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第十九单元算法初步、复数、推理与证明教材复习课“算法初步、复数、推理与证明”相关基础知识一课过算法的三种结构[过双基]三种基本逻辑结构名称内容 顺序结构条件结构循环结构定 义由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体程 序 框 图 1．2018·成都质检阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是 A．－ B．0C.D．336解析选C 由框图知输出的结果s＝sin＋sin＋…＋sin，因为函数y＝sinx的周期是6，所以s＝336＋sin＋sin＝336×0＋＋＝.2．执行如图所示的程序框图．若输出y＝－，则输入的角θ＝ A.B．－C.D．－解析选D 由输出y＝－0，排除A、C，又当θ＝－时，输出y＝－，故选D.3．执行如图所示的程序框图，已知输出的s∈
[04]，若输入的t∈[m，n]，则实数n－m的最大值为 A．1B．2C．3D．4解析选D 由程序框图得s＝作出s的图象如图所示．若输入的t∈[m，n]，输出的s∈
[04]，则由图象得n－m的最大值为
4.4．某程序框图如图所示，若输出的p值为31，则判断框内应填入的条件是 A．n2B．n3C．n4D．n5解析选B 运行程序p＝1，n＝0；n＝1，p＝2；n＝2，p＝6；n＝3，p＝15；n＝4，p＝31，根据题意，此时满足条件，输出p＝31，即n＝3时不满足条件，n＝4时满足条件，故选B.[清易错]1．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．2．易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则a＝________.解析由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝1＋＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－.若该程序运行后输出的值是，则2－＝，解得a＝
3.答案3复数的基本运算[过双基]1．复数的有关概念名称内容备注复数的概念形如a＋bia∈R，b∈R的数叫复数，其中实部为，虚部为若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝da，b，c，d∈R共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－da，b，c，d∈R复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模|z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即1复数z＝a＋bi复平面内的点Za，ba，b∈R．2复数z＝a＋bia，b∈R平面向量.3．复数的运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋dia，b，c，d∈R，则
①加法z1＋z2＝a＋bi＋c＋di＝a＋c＋b＋di；
②减法z1－z2＝a＋bi－c＋di＝a－c＋b－di；
③乘法z1·z2＝a＋bi·c＋di＝ac－bd＋ad＋bci；
④除法＝＝＝c＋di≠0．1．2016·全国卷Ⅲ若z＝4＋3i，则＝ A．1B．－1C.＋iD.－i解析选D ∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，∴＝＝－i.2．若复数z满足1＋iz＝|＋i|，则在复平面内，对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析选A 由题意，得z＝＝＝1－i，所以＝1＋i，其在复平面内对应的点为11，位于第一象限．3．复数i为虚数单位实部与虚部的和为 A．2B．1C．0D．－2解析选A 因为＝＝1＋i，所以复数i为虚数单位实部与虚部的和为
2.4．已知1＋2i＝4＋3i，则z＝________.解析∵＝＝＝＝2－i，∴z＝2＋i.答案2＋i[清易错]1．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．2．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z20在复数范围内有可能成立．1．已知∈R，且m∈R，则|m＋6i|＝ A．6B．8C．8D．10解析选D ＝＝，因为复数∈R，故m＝8，所以|m＋6i|＝|8＋6i|＝
10.2．已知＝a＋bia，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝______.解析＝＝－1＋2i，由＝a＋bi，得－1＋2i＝a＋bi，∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝
1.答案1合情推理与演绎推理[过双基]1．合情推理类型定义特点归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊2．演绎推理1定义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．2“三段论”是演绎推理的一般模式，包括
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． 1．已知和都是无理数，试证＋也是无理数，某同学运用演绎推理证明如下依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以＋必是无理数．这个同学证明是错误的，错误原因是 A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以上都可能解析选A 大前提无理数与无理数之和是无理数，错误；小前提和都是无理数，正确；结论＋也是无理数，正确，故只有大前提错误．
2.我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖暅原理即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法求双曲线－＝1a＞0，b＞0与x轴，直线y＝hh＞0及渐近线y＝x所围成的阴影部分如图绕y轴旋转一周所得的几何体的体积为________．解析由题意可知，该几何体的横截面是一个圆环，设圆环的外半径与内半径分别为R，r，其面积S＝πR2－r2．∵－＝1⇒R2＝a2＋y2，同理r2＝y2，∴R2－r2＝a2，由祖暅原理知，此旋转体的体积等价于一个半径为a，高为h的柱体的体积，为πa2h.答案πa2h3．有如下等式以此类推，则2018出现在第________个等式中．解析
①2＋4＝6；
②8＋10＋12＝14＋16；
③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30，……其规律为各等式首项分别为2×12×1＋3，2×1＋3＋5，…，所以第n个等式的首项为2[1＋3＋…＋2n－1]＝2×＝2n2当n＝31时，等式的首项为2×312＝1922当n＝32时，等式的首项为2×322＝2048所以2018在第31个等式中．答案31证明方法[过双基]1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件已知条件、定理、定义、公理等为止实质由因导果执果索因框图表示→→…→→→…→文字语言因为……，所以……或由……，得……要证……，只需证……，即证……2．间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．1反证法的定义假设原命题不成立即在原命题的条件下，结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．2用反证法证明的一般步骤
①反设——假设命题的结论不成立；
②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；
③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．3．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行1归纳奠基证明当n取第一个值n0n0∈N*时命题成立；2归纳递推假设n＝kk≥n0，k∈N*时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 1．2018·成都一模要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证明 A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．a2－1b2－1≥0解析选D a2＋b2－1－a2b2≤0⇔a2－1b2－1≥
0.2．如果命题pn对n＝kk∈N*成立，则它对n＝k＋2也成立．若pn对n＝2也成立，则下列结论正确的是 A．pn对所有正整数n都成立B．pn对所有正偶数n都成立C．pn对所有正奇数n都成立D．pn对所有自然数n都成立解析选B 由题意n＝k成立，则n＝k＋2也成立，又n＝2时成立，则pn对所有正偶数都成立．3．下列命题适合用反证法证明的是________．填序号
①已知函数fx＝ax＋a＞1，证明方程fx＝0没有负实数根；
②若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求证和中至少有一个小于2；
③关于x的方程ax＝ba≠0的解是唯一的；
④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．解析
①是“否定”型命题，
②是“至少”型命题，
③是“唯一”型命题，且命题中条件较少，
④中条件较少，不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．答案
①②③④
一、选择题1．若z＝i3－2i其中i为复数单位，则＝ A．3－2i B．3＋2iC．2＋3iD．2－3i解析选D 由z＝i3－2i＝2＋3i，得＝2－3i.2．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝在复平面上对应的点在y轴上，则a为 A．－3B．－C.D．3解析选A ∵z＝＝＝，又复数z＝在复平面上对应的点在y轴上，∴解得a＝－
3.3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设abc，且a＋b＋c＝0，求证a”索的因应是 A．a－b0B．a－c0C．a－ba－c0D．a－ba－c0解析选C a⇔b2－ac3a2⇔a＋c2－ac3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a20⇔－2a2＋ac＋c20⇔2a2－ac－c20⇔a－c2a＋c0⇔a－ca－b
0.4．利用数学归纳法证明“n＋1n＋2·…·n＋n＝2n×1×3×…×2n－1，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是 A．2k＋1B．22k＋1C.D.解析选B 当n＝kk∈N*时，左式为k＋1k＋2·…·k＋k；当n＝k＋1时，左式为k＋1＋1k＋1＋2·…·k＋1＋k－1k＋1＋kk＋1＋k＋1，则左边应增乘的式子是＝22k＋1．5．2017·北京高考执行如图所示的程序框图，输出的s值为 A．2B.C.D.解析选C 运行该程序，k＝0，s＝1，k3；k＝0＋1＝1，s＝＝2，k3；k＝1＋1＝2，s＝＝，k3；k＝1＋2＝3，s＝＝，此时不满足循环条件，输出s，故输出的s值为.6．若数列{an}是等差数列，bn＝，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为 A．dn＝B．dn＝C．dn＝D．dn＝解析选D 因为数列{an}是等差数列，所以bn＝＝a1＋n－1·d为等差数列{an}的公差，{bn}也为等差数列，因为正项数列{cn}是等比数列，设公比为q，则dn＝＝＝c1q，所以{dn}也是等比数列．7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则判断框内应填的内容是 A．n98B．n99C．n100D．n101解析选B 由＝＝－，可知程序框图的功能是计算并输出S＝＋＋…＋＝＝的值．由题意令＝，解得n＝99即当n99时，执行循环体，若不满足此条件，则退出循环，输出S的值．8．已知“整数对”按如下规律排成一列11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则第60个“整数对”是 A．75B．57C．210D．101解选B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到＜60＜，因此第60个“整数对”处于第11组每个“整数对”的和为12的组的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为111，210，39，48，57，…，因此第60个“整数对”是57．
二、填空题9．M＝＋＋＋…＋与1的大小关系为__________．解析因为M＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＋＋＋…＋＝1，所以M
1.答案M110．若复数z＝其中i为虚数单位的实部与虚部相等，则实数a＝________.解析因为复数z＝＝＝1－ai，所以－a＝1，即a＝－
