全国通用版2019版高考数学一轮复习第十一单元空间位置关系高考达标检测三十平行问题3角度--线线线面面面理

高考达标检测

（三十）平行问题3角度——线线、线面、面面

一、选择题1．2018·惠州模拟设直线l，m，平面α，β，则下列条件能推出α∥β的是　　A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m解析选C　借助正方体模型进行判断．易排除选项A、B、D，故选C.

2.如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，下列直线与平面AD′C平行的是　　A．B′C′　　　　　　　　B．A′BC．A′B′D．BB′解析选B　连接A′B，∵A′B∥CD′，CD′⊂平面AD′C，∴A′B∥平面AD′C.3．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是　　A．m∥l1且n∥l2B．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且l1∥α解析选A　由m∥l1，m⊂α，l1⊂β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．4．2018·福州模拟已知直线a，b异面，给出以下命题

①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；

②一定存在平行于a的平面α使b∥α；

③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；

④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．则其中命题正确的是　　A．

①④B．

②③C．

①②③D．

②③④解析选D　对于

①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此

①不正确；对于

②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此

②正确；对于

③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此

③正确；对于

④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，因此

④正确．综上所述，

②③④正确．5．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题

①没有水的部分始终呈棱柱形；

②水面EFGH所在四边形的面积为定值；

③棱A1D1始终与水面所在平面平行；

④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．其中正确命题的个数是　　A．1B．2C．3D．4解析选C　由题图，显然

①是正确的，

②是错误的；对于

③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，∴A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH水面．∴

③是正确的；对于

④，∵水是定量的定体积V，∴S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V.∴BE·BF＝定值，即

④是正确的，故选C.6．2018·合肥模拟在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是　　A．平行B．相交C．在平面内D．不能确定解析选A　如图，由＝得AC∥EF.又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF.

二、填空题7．有下列四个命题，其中正确命题的序号是________．

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；

③若平面α与平面β平行，直线l在平面α内，则l∥β；

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．解析

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故

①错误；

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行或异面，故

②错误；

③由面面平行的定义可知，

③正确；

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点，故

④正确．答案

③④8．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.解析如图所示，假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.答案Q为CC1的中点9．如图，在四棱锥V­ABCD中，底面ABCD为正方形，E，F分别为侧棱VC，VB上的点，且满足VC＝3EC，AF∥平面BDE，则＝________.解析连接AC交BD于点O，连接EO，取VE的中点M，连接AM，MF，由VC＝3EC⇒VM＝ME＝EC，又AO＝CO⇒AM∥EO⇒AM∥平面BDE，又由题意知AF∥平面BDE，且AF∩AM＝A，∴平面AMF∥平面BDE⇒MF∥平面BDE⇒MF∥BE⇒VF＝FB⇒＝

2.答案2

三、解答题

10.如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝

2.1求证AB1∥平面BC1D；2设BC＝3，求四棱锥B­AA1C1D的体积．解1证明连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD.∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB

1.∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.2∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C.∵平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C.∵AB＝AA1＝2，BC＝3，AB⊥BC，∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝，∴BE＝＝，∴四棱锥B­AA1C1D的体积V＝×A1C1＋AD·AA1·BE＝××2×＝

3.11．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC.若BE＝1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且＝λ，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．解AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF，此时λ＝.理由如下当λ＝时，＝，可知＝，如图，过点P作MP∥FD交AF于点M，连接EM，PC，则有＝＝，又BE＝1，可得FD＝5，故MP＝3，又EC＝3，MP∥FD∥EC，所以MP綊EC，故四边形MPCE为平行四边形，所以CP∥ME，又CP⊄平面ABEF，ME⊂平面ABEF，所以CP∥平面ABEF.

12.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，E为PA的中点，∠BAD＝60°.1求证PC∥平面EBD；2求三棱锥P­EDC的体积．解1证明设AC与BD相交于点O，连接OE.由题意知，底面ABCD是菱形，则O为AC的中点，又E为AP的中点，所以OE∥PC.因为OE⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，所以PC∥平面EBD.2S△PCE＝S△PAC＝××2×2＝.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，所以DO⊥平面PAC，即DO是三棱锥D­PCE的高，且DO＝1，则VP­EDC＝VD­PCE＝××1＝.如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，BC∥AD，△ABD是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A1D1的中点．1求证DD1⊥平面ABCD；2求证平面A1BE⊥平面ADD1A1；3若CF∥平面A1BE，求棱BC的长度．解1证明因为侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，所以DD1⊥AD，且DD1⊥CD.因为AD∩CD＝D，所以DD1⊥平面ABCD.2证明因为△ABD是正三角形，且E为AD中点，所以BE⊥AD.因为DD1⊥平面ABCD，而BE⊂平面ABCD，所以BE⊥DD

1.因为AD∩DD1＝D，所以BE⊥平面ADD1A

1.因为BE⊂平面A1BE，所以平面A1BE⊥平面ADD1A

1.3因为BC∥AD，而F为A1D1的中点，所以BC∥A1F.所以B，C，F，A1四点共面．因为CF∥平面A1BE，而平面BCFA1∩平面A1BE＝A1B，所以CF∥A1B.所以四边形BCFA1为平行四边形．所以BC＝A1F＝AD＝

1.。