=2,∴△BCF为正三角形,∠BCF=∠CFB=60°,∠FCA=∠FAC=30°,∴AC⊥BC.又BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C,∴AC⊥平面BB1C1C,而AC⊂平面D1AC,∴平面D1AC⊥平面BB1C1C.。