1.答案－111．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为1418，则输出的a＝________.解析a＝14，b＝
18.第一次循环14≠18且1418，b＝18－14＝4；第二次循环14≠4且144，a＝14－4＝10；第三次循环10≠4且104，a＝10－4＝6；第四次循环6≠4且64，a＝6－4＝2；第五次循环2≠4且24，b＝4－2＝2；第六次循环a＝b＝2，跳出循环，输出a＝
2.答案212．设n为正整数，fn＝1＋＋＋…＋，计算得f2＝，f4＞2，f8＞，f16＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析∵f21＝，f22＞2＝，f23＞，f24＞，∴归纳得f2n≥n∈N*．答案f2n≥n∈N*
三、解答题13．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证＋＜＋.证明要证＋＜＋，只需证＋2＜＋2，即证a＋d＋2＜b＋c＋2，因为a＋d＝b＋c，所以只需证＜，即证ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝t－dd－t－cc＝c－dc＋d－t＜0，故ad＜bc成立，从而＋＜＋成立．14．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋
3.1求数列{an}的通项an与前n项和Sn；2设bn＝n∈N*，求证数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解1由已知得所以d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝nn＋．2证明由1，得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，brp，q，r互不相等成等比数列，则b＝bpbr，即q＋2＝p＋r＋，所以q2－pr＋2q－p－r＝
0.因为p，q，r∈N*，所以所以2＝pr，p－r2＝
0.所以p＝r，这与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．高考研究课一算法与程序框图考查2类型——推结果、填条件[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度循环结构5年10考循环结构程序框图的输出功能及应用程序框图补条件5年1考补全满足框图的条件程序框图的推结果问题[典例] 12017·全国卷Ⅱ执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝ A．2 B．3C．4D．522017·山东高考执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为 A．00B．11C．01D．10[解析] 1运行程序框图，a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；S＝0＋－1×1＝－1，a＝1，K＝2，K≤6成立；S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3，K≤6成立；S＝1＋－1×3＝－2，a＝1，K＝4，K≤6成立；S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5，K≤6成立；S＝2＋－1×5＝－3，a＝1，K＝6，K≤6成立；S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7，K≤6不成立，输出S＝
3.2当输入x＝7时，b＝2，因为b2x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2x成立，故a＝1，输出a的值为
1.当输入x＝9时，b＝2，因为b2x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2x不成立且x能被b整除，故a＝0，输出a的值为
0.[答案] 1B 2D[方法技巧]解决程序框图推结果问题要注意几个常用变量1计数变量用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋
1.2累加变量用来计算数据之和，如S＝S＋i.3累乘变量用来计算数据之积，如p＝p×i. [即时演练]1．2016·全国卷Ⅰ执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足 A．y＝2xB．y＝3xC．y＝4xD．y＝5x解析选C 输入x＝0，y＝1，n＝1，运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；运行第二次，x＝，y＝2，不满足x2＋y2≥36；运行第三次，x＝，y＝6，满足x2＋y2≥36，输出x＝，y＝
6.由于点在直线y＝4x上，故选C.2．执行如图所示的程序框图，输出的s是________．解析第一次循环i＝1，s＝1；第二次循环i＝2，s＝－1；第三次循环i＝3，s＝2；第四次循环i＝4，s＝－2，此时i＝5，执行s＝3×－2＝－6，故输出s＝－
6.答案－6程序框图的补全及逆向求解问题[典例] 1《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为 A．4B．5C．7D．112一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为，则空白处应填入的条件为 A．i≤9B．i≤6C．i≥9D．i≤8[解析] 1起始阶段有m＝2a－3，i＝1第一次循环m＝2×2a－3－3＝4a－9，i＝2第二次循环m＝2×4a－9－3＝8a－21，i＝3第三次循环m＝2×8a－21－3＝16a－45，i＝4第四次循环m＝2×16a－45－3＝32a－93跳出循环，输出m＝32a－93＝35，解得a＝
4.2由＝及题意知，该程序框图的功能是计算S＝1－＋－＋…＋－＋－＝－＋的值，由S＝，得i＝
9.故空白处应填入的条件为i≤
9.[答案] 1A 2A[方法技巧]程序框图的补全及逆向求解问题1先假设参数的判断条件满足或不满足；2运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；3根据此时各个变量的值，补全程序框图． [即时演练]1．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为16，则判断框内可填入的条件是 A．S？B．S？C．S？D．S？解析选D 运行程序k＝10，S＝1；S＝，k＝11；S＝，k＝12；S＝，k＝13；S＝，k＝14；S＝，k＝15；S＝＝，k＝16，此时不满足条件，循环结束，输出k＝16，所以判断框内可填入条件是S？.2．运行如图所示的程序框图，若输出的y值的范围是
[010]，则输入的x值的范围是________．解析该程序的功能是计算分段函数的值，y＝当x＜－1时，由0≤3－x≤10，可得－7≤x＜－1；当－1≤x≤1时，0≤x2≤10成立；当x＞1时，由0≤x＋1≤10，可得1＜x≤9，综上，输入的x值的范围是[－79]．答案[－79]1．2017·全国卷Ⅰ如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n1000的最小偶数n，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入 A．A1000和n＝n＋1B．A1000和n＝n＋2C．A≤1000和n＝n＋1D．A≤1000和n＝n＋2解析选D 程序框图中A＝3n－2n，且判断框内的条件不满足时输出n，所以判断框中应填入A≤1000，由于初始值n＝0，要求满足A＝3n－2n1000的最小偶数，故执行框中应填入n＝n＋
2.2．2017·全国卷Ⅲ执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为 A．5B．4C．3D．2解析选D 执行程序框图，S＝0＋100＝100，M＝－10，t＝2；S＝100－10＝90，M＝1，t＝3，S91，输出S，此时，t＝3不满足t≤N，所以输入的正整数N的最小值为
2.3．2016·全国卷Ⅱ中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为225，则输出的s＝ A．7B．12C．17D．34解析选C 第一次运算s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次运算s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次运算s＝6×2＋5＝17，k＝32，结束循环，s＝
17.
4.2016·全国卷Ⅲ执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝ A．3B．4C．5D．6解析选B 程序运行如下开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝
0.第1次循环a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第2次循环a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；第3次循环a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；第4次循环a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝
4.此时，满足条件s16，退出循环，输出n＝
4.故选B.
5.2015·全国卷Ⅰ执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝
0.01，则输出的n＝ A．5B．6C．7D．8解析选C 运行第一次S＝1－＝＝
0.5，m＝
0.25，n＝1，S
0.01；运行第二次S＝
0.5－
0.25＝
0.25，m＝
0.125，n＝2，S
0.01；运行第三次S＝
0.25－
0.125＝
0.125，m＝
0.0625，n＝3，S
0.01；运行第四次S＝
0.125－
0.0625＝
0.0625，m＝
0.03125，n＝4，S
0.01；运行第五次S＝
0.03125，m＝
0.015625，n＝5，S
0.01；运行第六次S＝
0.015625，m＝
0.0078125，n＝6，S
0.01；运行第七次S＝
0.0078125，m＝
0.00390625，n＝7，S
0.
01.输出n＝
7.故选C.6．2014·全国卷Ⅰ执行如图所示程序框图，若输入的a，b，k分别为123，则输出的M＝ A.B.C.D.解析选D 第一次循环M＝，a＝2，b＝，n＝2；第二次循环M＝，a＝，b＝，n＝3；第三次循环M＝，a＝，b＝，n＝
4.则输出M＝.7．2014·全国卷Ⅱ执行如图的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝ A．4B．5C．6D．7解析选D 执行循环体，第一次循环，M＝2，S＝5，k＝2；第二次循环，M＝2，S＝7，k＝
3.故输出的S＝
7.
一、选择题1．2017·山东高考执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为 A．x＞3 B．x＞4C．x≤4D．x≤5解析选B 当x＝4时，若执行“是”，则y＝4＋2＝6，与题意矛盾；若执行“否”，则y＝log24＝2，满足题意，故应执行“否”．故判断框中的条件可能为x＞
4.2．执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为2，则输出的b的值为 A．－2 B．1 C．2 D．4解析选A 第一次循环，a＝，b＝1，i＝2；第二次循环，a＝－1，b＝－2，i＝3；第三次循环，a＝2，b＝4，i＝4；第四次循环，a＝，b＝1，i＝5；……；由此可知b的值以3为周期出现，且当i＝2019时退出循环，此时共循环2018次，又2018＝3×672＋2，所以输出的b的值为－
2.3．某班有50名学生，在一次数学考试中，an表示学号为n的学生的成绩，则执行如图所示的程序框图，下列结论正确的是 A．P表示成绩不高于60分的人数B．Q表示成绩低于80分的人数C．R表示成绩高于80分的人数D．Q表示成绩不低于60分，且低于80分的人数解析选D P表示成绩低于60分的人数，Q表示成绩低于80分且不低于60分的人数，R表示成绩不低于80分的人数．4．2017·天津高考阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为 A．0B．1C．2D．3解析选C 第一次循环，24能被3整除，N＝＝83；第二次循环，8不能被3整除，N＝8－1＝73；第三次循环，7不能被3整除，N＝7－1＝63；第四次循环，6能被3整除，N＝＝23，结束循环，故输出N的值为
2.5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为 A．3B．－6C．10D．－15解析选D 第一次执行程序，得到S＝0－12＝－1，i＝2；第二次执行程序，得到S＝－1＋22＝3，i＝3；第三次执行程序，得到S＝3－32＝－6，i＝4；第四次执行程序，得到S＝－6＋42＝10，i＝5；第五次执行程序，得到S＝10－52＝－15，i＝6，结束循环，输出的S＝－
15.6．某校为了了解高三学生日平均睡眠时间单位h，随机选择了50位学生进行调查．下表是这50位同学睡眠时间的频率分布表组别i睡眠时间组中值Zi频数频率Pi1[
4.
