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高考达标检测
(三十)平行问题3角度——线线、线面、面面
一、选择题1.2018·惠州模拟设直线l,m,平面α,β,则下列条件能推出α∥β的是 A.l⊂α,m⊂α,且l∥β,m∥βB.l⊂α,m⊂β,且l∥mC.l⊥α,m⊥β,且l∥mD.l∥α,m∥β,且l∥m解析选C 借助正方体模型进行判断.易排除选项A、B、D,故选C.
2.如图,在长方体ABCDA′B′C′D′中,下列直线与平面AD′C平行的是 A.B′C′ B.A′BC.A′B′D.BB′解析选B 连接A′B,∵A′B∥CD′,CD′⊂平面AD′C,∴A′B∥平面AD′C.3.设α,β是两个不同的平面,m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分不必要条件是 A.m∥l1且n∥l2B.m∥β且n∥l2C.m∥β且n∥βD.m∥β且l1∥α解析选A 由m∥l1,m⊂α,l1⊂β,得l1∥α,同理l2∥α,又l1,l2相交,所以α∥β,反之不成立,所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件.4.2018·福州模拟已知直线a,b异面,给出以下命题
①一定存在平行于a的平面α使b⊥α;
②一定存在平行于a的平面α使b∥α;
③一定存在平行于a的平面α使b⊂α;
④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点.则其中命题正确的是 A.
①④B.
②③C.
①②③D.
②③④解析选D 对于
①,若存在平面α使得b⊥α,则有b⊥a,而直线a,b未必垂直,因此
①不正确;对于
②,注意到过直线a,b外一点M分别引直线a,b的平行线a1,b1,显然由直线a1,b1可确定平面α,此时平面α与直线a,b均平行,因此
②正确;对于
③,注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行,显然由直线b与a2可确定平面α,此时平面α与直线a平行,且b⊂α,因此
③正确;对于
④,在直线b上取一定点N,过点N作直线c与直线a平行,经过直线c的平面除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外均与直线a平行,且与直线b相交于一定点N,因此
④正确.综上所述,
②③④正确.5.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题
①没有水的部分始终呈棱柱形;
②水面EFGH所在四边形的面积为定值;
③棱A1D1始终与水面所在平面平行;
④当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值.其中正确命题的个数是 A.1B.2C.3D.4解析选C 由题图,显然
①是正确的,
②是错误的;对于
③,∵A1D1∥BC,BC∥FG,∴A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH,∴A1D1∥平面EFGH水面.∴
③是正确的;对于
④,∵水是定量的定体积V,∴S△BEF·BC=V,即BE·BF·BC=V.∴BE·BF=定值,即
④是正确的,故选C.6.2018·合肥模拟在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是 A.平行B.相交C.在平面内D.不能确定解析选A 如图,由=得AC∥EF.又因为EF⊂平面DEF,AC⊄平面DEF,所以AC∥平面DEF.
二、填空题7.有下列四个命题,其中正确命题的序号是________.
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行;
③若平面α与平面β平行,直线l在平面α内,则l∥β;
④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.解析
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α或l与α相交,故
①错误;
②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行或异面,故
②错误;
③由面面平行的定义可知,
③正确;
④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点,故
④正确.答案
③④8.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件________时,有平面D1BQ∥平面PAO.解析如图所示,假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,所以QB∥PA.连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1B∥PO,又D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO.答案Q为CC1的中点9.如图,在四棱锥VABCD中,底面ABCD为正方形,E,F分别为侧棱VC,VB上的点,且满足VC=3EC,AF∥平面BDE,则=________.解析连接AC交BD于点O,连接EO,取VE的中点M,连接AM,MF,由VC=3EC⇒VM=ME=EC,又AO=CO⇒AM∥EO⇒AM∥平面BDE,又由题意知AF∥平面BDE,且AF∩AM=A,∴平面AMF∥平面BDE⇒MF∥平面BDE⇒MF∥BE⇒VF=FB⇒=
2.答案2
三、解答题
10.如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,D为AC的中点,AA1=AB=
2.1求证AB1∥平面BC1D;2设BC=3,求四棱锥BAA1C1D的体积.解1证明连接B1C,设B1C与BC1相交于点O,连接OD.∵四边形BCC1B1是平行四边形,∴点O为B1C的中点.∵D为AC的中点,∴OD为△AB1C的中位线,∴OD∥AB
1.∵OD⊂平面BC1D,AB1⊄平面BC1D,∴AB1∥平面BC1D.2∵AA1⊥平面ABC,AA1⊂平面AA1C1C,∴平面ABC⊥平面AA1C1C.∵平面ABC∩平面AA1C1C=AC,作BE⊥AC,垂足为E,则BE⊥平面AA1C1C.∵AB=AA1=2,BC=3,AB⊥BC,∴在Rt△ABC中,AC===,∴BE==,∴四棱锥BAA1C1D的体积V=×A1C1+AD·AA1·BE=××2×=
3.11.如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,E,F分别在BC,AD上,EF∥AB.现将四边形ABCD沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC.若BE=1,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,且=λ,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出λ的值,若不存在,说明理由.解AD上存在一点P,使得CP∥平面ABEF,此时λ=.理由如下当λ=时,=,可知=,如图,过点P作MP∥FD交AF于点M,连接EM,PC,则有==,又BE=1,可得FD=5,故MP=3,又EC=3,MP∥FD∥EC,所以MP綊EC,故四边形MPCE为平行四边形,所以CP∥ME,又CP⊄平面ABEF,ME⊂平面ABEF,所以CP∥平面ABEF.
12.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,E为PA的中点,∠BAD=60°.1求证PC∥平面EBD;2求三棱锥PEDC的体积.解1证明设AC与BD相交于点O,连接OE.由题意知,底面ABCD是菱形,则O为AC的中点,又E为AP的中点,所以OE∥PC.因为OE⊂平面EBD,PC⊄平面EBD,所以PC∥平面EBD.2S△PCE=S△PAC=××2×2=.因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AC=A,所以DO⊥平面PAC,即DO是三棱锥DPCE的高,且DO=1,则VPEDC=VDPCE=××1=.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形,BC∥AD,△ABD是边长为2的正三角形,E,F分别为AD,A1D1的中点.1求证DD1⊥平面ABCD;2求证平面A1BE⊥平面ADD1A1;3若CF∥平面A1BE,求棱BC的长度.解1证明因为侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形,所以DD1⊥AD,且DD1⊥CD.因为AD∩CD=D,所以DD1⊥平面ABCD.2证明因为△ABD是正三角形,且E为AD中点,所以BE⊥AD.因为DD1⊥平面ABCD,而BE⊂平面ABCD,所以BE⊥DD
1.因为AD∩DD1=D,所以BE⊥平面ADD1A
1.因为BE⊂平面A1BE,所以平面A1BE⊥平面ADD1A
1.3因为BC∥AD,而F为A1D1的中点,所以BC∥A1F.所以B,C,F,A1四点共面.因为CF∥平面A1BE,而平面BCFA1∩平面A1BE=A1B,所以CF∥A1B.所以四边形BCFA1为平行四边形.所以BC=A1F=AD=
1.。