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高考达标检测
(四十五)二项式定理命题3角度——求系数、定特项、会赋值
一、选择题
1.3展开式的常数项为 A.120 B.160C.200D.240解析选B 因为3=6,其展开式的通项为Tr+1=C·6-r·2xr=C2rx2r-6,令2r-6=0,可得r=3,故展开式的常数项为C·23=
160.2.在1-x5+1-x6+1-x7+1-x8的展开式中,含x3的项的系数是 A.74B.121C.-74D.-121解析选D 展开式中含x3项的系数为C-13+C-13+C-13+C-13=-
121.3.x+221-x5中x7的系数与常数项之差的绝对值为 A.5B.3C.2D.0解析选A 常数项为C×22×C=4,x7的系数为C×C-15=-1,因此x7的系数与常数项之差的绝对值为
5.4.若m的展开式中二项式系数之和为128,则展开式中的系数是 A.21B.-21C.7D.-7解析选A 由题意可知2m=128,∴m=7,∴展开式的通项Tr+1=C3x7-r·r=C37-r-1rx,令7-r=-3,解得r=6,∴的系数为C37-6-16=
21.5.在1+x61+y4的展开式中,记xmyn项的系数fm,n,则f30+f21+f12+f03= A.45B.60C.120D.210解析选C 在1+x6的展开式中,xm的系数为C,在1+y4的展开式中,yn的系数为C,故fm,n=C·C.从而f30=C=20,f21=C·C=60,f12=C·C=36,f03=C=4,所以f30+f21+f12+f03=20+60+36+4=
120.6.若x-18=1+a1x+a2x2+…+a8x8,则a5= A.56B.-56C.35D.-35解析选B x-18展开式的通项为Tr+1=Cx8-r-1r,令r=3,得a5=C-13=-
56.7.设1+xn=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an=63,则展开式中系数最大的项是 A.15x2B.20x3C.21x3D.35x3解析选B ∵1+xn=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令x=0,得a0=
1.令x=1,得1+1n=a0+a1+a2+…+an=64,∴n=
6.又1+x6的展开式二项式系数最大的项的系数最大,∴1+x6的展开式系数最大的项为T4=Cx3=20x
3.8.2018·河北衡水中学调研若5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为 A.10B.20C.30D.40解析选D 令x=1,得1+a2-15=1+a=2,所以a=
1.因此5的展开式中的常数项为5的展开式中x的系数与的系数的和.5的展开式的通项Tr+1=C2x5-rr=C25-rx5-2r·-1r.令5-2r=1,得r=2,因此5的展开式中x的系数为C25-2×-12=80;令5-2r=-1,得r=3,因此5的展开式中的系数为C25-3×-13=-40,所以5的展开式中的常数项为80-40=
40.
二、填空题9.若a1x-14+a2x-13+a3x-12+a4x-1+a5=x4,则a2+a3+a4=________.解析x4=[x-1+1]4=Cx-14+Cx-13+Cx-12+Cx-1+C,对照a1x-14+a2x-13+a3x-12+a4x-1+a5=x4,得a2=C,a3=C,a4=C,所以a2+a3+a4=C+C+C=
14.答案1410.已知a=sinx+cosxdx,则二项式6的展开式中,含x2项的系数是________.解析a=sinx+cosxdx=-cosx+sinx=2,则6=6,展开式的通项为Tr+1=C26-rr=-1rC·26-r·x3-r,令3-r=2,得r=
1.故含x2项的系数是-11·C·26-1=-
192.答案-19211.已知x+12n的展开式中没有x2项,n∈N*,且5≤n≤8,则n=________.解析因为x+12n=x2+2x+1n,则当第1个括号取x2时,第2个括号不能有常数项,而当n=8时,展开式中含有常数项C;当第1个括号取2x时,第2个括号不能含有x项,而当n=5时,展开式中含有x项Cx;当第1个括号取1时,第2个括号不能含有x2项,而当n=6时,展开式中含有x2项Cx
2.由上可知n=
7.答案712.若ax-16的展开式中含x3的项的系数为30,则a的值为______,展开式中所有项的系数之和为______.解析因为6的展开式的通项为Tr+1=Cx-6+2r,所以ax-16的展开式中含x3的项为a·Cx-5+2r,令-5+2r=3,解得r=4,故a·C=30,解得a=
2.令x=1,得2-1×6=
64.答案2 64
三、解答题13.已知在n的展开式中,只有第5项二项式系数最大.1判断展开式中是否存在常数项,若存在,求出常数项;若不存在,说明理由;2求展开式的所有有理项.解1∵二项式系数最大的只有第5项,即C最大,∴n=8,∴Tr+1=C8-rr=-1r2-rCx.若存在常数项,则=0即3r=16,r=,又r∈N,矛盾,∴不存在常数项.2若Tr+1为有理项,当且仅当为整数,因为0≤r≤8,r∈N,所以r=048,时,Tr+1为有理项,即展开式中的有理项有3项,它们是T1=x4,T5=x,T9=x-
2.14.已知n的展开式中前3项的系数成等差数列,设n=a0+a1x+a2x2+…+anxn.1求a0的值;2求系数最大的项.解1n的展开式中前3项的系数分别为1,C×,C×2,∵它们成等差数列,∴2C×=1+C×2,即n2-9n+8=0,解得n=8或n=1舍去,由n=a0+a1x+a2x2+…+anxn令x=0,可得a0=8=.28的展开式的通项为Tr+1=Cx8-r·r=rCx8-r,由解得2≤r≤3∴r=2或3,∴系数最大的项是7x5或7x
6.1.x-2y+16的展开式中含x3y项的系数为 A.15B.60C.-60D.-120解析选D 法一由于x-2y+1中含有三项,可以看成[x+1-2y]6,要得到含x3y的项,由T2=Cx+15·-2y=-12x+15y可得,要含有x3,则对于x+15,T3′=Cx3=10x3,即含x3y的项为-120x3y.法二由二项式定理可知,含x3y的项即Cx3C-2y·C12=-120x3y,故含x3y项的系数为-
120.2.1+x+x26的展开式中的常数项为________.解析6的展开式的通项为Tr+1=Cx6-r·r=-1rCx6-2r,令6-2r=0,得r=3,则T4=C·-13=-C;令6-2r=-1,得r=舍去;令6-2r=-2,得r=4,则T5=C-14x-2,∴1+x+x26的展开式中的常数项为C-C=15-20=-
5.答案-5。