55.
5520.042[
5.
56.
5660.123[
6.
57.
57200.404[
7.
58.
58180.365[
8.
59.
5930.066[
9.
510.
51010.02现根据如下程序框图用计算机统计平均睡眠时间，则判断框
①中应填入的条件是 A．i＞4B．i＞5C．i＞6D．i＞7解析选B 根据题目中程序框图，用计算机统计平均睡眠时间，总共执行6次循环，则判断框
①中应填入的条件是i5或i≥6？．7．下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出y的值为3，那么应输入x＝ A．1B．2C．3D．6解析选B 该程序的作用是计算分段函数y＝的函数值，由题意，若x＞6，则当y＝3时，x－3＝3，解得x＝6，舍去；若x≤2，则当y＝3时，5－x＝3，解得x＝2，故输入的x值为
2.8．给出30个数1247，…，其规律是第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3，…，以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框
①处和执行框
②处应分别填入 A．i≤30？；p＝p＋i－1B．i≤29？；p＝p＋i＋1C．i≤31？；p＝p＋iD．i≤30？；p＝p＋i解析选D 由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故
①中应填写“i≤30？”．又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，…，故
②中应填p＝p＋i.
二、填空题9．2017·江苏高考如图是一个算法流程图．若输入x的值为，则输出y的值是________．解析由流程图可知其功能是运算分段函数y＝所以当输入的x的值为时，y＝2＋log2＝2－4＝－
2.答案－210．按下列程序框图来计算如果输入的x＝5，则应该运算________次才停止．解析由题意，该程序按如下步骤运行经过第一次循环得到x＝3×5－2＝13，不满足x＞200，进入下一步循环；经过第二次循环得到x＝3×13－2＝37，不满足x＞200，进入下一步循环；经过第三次循环得到x＝3×37－2＝109，不满足x＞200，进入下一步循环；经过第四次循环得到x＝3×109－2＝325，因为325＞200，结束循环并输出x的值因此，运算进行了4次后，输出x值而程序停止．故答案为
4.答案411．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，该算法的程序框图如图所示.执行该程序框图，若输入的x＝3，n＝3，输入的a依次为由小到大顺序排列的质数从最小质数开始，直到结束为止，则输出的s＝________.解析运行程序x＝3，n＝3，k＝0，s＝0；a＝2，s＝2，k＝1；a＝3，s＝9，k＝2；a＝5，s＝32，k＝3；a＝7，s＝103，k＝4，此时满足条件，循环结束，输出s＝
103.答案10312．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是a＝________.解析运行程序，可得a＝10，i＝1，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝5，i＝2，不满足i≥5，满足a是奇数，a＝16，i＝3，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝8，i＝4，不满足i≥5，不满足a是奇数，a＝4，i＝5，满足i≥5，退出循环，输出a的值为
4.答案413．已知某程序框图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为________．解析第一次循环结束时，n＝2，x＝3，y＝1；第二次循环结束时，n＝4，x＝9，y＝3；第三次循环结束时，n＝6，x＝27，y＝
3.此时满足n4，结束循环，输出logyx＝log327＝
3.答案314．2018·黄山调研我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝________.解析第一次循环，得S＝2；第二次循环，得n＝2，a＝，A＝2，S＝；第三次循环，得n＝3，a＝，A＝4，S＝；第四次循环，得n＝4，a＝，A＝8，S＝10，结束循环，输出的n＝
4.答案41．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次是A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是 图1图2A．6 B．7 C．10 D．16解析选C 由程序框图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为
10.2．如果执行程序框图，如果输出的S＝2550，则判断框内应填入的条件是 A．k≤50B．k≥51C．k＜50D．k＞51解析选A 根据题中的程序框图，可得该程序经过第一次循环得到S＝2，k＝2；经过第二次循环得到S＝2＋4，k＝3；经过第三次循环得到S＝2＋4＋6，k＝4；……设经过第n次循环得到2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＝2550，解得n＝50，由此说明，当n＞50时不满足判断框中的条件，则正好输出S＝2550，∴判断框应填入的条件是k≤50？.高考研究课二数系的扩充与复数的引入的命题3角度——概念、运算、意义[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度复数的有关概念5年4考虚部、模等有关概念与运算结合考查复数的几何意义5年2考与运算结合考查几何意义复数的运算5年6考考查乘法、除法、幂的运算复数的有关概念[典例] 1设i是虚数单位．若复数a－a∈R是纯虚数，则a的值为 A．－3 B．－1C．1D．32已知复数z满足＝|2－i|，则z的共轭复数对应的点位于复平面内的 A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3若复数z满足z1＋i＝2ii为虚数单位，则|z|＝ A．1B．2C.D.[解析] 1∵复数a－＝a－＝a－3－i为纯虚数，∴a－3＝0，∴a＝
3.2∵＝|2－i|＝，∴z＝＋i，则z的共轭复数－i对应的点，－位于复平面内的第四象限.3法一设z＝a＋bia，b∈R，则由z1＋i＝2i，得a＋bi·1＋i＝2i，所以a－b＋a＋bi＝2i，由复数相等的条件得解得a＝b＝1，所以z＝1＋i，故|z|＝＝.法二由z1＋i＝2i，得z＝＝＝i－i2＝1＋i，所以|z|＝＝.[答案] 1D 2D 3C [方法技巧]求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bia，b∈R的形式，再根据题意求解． [即时演练]1．2017·山东高考已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a＝ A．1或－1B.或－C．－D.解析选A 法一由题意可知＝a－i，∴z·＝a＋ia－i＝a2＋3＝4，故a＝1或－
1.法二z·＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－
1.2．若复数a∈R是纯虚数i是虚数单位，则复数z＝a＋a－3i在复平面内对应的点位于第________象限．解析∵＝＝＝＋i是纯虚数，∴解得a＝
2.∴z＝2－i，在复平面内对应的点2，－1位于第四象限．答案四3．2017·浙江高考已知a，b∈R，a＋bi2＝3＋4ii是虚数单位，则a2＋b2＝________，ab＝________.解析∵a＋bi2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，∴∴或∴a2＋b2＝5，ab＝
2.答案5 2复数的代数运算[典例] 1i为虚数单位，则2018＝ A．－iB．－1C．iD．122017·全国卷Ⅱ＝ A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i32017·全国卷Ⅱ1＋i2＋i＝ A．1－iB．1＋3iC．3＋iD．3＋3i[解析] 1∵＝＝＝－i，∴2018＝－i2018＝－i2016·－i2＝－
1.2＝＝＝2－i.31＋i2＋i＝2＋i2＋3i＝1＋3i.[答案] 1B 2D 3B[方法技巧]复数代数形式运算问题的解题策略1复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．2复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．[提醒] 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．11±i2＝±2i；＝i；＝－i；2－b＋ai＝ia＋bi；3i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. [即时演练]1．设复数z＝1＋ii是虚数单位，则＋z2＝ A．1＋iB．1－iC．－1－iD．－1＋i解析选A ＋z2＝＋1＋i2＝1－i＋2i＝1＋i.2．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.解析∵z＝＝＝＝＝＝－＋i，故＝－－i，∴z·＝＝＋＝.答案3．已知i是虚数单位，2018＋6＝________.解析原式＝1009＋6＝1009＋i6＝i1009＋i6＝i4×252＋1＋i4＋2＝i＋i2＝－1＋i.答案－1＋i复数的几何意义[典例] 1已知复数z＝a＋ia∈R．若|z|，则z＋i2在复平面内对应的点位于 A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限22017·北京高考若复数1－ia＋i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A．－∞，1B．－∞，－1C．1，＋∞D．－1，＋∞[解析] 1因为复数z＝a＋ia∈R．若|z|，则，解得－1＜a＜1，所以z＋i2＝a－1＋i在复平面内对应的点a－11位于第二象限.2复数1－ia＋i＝a＋1＋1－ai，其在复平面内对应的点a＋11－a在第二象限，故解得a＜－
1.[答案] 1B 2B[方法技巧]1复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bia，b∈R⇔Za，b⇔.2由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． [即时演练]
1.如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为 A．1＋3iB．－3－iC．3－iD．3＋i解析选D 由图可得Z1，－1，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.2．若z＝a－2＋a＋1i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是________．解析∵z＝a－2＋a＋1i在复平面内对应的点在第二象限，∴解得－1＜a＜
2.即实数a的取值范围是－
12.答案－121．2017·全国卷Ⅰ设有下面四个命题p1若复数z满足∈R，则z∈R；p2若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；p4若复数z∈R，则∈R.其中的真命题为 A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4解析选B 设复数z＝a＋bia，b∈R，对于p1，∵＝＝∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；对于p2，∵z2＝a＋bi2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；对于p3，设z1＝x＋yix，y∈R，z2＝c＋dic，d∈R，则z1z2＝x＋yic＋di＝cx－dy＋dx＋cyi∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠2，∴p3不是真命题；对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命题．2．2017·全国卷Ⅲ复平面内表示复数z＝i－2＋i的点位于 A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析选C z＝i－2＋i＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i－2＋i的点位于第三象限．3．2016·全国卷Ⅰ设1＋ix＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝ A．1B.C.D．2解析选B ∵1＋ix＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝
1.∴|x＋yi|＝|1＋i|＝.4．2016·全国卷Ⅱ已知z＝m＋3＋m－1i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 A．－31 B．－13C．1，＋∞D．－∞，－3解析选A 由题意知即－3m
1.故实数m的取值范围为－31．5．2016·全国卷Ⅲ若z＝1＋2i，则＝ A．1B．－1C．iD．－i解析选C 因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z＝1＋2i1－2i＝5，则＝＝i.6．2015·全国卷Ⅰ设复数z满足＝i，则|z|＝ A．1B.C.D．2解析选A 由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝
1.7．2015·全国卷Ⅱ若a为实数，且2＋aia－2i＝－4i，则a＝ A．－1B．0C．1D．2解析选B ∵2＋aia－2i＝－4i，∴4a＋a2－4i＝－4i.∴解得a＝
0.
一、选择题1．2017·山东高考已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝ A．－2i B．2iC．－2D．2解析选A ∵zi＝1＋i，∴z＝＝＋1＝1－i.∴z2＝1－i2＝1＋i2－2i＝－2i.2．2018·沈阳质量监测已知i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在 A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析选A 因为＝1＋i，其在复平面内对应的点11在第一象限．3．已知复数z满足z＝＋a为纯虚数，则|z|＝ A.B．2C.D.解析选C ∵z＝＋a＝为纯虚数，∴＝0，≠0，解得a＝，∴z＝i，∴|z|＝.4．设复数z满足1＋iz＝－2i，i为虚数单位，则z＝ A．－1＋iB．－1－iC．1＋iD．1－i解析选B z＝＝＝－i－
1.5．已知i是虚数单位，复数z满足1－iz＝i，则|z|＝ A.B.C．1D.解析选B ∵z＝＝＝－＋i，∴|z|＝＝.6．2018·遵义模拟复数z＝4i2018－其中i为虚数单位在复平面内对应的点在 A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析选C z＝4i2018－＝4×i2016·i2－＝－4－＝－6－i，故z在复平面内对应的点在第三象限．7．已知复数z＝cosθ－isinθ1＋i，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是 A．θ＝B．θ＝C．θ＝D．θ＝解析选C z＝cosθ－isinθ1＋i＝cosθ＋sinθ＋cosθ－sinθi.z是纯虚数等价于等价于θ＝＋kπ，k∈Z.故选C.8．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于 A.B.C．－D．－解析选D 因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，所以z1·z2＝3t－4＋4t＋3i，又z1·z2是实数，所以4t＋3＝0，所以t＝－，故选D.
二、填空题9．2017·天津高考已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．解析由＝＝－i是实数，得－＝0，所以a＝－
2.答案－210．定义运算＝ad－bc，复数z满足＝1＋i，为z的共轭复数，则＝________.解析∵复数z满足＝zi－i＝1＋i，∴z＝＝＝2－i，∴＝2＋i.答案2＋i11．2017·江苏高考已知复数z＝1＋i1＋2i，其中i是虚数单位，则z的模是________．解析法一复数z＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，则|z|＝＝.法二|z|＝|1＋i|·|1＋2i|＝×＝.答案12．2018·山东实验中学诊断在复平面内，复数对应的点到直线y＝x＋1的距离是________．解析因为＝＝1＋i，所以复数对应的点为11，点11到直线y＝x＋1的距离为＝.答案
三、解答题13．计算1；2；3＋；
4.解1＝＝－1－3i.2＝＝＝＝＋i.3＋＝＋＝＋＝－
1.4＝＝＝＝－－i.14．已知复数z＝x＋yix，y∈R满足z·＋1－2i·z＋1＋2i·＝3，求复数z在复平面内对应的点的轨迹．解∵z＝x＋yix，y∈R且z·＋1－2i·z＋1＋2i·＝
3.∴x2＋y2＋1－2ix＋yi＋1＋2ix－yi＝3，即x2＋y2＋x＋2y＋yi－2xi＋x＋2y－yi＋2xi＝3，∴x2＋y2＋2x＋4y－3＝0，即x＋12＋y＋22＝
8.∴复数z在复平面内对应的点的轨迹是以－1，－2为圆心，以2为半径的圆．1．已知t∈R，若复数z＝i为虚数单位为纯虚数，则|＋ti|＝ A．2B．4C．6D．8解析选A ∵z＝＝＝＋i为纯虚数，∴＝0，≠0，解得t＝
1.则|＋ti|＝|＋i|＝＝
2.2．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子它们的六个面分别标有数字123456，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足复数x＋yi的实部大于虚部的概率为________．解析∵试验发生所包含的事件是甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子，所得点数分别为x，y，得到复数x＋yi共有36个，满足条件的事件是复数x＋yi的实部大于虚部，当实部是2时，虚部是1；当实部是3时，虚部是12；当实部是4时，虚部是123；当实部是5时，虚部是1234；当实部是6时，虚部是12345，共有15个，故实部大于虚部的概率是＝.答案高考研究课三推理3方法——类比、归纳、演绎[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度推理判断5年3考推理判断问题类比推理[典例] 1若{an}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有m－nap＋n－pam＋p－man＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{bn}，m，n，p是互不相等的正整数，有________________．2若P0x0，y0在椭圆＋＝1a＞b＞0外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题若Px0，y0在双曲线－＝1a＞0，b＞0外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．[解析] 1等差数列的三项之和类比等比数列的三项之积，等差数列中m－nap类比等比数列中的b，因此有b·b·b＝
1.2类比椭圆的切点弦方程可得双曲线－＝1的切点弦方程为－＝
1.[答案] 1b·b·b＝12－＝1[方法技巧]类比推理的分类及处理方法类别解读适合题型类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解已知熟悉定义类比新定义类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键平面几何与立体几何、等差数列与等比数列类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法[即时演练]1．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x求得x＝.类比上述过程，则＝ A．3 B.C．6D．2解析选A 令＝mm0，则两边平方得，则3＋2＝m2即3＋2m＝m2，解得m＝3或m＝－1舍去．2．在平面几何中有如下结论正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝ A.B.C.D.解析选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.归纳推理[典例] 1在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第234，…堆最底层第一层分别按图所示方式固定摆放．从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以fn表示第n堆的乒乓球总数，则f3＝________；fn＝________答案用n表示．22016·山东高考观察下列等式－2＋－2＝×1×2；－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；……照此规律，－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.[解析] 1由题意知，f1＝1，f2＝1＋1＋2，f3＝1＋1＋2＋1＋2＋3，…，fn＝1＋1＋2＋1＋2＋3＋…＋1＋2＋3＋…＋n分析可得fn－fn－1＝1＋2＋3＋…＋n＝＝＋；fn＝[fn－fn－1]＋[fn－1－fn－2]＋[fn－2－fn－3]＋…＋f2－f1＋f1＝12＋22＋32＋…＋n2＋1＋2＋3…＋n＝nn＋12n＋1＋nn＋1＝nn＋1n＋2．2通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×n＋1，即nn＋1．[答案] 110 nn＋1n＋2 2nn＋1[方法技巧]归纳推理问题的常见类型及解题策略常见类型解题策略与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解与式子有关的推理观察每个式子的特点，找到规律后可解与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性[即时演练]1．观察下列等式12＝1；12－22＝－3；12－22＋32＝6；12－22＋32－42＝－10；……照此规律，第n个等式为________________．解析观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋－1n＋1n2＝－1n＋
1.答案12－22＋32－42＋…＋－1n＋1n2＝－1n＋12．已知结论“a1，a2∈R＋，且a1＋a2＝1，则＋≥4；若a1，a2，a3∈R＋，且a1＋a2＋a3＝1，则＋＋≥9”，请猜想若a1，a2，…，an∈R＋，且a1＋a2＋…＋an＝1，则＋＋…＋≥________.解析由题意知，结论左端各项分别是和为1的各数ai的倒数i＝12，…，n右端n＝2时为4＝22，n＝3时为9＝32故ai∈R＋，a1＋a2＋…＋an＝1时，结论为＋＋…＋≥n2n≥
2.答案n2演绎推理[典例] 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Snn∈N*．证明1数列是等比数列；2Sn＋1＝4an.[证明] 1∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，∴n＋2Sn＝nSn＋1－Sn，即nSn＋1＝2n＋1Sn.故＝2·，小前提故是以1为首项，2为公比的等比数列．结论大前提是等比数列的定义2由1可知＝4·n≥2，∴Sn＋1＝4n＋1·＝4··Sn－1＝4ann≥2．小前提又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，小前提∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.结论[方法技巧]演绎推理的推理过程中的2个注意点1演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．2在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成． [即时演练]已知函数y＝fx满足对任意a，b∈R，a≠b，都有afa＋bfbafb＋bfa，试证明fx为R上的单调增函数．证明设x1，x2∈R，取x1x2，则由题意得x1fx1＋x2fx2x1fx2＋x2fx1，∴x1[fx1－fx2]＋x2[fx2－fx1]0，[fx2－fx1]x2－x10，∵x1x2，∴fx2－fx10，fx2fx1．∴y＝fx为R上的单调增函数．1．2017·全国卷Ⅱ甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩解析选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.2．2016·北京高考袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析选B 法一取两个球往盒子中放有4种情况
①红＋红，则乙盒中红球数加1；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；
③红＋黑红球放入甲盒中，则乙盒中黑球数加1；
④黑＋红黑球放入甲盒中，则丙盒中红球数加
1.因为红球和黑球个数一样多，所以
①和
②的情况一样多，
③和
④的情况完全随机．
③和
④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．
①和
②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B.法二若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C，故选B.3．2016·全国卷Ⅱ有三张卡片，分别写有1和21和32和
3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析法一由题意得丙的卡片上的数字不是2和
3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和
3.法二因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字
2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和
2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和
3.答案1和34．2014·全国卷Ⅰ甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说我没去过C城市；丙说我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．答案A
一、选择题1．下面几种推理是合情推理的是
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是n－2·180°.A．
①②④ B．
①③④C．
②③④D．
①②③④解析选A 根据题意，依次分析4个推理对于
①，在推理过程中由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理；对于
②，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；对于
③，不是合情推理，对于
④，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理，所以是合情推理的是
①②④.2．已知
①正方形的对角线相等；
②平行四边形的对角线相等；
③正方形是平行四边形．由
①②③组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 A．正方形是平行四边形B．平行四边形的对角线相等C．正方形的对角线相等D．以上均不正确解析选C 由演绎推理三段论可得，“平行四边形的对角线相等”为大前提，“正方形是平行四边形”为小前提，则结论为“正方形的对角线相等”．3．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为 A．731B．809C．852D．891解析选B 由题意知，前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝
809.4．某校高二1班每周都会选出两位“迟到之星”，在“迟到之星”人选揭晓之前，小马说“两个人选应该在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说“小赵说的对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是 A．小赵、小谭B．小马、小宋C．小马、小谭D．小赵、小宋解析选A 小马说“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，是真话；小谭说“小赵说的对”，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“迟到之星”是小赵和小谭．5．将正整数排列如下12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则图中数2018出现在 A．第44行第83列B．第45行第83列C．第44行第82列D．第45行第82列解析选D 由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，因为442＝1936452＝2025，且1936＜2018＜2025，所以2018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2018－1936＝82，故2018在第45行第82列，选D.6．单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以fn表示第n幅图的蜂巢总数，则fn＝ A．3n2－3n＋1B．3n2－3n＋2C．3n2－3nD．3n2－3n－1解析选A 由于f2－f1＝7－1＝6，f3－f2＝19－7＝2×6，f4－f3＝37－19＝3×6，f5－f4＝61－37＝4×6，…因此，当n≥2时，有fn－fn－1＝6n－1，所以fn＝[fn－fn－1]＋[fn－1－fn－2]＋…＋[f2－f1]＋f1＝6[n－1＋n－2＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋
1.又f1＝3×12－3×1＋1＝1，所以fn＝3n2－3n＋
1.7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5…2015 2016 2017 20183 5 7 9…………4031 4033 40358 12 16………………8064 8068 20 28……………………16132 ……………………………… 该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 A．2019×22015B．2019×22016C．2018×22017D．2018×22016解析选B 当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23；归纳推理得，当第一行为2018个数时，最后一行仅一个数，为2019×
22016.8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中在四面体OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为 A．S2＝S＋S＋SB．S2＝＋＋C．S＝S1＋S2＋S3D．S＝＋＋解析选A 如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·OA2＋OD2＝OB2＋OC2·OA2＋BC2·OD2＝2＋2＋2＝S＋S＋S.
二、填空题9．如果函数fx在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sinx在区间0，π上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析由题意知，凸函数满足≤f，又y＝sinx在区间0，π上是凸函数，则sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝.答案10．2018·湛江一模如图，已知点O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1，C1则＋＋＝1，类比猜想点O是空间四面体ABCD内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1，D1，则有____________．解析猜想若O为四面体ABCD内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1，D1，则＋＋＋＝
1.用等体积法证明如下＋＋＋＝＋＋＋＝
1.答案＋＋＋＝111．2017·北京高考某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件ⅰ男学生人数多于女学生人数；ⅱ女学生人数多于教师人数；ⅲ教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．解析令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，则z＜y＜x＜2z.
①若教师人数为4，则4＜y＜x＜8，当x＝7时，y取得最大值
6.
②当z＝1时，1＝z＜y＜x＜2，不满足条件；当z＝2时，2＝z＜y＜x＜4，不满足条件；当z＝3时，3＝z＜y＜x＜6，y＝4，x＝5，满足条件．所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝
12.答案6 1212．已知cos＝，coscos＝，coscoscos＝，……1根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；2若数列{an}中，a1＝cos，a2＝coscos，a3＝coscoscos，…，前n项和Sn＝，则n＝________.解析1从题中所给的几个等式可知，第n个等式的左边应有n个余弦相乘，且分母均为2n＋1，分子分别为π，2π，…，nπ，右边应为，故可以猜想出结论为coscos·…·cos＝n∈N*．2由1可知an＝，故Sn＝＝1－＝＝，解得n＝
10.答案1coscos·…·cos＝n∈N*210
三、解答题13．在锐角三角形ABC中，求证sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.证明∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＞，∴A＞－B，∵y＝sinx在上是增函数，∴sinA＞sin＝cosB，同理可得sinB＞cosC，sinC＞cosA，∴sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中
1、
2、
3、4为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，向按同样的规律刺绣小正方形的摆放规律相同，设第n个图形包含fn个小正方形．1求f6的值；2求fn的表达式；3求证当n≥2时，＋＋＋…＋＜.解1f1＝1，f2＝1＋4＝5，f3＝1＋4＋8＝13，f4＝1＋4＋8＋12＝25，f5＝1＋4＋8＋12＋16＝41，f6＝1＋4＋8＋12＋16＋20＝
61.2∵f2－f1＝4＝4×1，f3－f2＝8＝4×2，f4－f3＝12＝4×3，f5－f4＝16＝4×4，由上式规律得出fn＋1－fn＝4n.∴fn－fn－1＝4×n－1，fn－1－fn－2＝4×n－2，fn－2－fn－3＝4×n－3，……f2－f1＝4×1，∴fn－f1＝4[n－1＋n－2＋…＋2＋1]＝2n－1·n，∴fn＝2n2－2n＋
1.3证明当n≥2时，＝＝，∴＋＋＋…＋＝1＋＝1＋＝－.由于gn＝－为递增数列，即有gn≥g1＝1，且gn＜，故＋＋＋…＋＜.1．为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团“楹联社”“书法社”“汉服社”，还满足如下条件1甲同学没有加入“楹联社”；2乙同学没有加入“汉服社”；3加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；4加入“汉服社”的那名同学在高一年级；5乙同学不在高三年级．则甲同学所在的社团是 A．楹联社B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断解析选C 假设乙在高一，则由4知乙加入“汉服社”，与2矛盾，结合5知，乙在高二年级．根据3，可得乙加入“书法社”．根据1可知甲同学没有加入“楹联社”，可得甲同学所在的社团是汉服社.2．已知13＋23＝3213＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，则n＝ A．8B．9C．10D．11解析选C ∵13＋23＝32＝1＋22，13＋23＋33＝62＝1＋2＋32，13＋23＋33＋43＝102＝1＋2＋3＋42，……∴13＋23＋33＋…＋n3＝1＋2＋3＋…＋n2＝.∵13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，∴＝3025，∴n2n＋12＝2×552，∴nn＋1＝110，解得n＝
10.高考研究课四证明4方法——综合法、分析法、反证法、数学归纳法[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度直接证明与间接证明5年6考综合法、分析法、反证法证明问题数学归纳法未考查分析法[典例] 已知非零向量a，b，且a⊥b，求证≤.[证明] a⊥b⇔a·b＝0，要证≤.只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2a·b＋b2，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即|a|－|b|2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．[方法技巧]分析法证明问题的思路与适用范围1分析法的思路“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“要证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．2分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法． [即时演练]已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证＋＝.证明要证＋＝，即证＋＝3也就是＋＝1，只需证cb＋c＋aa＋b＝a＋bb＋c，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC的三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立.综合法 综合法证明问题是历年高考的热点问题，也是必考问题之一．通常在解答题中出现．常见的命题角度有1立体几何证明题；2数列证明题；3与函数、方程、不等式结合的证明题．角度一立体几何证明题
1.如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝
5.求证1直线PA∥平面DEF；2平面BDE⊥平面ABC.证明1因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.2因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，EF∥BC，DE＝PA＝3，EF＝BC＝
4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.角度二数列证明题2．已知函数fx满足fx＋y＝fx·fy且f1＝.1当n∈N*时，求fn的表达式；2设an＝n·fn，n∈N*，求证a1＋a2＋a3＋…＋an
2.解1因为函数fx满足fx＋y＝fx·fy，所以令y＝1，得fx＋1＝fx·f1，所以fn＋1＝fn·f1．又因为f1＝，所以＝，所以fn＝nn∈N*．2证明由1得an＝n·n，设Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，则Tn＝1×＋2×2＋3×3＋…＋n－1×n－1＋n×n，
①所以Tn＝1×2＋2×3＋…＋n－2n－1＋n－1×n＋n×n＋1，
②所以由
①－
②得Tn＝＋2＋3＋…＋n－1＋n－n·n＋1＝－n·n＋1＝1－n－n·n＋1＝1－，所以Tn＝2－2，即a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an
2.角度三与函数、方程、不等式结合的证明题3．已知定义在R上的函数fx＝ax3＋bx2＋cxabc在x＝1处取得极值，且函数fx的图象上有一点处的切线的斜率为－a.1求证0≤1；2若fx在区间s，t上为增函数，求证－2st≤
1.证明1由fx＝ax3＋bx2＋cx，得f′x＝ax2＋bx＋c.∵函数fx在x＝1处取得极值，∴f′1＝a＋b＋c＝
0.又abc，∴a0，c
0.∵fx的图象上有一点处的切线的斜率为－a，∴方程ax2＋bx＋c＋a＝0有实数根，∴Δ＝b2－4aa＋c≥0，即b2－4a－b≥0，整理得2＋4·≥0，解得≥0或≤－
4.由a＋b＋c＝0，bc，得b－a－b，∴－.由ab且a0，得
1.综上，可得0≤
1.2若fx在区间s，t上为增函数，则f′x＝ax2＋bx＋c在区间s，t上恒非负．∵a0，c0，∴b2－4ac0，故方程f′x＝0必有两个不相等的实数根，设为x1，x2，且x1x
2.∵二次函数f′x＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴方程为x＝－，由1，得－≤0，而f′1＝0，∴x2＝
1.又f′－2＝4a－2b＋c＝4a－2b－a－b＝3a－b0，∴x1－
2.若f′x在区间s，t上恒非负，则有x1≤st≤x2，∴－2st≤
1.[方法技巧]综合法证题的思路反证法[典例] 设{an}是公比为q的等比数列．1推导{an}的前n项和公式；2设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．[解] 1设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，
①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，
②①－
②得，1－qSn＝a1－a1qn，∴Sn＝，∴Sn＝2证明假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，ak＋1＋12＝ak＋1ak＋2＋1，a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋
1.∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋
1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．[方法技巧]反证法证明问题的3步骤1反设假定所要证的结论不成立，而设结论的反面否定命题成立；否定结论2归谬将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；推导矛盾3立论因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．命题成立 [即时演练]已知a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证a，b，c中至少有一个大于
0.证明假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，得a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x－12＋y－12＋z－12＋π－3≥π－3＞0，即a＋b＋c＞0，与a＋b＋c≤0矛盾，∴a，b，c中至少有一个大于
0.数学归纳法 数学归纳法常用来证明与正整数n有关的命题．常见的命题角度有1证明等式；2证明不等式；3归纳—猜想—证明．角度一证明等式1．用数学归纳法证明＋＋…＋＝n∈N*．证明1当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立．2假设n＝kk≥1，k∈N*时，等式成立．即＋＋…＋＝，当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＝＋＝＝＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立，由12可知，对所有n∈N*，原式都成立．[方法技巧]应用数学归纳法证明等式的3个注意点1明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．2由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．3掌握恒等变形常用的方法
①因式分解；
②添拆项；
③配方法． 角度二证明不等式2．用数学归纳法证明对一切大于1的自然数，不等式·…·＞均成立．证明1当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.∵左边＞右边，∴不等式成立．2假设当n＝kk≥2，且k∈N*时不等式成立，即·…·＞.则当n＝k＋1时，·…·＞·＝＝＞＝＝.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由12知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．[方法技巧]应用数学归纳法证明不等式应注意的问题1当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．2用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，证明n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差求商比较法、放缩法等证明． 角度三归纳—猜想—证明3．设fx＝x0，数列{an}满足a1＝a＞0，an＋1＝fann∈N*1求a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式；2用数学归纳法证明1中的猜想．解1∵fx＝x0，数列{an}满足a1＝a＞0，an＋1＝fann∈N*，∴an＋1＝，∴a2＝，a3＝，a4＝.猜想an＝.2利用数学归纳法证明an＝.
①当n＝1时，由1可知成立．
②假设n＝kk≥1，k∈N*时成立，即ak＝.则n＝k＋1时，ak＋1＝＝，因此n＝k＋1时也成立，综上可得，an＝对于n∈N*都成立．[方法技巧]1利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．2“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段该部分与数列结合的问题是最常见的问题． 1．2014·山东高考用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是 A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．2．2017·全国卷Ⅱ已知函数fx＝ax2－ax－xlnx，且fx≥
0.1求a；2证明fx存在唯一的极大值点x0，且e－2fx02－
2.解1fx的定义域为0，＋∞．设gx＝ax－a－lnx，则fx＝xgx，fx≥0等价于gx≥
0.因为g1＝0，gx≥0，故g′1＝0，而g′x＝a－，故g′1＝a－1＝0，得a＝
1.若a＝1，则g′x＝1－.当0x1时，g′x0，gx单调递减；当x1时，g′x0，gx单调递增．所以x＝1是gx的极小值点，故gx≥g1＝
0.综上，a＝
1.2证明由1知fx＝x2－x－xlnxx0，f′x＝2x－2－lnx.设hx＝2x－2－lnx，则h′x＝2－.当x∈时，h′x0；当x∈时，h′x
0.所以hx在上单调递减，在上单调递增．又he－20，h0，h1＝0，所以hx在上有唯一零点x0，在上有唯一零点1，且当x∈0，x0时，hx0；当x∈x01时，hx0；当x∈1，＋∞时，hx
0.因为f′x＝hx，所以x＝x0是fx的唯一极大值点．由f′x0＝0得lnx0＝2x0－1，故fx0＝x01－x0．由x0∈，得fx
0.因为x＝x0是fx在01的最大值点，由e－1∈01，f′e－1≠0，得fx0fe－1＝e－
2.所以e－2fx02－
2.3．2013·北京高考节选给定数列a1，a2，…，an，对i＝123，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.1设数列{an}为3471，写出d1，d2，d3的值；2设a1，a2，…，ann≥4是公比大于1的等比数列，且a10，证明d1，d2，…，dn－1是等比数列；解1d1＝2，d2＝3，d3＝
6.2证明因为a10，公比q1，所以a1，a2，…，an是递增数列．因此，对i＝12，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋
1.于是对i＝12，…，n－1，di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a11－qqi－
1.因此di≠0且＝qi＝12，…，n－2，即d1，d2，…，dn－1是等比数列．4．2014·安徽高考设实数c0，整数p1，n∈N*.1证明当x－1且x≠0时，1＋xp1＋px；2数列{an}满足a1c，an＋1＝an＋a.证明anan＋1c.证明1用数学归纳法证明
①当p＝2时，1＋x2＝1＋2x＋x21＋2x，原不等式成立．
②假设p＝kk≥2，k∈N*时，不等式1＋xk1＋kx成立．当p＝k＋1时，1＋xk＋1＝1＋x1＋xk1＋x·1＋kx＝1＋k＋1x＋kx21＋k＋1x.所以p＝k＋1时，原不等式也成立．综合
①②可得，当x－1，x≠0时，对一切整数p1，不等式1＋xp1＋px均成立．2先用数学归纳法证明anc.
①当n＝1时，由题设知a1c成立．
②假设n＝kk≥1，k∈N*时，不等式akc成立．由an＋1＝an＋a易知an0，n∈N*.当n＝k＋1时，＝＋a＝1＋.由akc0得－1－
0.由1中的结论得p＝p1＋p·＝.因此ac，即ak＋1c.所以n＝k＋1时，不等式anc也成立．综合
①②可得，对一切正整数n，不等式anc均成立．再由＝1＋可得1，即an＋1an.综上所述，anan＋1c，n∈N*.
一、选择题1．设x＝，y＝－，z＝－，则x，y，z的大小关系是 A．xyz B．zxyC．yzxD．xzy解析选D 由题意知x，y，z都是正数，又x2－z2＝2－8－4＝4－6＝－0，∴xz.∵＝＝1，∴zy，∴xzy.2．对于定义域为D的函数y＝fx和常数c，若对任意正实数ξ，∃x0∈D，使得0|fx0－c|ξ恒成立，则称函数y＝fx为“敛c函数”．现给出如下函数
①fx＝xx∈Z；
②fx＝x＋1x∈Z；
③fx＝log2x；
④fx＝.其中为“敛1函数”的有 A．
①②B．
③④C．
②③④D．
①②③解析选C 由题意知，函数fx为“敛1函数”等价于存在x0属于fx的定义域，使得fx0无限接近于
1.对于
①，fx＝xx∈Z，当x＝1时，fx＝1，当x≠1时，|fx－1|≥1，故
①中函数不是“敛1函数”；对于
②③④中函数，作出函数图象，结合“敛1函数”的定义易知它们都是“敛1函数”．故选C.3．2018·大连一模设fx是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，fx单调递减，若x1＋x20，则fx1＋fx2的值 A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负解析选A 由fx是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，fx单调递减，可知fx是R上的单调递减函数，由x1＋x20，可知x1－x2，fx1f－x2＝－fx2，则fx1＋fx
20.4．已知函数fx＝x，a，b为正实数，A＝f，B＝f，C＝f，则A，B，C的大小关系为 A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A解析选A 因为≥≥，又fx＝x在R上是单调减函数，故f≤f≤f.5．设n∈N，则－与－的大小关系是 A.－－B.－－C.－＝－D．不能确定解析选B 由题意知，－－－＝＋－＋，因为＋2－＋2＝2[－]＝2－0，所以－－.6．已知a，b，c∈0，＋∞，则a＋，b＋，c＋三个数 A．都大于6B．至少有一个不大于6C．都小于6D．至少有一个不小于6解析选D 设a＋，b＋，c＋都小于6，则a＋＋b＋＋c＋＜18利用基本不等式，可得a＋＋b＋＋c＋≥2＋2＋2＝8＋4＋6＝18，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以a＋，b＋，c＋三个数至少有一个不小于
6.
二、填空题7．2018·太原模拟用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设____________________．解析“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．答案x≠－1且x≠18．若二次函数fx＝4x2－2p－2x－2p2－p＋1，在区间[－11]内至少存在一点c，使fc0，则实数p的取值范围是________．解析法一补集法令解得p≤－3或p≥，故满足条件的p的范围为.法二直接法依题意有f－10或f10，即2p2－p－10或2p2＋3p－90，得－p1或－3p，故满足条件的p的取值范围是.答案9．2018·德州一模如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A2B2C2是________三角形．解析由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．由得那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为π相矛盾．所以假设不成立，又显然△A2B2C2不是直角三角形．所以△A2B2C2是钝角三角形．答案钝角
三、解答题10．已知a，b，c为不全相等的正数，求证＋＋＞
3.证明因为a，b，c为不全相等的正数，所以＋＋＝＋＋＋＋＋－3＞2＋2＋2－3＝3，即＋＋＞
3.11．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝n∈N*，1计算a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；2证明1中的猜想．解1在数列{an}中，∵a1＝2，an＋1＝n∈N*，∴a1＝2＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，∴猜想这个数列的通项公式是an＝.2证明法一∵an＋1＝，∴＝＝1＋，∴－＝
1.∵a1＝2，∴＝，∴是以为首项，1为公差的等差数列，∴＝＋n－1×1＝，∴an＝.法二下面利用数学归纳法证明
①当n＝1时，可知成立；
②假设n＝kk≥1，k∈N*时，ak＝成立．则当n＝k＋1k∈N*时，ak＋1＝＝＝，因此当n＝k＋1时，命题成立．综上
①②可知an＝对n∈N*都成立．12．已知函数fx＝x3－ax在x＝1处取得极小值，其中a是实数．1求实数a的值；2用反证法证明当x＞0时，－，中至少有一个不小于.解1∵fx＝x3－ax，∴f′x＝3x2－a，∵函数fx＝x3－ax在x＝1处取得极小值，∴f′1＝0，即3－a＝0，∴a＝
3.2证明假设－，都小于，即∴∴＋2，即x＋2，当x＞0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝时等号成立，∴假设不成立，∴－，中至少有一个不小于.
1.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起有一轴穿过它们的圆心，两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转ii＝1234次，每次转动90°，记Tii＝1234为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1＝x1y2＋x2y3＋x3y4＋x4y
1.若x1＋x2＋x3＋x4＜0，y1＋y2＋y3＋y4＜0，则以下结论正确的是 A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数解析选A 因为x1＋x2＋x3＋x4＜0，y1＋y2＋y3＋y4＜0，所以x1＋x2＋x3＋x4y1＋y2＋y3＋y40，即x1y1＋x1y2＋x1y3＋x1y4＋x2y1＋x2y2＋x2y3＋x2y4＋x3y1＋x3y2＋x3y3＋x3y4＋x4y1＋x4y2＋x4y3＋x4y40，即T1＋T2＋T3＋T40，即T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数．选A.2．设fnx是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥
2.1证明函数Fnx＝fnx－2在内有且仅有一个零点记为xn，且xn＝＋x；2设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gnx，比较fnx和gnx的大小，并加以证明．解1证明Fnx＝fnx－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，则Fn1＝n－1＞0，Fn＝1＋＋2＋…＋n－2＝－2＝－＜0，所以Fnx在内至少存在一个零点．又F′nx＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，故Fnx在内单调递增，所以Fnx在内有且仅有一个零点xn.因为xn是Fnx的零点，所以Fnxn＝0，即－2＝0，故xn＝＋x.2由题设，fnx＝1＋x＋x2＋…＋xn，gnx＝，x＞
0.当x＝1时，fnx＝gnx．当x≠1时，用数学归纳法可以证明fnx＜gnx．
①当n＝2时，f2x－g2x＝－1－x2＜0，所以f2x＜g2x成立．
②假设n＝kk≥2，k∈N*时，不等式成立，即fkx＜gkx．那么，当n＝k＋1时，fk＋1x＝fkx＋xk＋1＜gkx＋xk＋1＝＋xk＋1＝.又gk＋1x－＝，令hkx＝kxk＋1－k＋1xk＋1x＞0，则h′kx＝kk＋1xk－kk＋1xk－1＝kk＋1xk－1·x－1． 所以当0＜x＜1时，h′kx＜0，hkx在01上递减；当x＞1时，h′kx＞0，hkx在1，＋∞上递增．所以hkx＞hk1＝0，从而gk＋1x＞.故fk＋1x＜gk＋1x，即n＝k＋1时不等式也成立．由
①和
②知，对一切n≥2的整数，都有fnx＜gnx．阶段滚动检测五检测范围第一单元至第十九单元对应配套卷P357时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在复平面内，设z＝a＋2ii是虚数单位，若复数z2对应的点位于虚轴的正半轴上，则实数a的值为 A．0 B．2C．－2D．2或－2解析选B 因为z＝a＋2i，所以z2＝a2－4＋4ai.因为复数z2对应的点位于虚轴的正半轴上，所以所以a＝
2.2．设U＝R，集合M＝{x|x2＋x－20}，N＝x2x－1≤，则∁UM∩N＝ A．[－20]B．[－21]C．
[01]D．
[02]解析选A 由题意可得∁UM＝[－21]，N＝－∞，0]，故∁UM∩N＝[－20]．3．已知函数fx＝－x2＋2，gx＝log2|x|，则函数Fx＝fx·gx的图象大致为 解析选B fx，gx均为偶函数，则Fx也为偶函数，由此排除A，D.当x2时，－x2＋20，log2|x|0，所以Fx0，排除C，故选B.4．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩百分制如下表所示序号1234567891011121314151617181920数学成绩9575809492656784987167936478779057837283物理成绩9063728791715882938177824885699161847886若数学成绩90分含90分以上为优秀，物理成绩85含85分以上为优秀．参照公式，得到的正确结论是 附K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.PK2≥k
00.
100.
050.
0250.
0100.
0050.001k
02.
7063.
8415.
0246.
6357.
87910.828A．有
99.5%以上的把握认为“学生的数学成绩与物理成绩有关”B．没有
99.5%以上的把握认为“学生的数学成绩与物理成绩有关”C．在犯错误的概率不超过
0.1%的前提下，认为“学生的数学成绩与物理成绩无关”D．在犯错误的概率不超过
0.1%的前提下，认为“学生的数学成绩与物理成绩有关”解析选A 根据题意可得2×2列联表物理优秀物理不优秀总计数学优秀516数学不优秀21214总计71320则K2＝≈
8.
8027.879，因此有
99.5%把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系．5．已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，若数列{an}与{Sn＋2}都是公比为q的等比数列，则q的值为 A.B．1C.D．2解析选C 根据题意可得＝q，即＝q，解得q＝.6．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为 A.B.C.D.解析选A 法一当学生A最后一个出场时，有AA＝18种不同的安排方法；当学生A不是最后一个出场时，有AA＝36种不同的安排方法，所以满足“A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的所有不同安排方法有18＋36＝54种．其中“C第一个出场”的结果有AA＝18种，则所求概率为＝.法二“A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的安排方法中，另外3人中任何一个人第一个出场的概率都相等，故“C第一个出场”的概率是.7．执行如图所示的程序框图，若输出s的值为10，则判断框中填入的条件可以是 A．i10B．i≤10C．i≤11D．i≤12解析选C 由程序框图知，其运行的功能是循环计算并输出s的值，由于s＝0＋dx＋dx＋…＋dx＝lnxe3e2＋lnxe4e3＋…＋lnxei＋1ei＝i－1＝10，解得i＝11，所以当i11时，不满足判断框内的条件，退出循环，故判断框内应填i≤11？.8．观察下列各式55＝312556＝1562557＝7812558＝390625，59＝1953125，…，则52018的末四位数字为 A．3125B．5625C．0625D．8125解析选B 由题意可知，n4时，5n的末四位数字以T＝4为周期，又因为2018＝4×503＋6，所以52018的末四位数字与56的末四位数字相同，即为
5625.9．x＋2y7展开式中系数最大的项为 A．68y7B．112x3y4C．672x2y5D．1344x2y5解析选C x＋2y7展开式的通项为Tr＋1＝2rCx7－ryr，设第r＋1项系数最大，则解得r＝5，所以x＋2y7展开式中系数最大的项为T6＝25Cx2y5＝672x2y
5.10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A．4＋6πB．8＋6πC．4＋12πD．8＋12π解析选B 由三视图可知，该几何体是组合体，下面是一个底面半径为2，高为3的圆柱的一半，上面是一个高为2，底面是一个边长为34的矩形的四棱锥，所以该几何体的体积V＝×π×22×3＋×4×3×2＝8＋6π.11．已知双曲线－＝1a0，b0的左、右两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|－|MF2|＝2b，该双曲线的离心率为e，则e2＝ A．2B.C.D.解析选D 由题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，联立得即点Ma，b，则|MF1|－|MF2|＝－＝2b，即－＝2，－＝2，化简得，e4－e2－1＝0，解得e2＝.12．已知函数fx＝e为自然对数的底数，函数gx满足g′x＝f′x＋2fx，其中f′x，g′x分别为函数fx和gx的导函数，若函数gx在[－11]上是单调函数，则实数a的取值范围为 A．－∞，1]B.C．1，＋∞D.解析选B 因为f′x＝，所以g′x＝f′x＋2fx＝.因为函数gx在[－11]上是单调函数，所以g′x≥0或g′x≤
0.当a＝0时，g′x0，满足题意；因为ex0，所以当a0时，只需ax2＋2ax＋1≥0在[－11]上成立即可，所以a＋2a＋1≥0，则－≤a0；当a0时，只需ax2＋2ax＋1≥0在[－11]上成立，所以a－2a＋1≥0，则0a≤
1.综上所述，实数a的取值范围为.
二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上13．某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N300100，则用电量在320度以上的户数约为________．参考数据若随机变量ξ服从正态分布Nμ，σ2，则Pμ－σξμ＋σ≈
68.27%，Pμ－2σξμ＋2σ≈
95.45%，Pμ－3σξμ＋3σ≈
99.73%.解析由题意可知，μ＝300，σ＝10，所以Pξ320＝
0.5－P300－20ξ300＋20＝
2.275%，则用电量在320度以上的户数约为1000Pξ320≈
23.答案2314．已知几何体OABCD的底面ABCD是边长为的正方形，且该几何体体积的最大值为，则该几何体外接球的表面积为________．解析因为该几何体体积的最大值为，所以点O到平面ABCD的距离h＝，根据球的性质可得R2＝2＋2，所以R＝，因此该几何体外接球的表面积S＝4πR2＝8π.答案8π15．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示价格x
99.5m
10.511销售量y11n865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是＝－
3.2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝________.解析＝＝8＋，＝＝6＋，回归直线一定经过样本点中心，，即6＋＝－
3.2＋40，即
3.2m＋n＝
42.又因为m＋n＝20，即解得故n＝
10.答案1016．设x，y满足约束条件若目标函数z＝2x－y＋2a＋ba0，b0的最大值为3，则＋的最小值为________．解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数z与直线在y轴上的截距的关系可知，当目标函数z＝2x－y＋2a＋ba0，b0过点A10时取得最大值3，即2a＋b＝1，则＋＝2a＋b＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即b＝2a＝2－时，＋取得最小值3＋
2.答案3＋2
三、解答题本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．本小题满分10分在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsinB＝2a＋csinA＋2c＋asinC.1求B的大小；2若b＝，A＝，求△ABC的面积．解1∵2bsinB＝2a＋csinA＋2c＋asinC，由正弦定理得，2b2＝2a＋ca＋2c＋ac，化简得，a2＋c2－b2＋ac＝
0.∴cosB＝＝＝－.∵0Bπ，∴B＝.2∵A＝，∴C＝π－－＝.∴sinC＝sin＝sincos－cossin＝.∵b＝，B＝，∴由正弦定理得c＝＝.∴△ABC的面积S＝bcsinA＝×××＝.18．本小题满分12分为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施，为做好此项工作，某市交警支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录组名尾号频数频率第一组
0142000.2第二组
362500.25第三组257ab第四组89c
0.3由于某些数据缺失，表中以英文字母作标记，请根据图表提供的信息计算1若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽取20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从
一、
二、
三、四组中各抽取多少辆？2以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品，用ξ表示车尾号在第二组的汽车数目，求ξ的分布列和数学期望．解1根据频率定义知，
0.2＋
0.25＋b＋
0.3＝1，解得b＝
0.25，所以从第
一、
二、
三、四组应抽取的汽车分别为4辆、5辆、5辆、6辆．2在此路口随机抽取一辆汽车，该辆车的车尾号在第二组的概率为，由题意知ξ～B，Pξ＝0＝4＝，Pξ＝1＝C××3＝，Pξ＝2＝C×2×2＝，Pξ＝3＝C×3×＝，Pξ＝4＝4＝，所以ξ的分布列为ξ01234PEξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1或Eξ＝4×＝
1.19．本小题满分12分如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．1证明BE⊥DC；2若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角FABP的余弦值．解1证明依题意，以点A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得B100，C220，D020，P002．由E为棱PC的中点，得E111．则＝011，＝200，故·＝0，所以BE⊥DC.2因为＝120，＝－2，－22，＝220，＝100．由点F在棱PC上，设＝λ0≤λ≤
1.故＝＋＝＋λ＝1－2λ，2－2λ，2λ．由BF⊥AC，得·＝0，所以21－2λ＋22－2λ＝0，解得λ＝.即＝.设n1＝x，y，z为平面FAB的一个法向量，则eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1n1·＝0，n1·＝0，即不妨令z＝1，可得n1＝0，－31为平面FAB的一个法向量．又平面ABP的法向量n2＝010，则cos〈n1，n2〉＝＝＝－.由图知二面角FABP是锐角，所以二面角FABP的余弦值为.20．本小题满分12分某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表价格x元/kg1015202530日需求量ykg11108651求y关于x的线性回归方程；2利用1中的回归方程，当价格x＝40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？附对于一组数据x1，y1，x2，y2，…，xn，yn，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.解1由所给数据计算得＝10＋15＋20＋25＋30＝20，＝11＋10＋8＋6＋5＝8，xi－2＝－102＋－52＋02＋52＋102＝250，xi－yi－＝－10×3＋－5×2＋0×0＋5×－2＋10×－3＝－80，＝＝＝－
0.
32.＝－＝8＋
0.32×20＝
14.
4.故所求线性回归方程为＝－
0.32x＋
14.
4.2由1知当x＝40时，＝－
0.32×40＋
14.4＝
1.
6.故当价格x＝40元/kg时，日需求量y的预测值为
1.6kg.21．本小题满分12分2018·昆明三中、玉溪一中统考如图，已知椭圆E＋＝1a＞b＞0的离心率为，且过点2，，四边形ABCD的顶点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O，kAC·kBD＝－.1求·的取值范围；2求证四边形ABCD的面积为定值．解1由题意知得∴椭圆的标准方程为＋＝
1.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，Ax1，y1，Bx2，y2．由⇒1＋2k2x2＋4kmx＋2m2－8＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.y1y2＝kx1＋mkx2＋m＝k2·＋km·＋m2＝.∵kOA·kOB＝－⇒·＝－，∴＝－·⇒m2＝4k2＋
2.·＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝2－，∴－2≤·＜2，当k＝0时，·＝－2，当k不存在，即AB⊥x轴时，·＝2，∴·的取值范围是[－22]．2证明由题意知SABCD＝4S△AOB.∵S△AOB＝···＝2＝2，∴SABCD＝
8.即四边形ABCD的面积为定值．22．本小题满分12分已知函数fx＝ax－ex＋1，a∈R.1求fx的单调区间；2若fx≤0在x∈R上恒成立，求实数a的值；3当a＝1时，对任意的0mn，求证－1－
1.解1f′x＝a－ex，当a≤0时，f′x0，fx的单调递减区间为－∞，＋∞；当a0时，由f′x0，得xlna；由f′x0，得xlna，∴fx的单调递增区间为－∞，lna，单调递减区间为lna，＋∞．2由1知，当a≤0时，fx在－∞，＋∞上单调递减，而f0＝0，∴fx≤0在R上不可能恒成立；当a0时，fx在－∞，lna上单调递增，在lna，＋∞上单调递减，fxmax＝flna＝alna－a＋
1.令ga＝alna－a＋1，依题意有ga≤0，而g′a＝lna，且a0，∴ga在01上单调递减，在1，＋∞上单调递增，∴gamin＝g1＝0，故a＝
1.3证明由2知a＝1时，flnx＝lnx－x＋1≤0恒成立，所以有lnx≤x－1x0．则＝＝－1－1＝－1，又由lnx≤x－1知－lnx≥1－x在0，＋∞上恒成立，∴＝－1＝－1－1＝－
1.综上所述对任意的0mn，有－1－
1.。
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