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题组层级快练十三1.2015·安徽下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 A.y=cosx B.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+1答案 A解析 y=cosx是偶函数且有无数多个零点,y=sinx为奇函数,y=lnx既不是奇函数也不是偶函数,y=x2+1是偶函数但没有零点,故选A.2.函数fx=x-的零点个数是 A.0 B.1C.2D.无数个答案 C解析 法一画出y=x与y=的图像,知有两个交点.法二令fx=0,解x-=0,即x2-4=0,且x≠0,则x=±
2.3.2019·郑州质检函数fx=lnx-的零点的个数是 A.0B.1C.2D.3答案 C解析 y=与y=lnx的图像有两个交点.4.函数fx=xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为 A.2B.3C.4D.5答案 D解析 借助余弦函数的图像求解.fx=xcos2x=0⇒x=0或cos2x=0,又cos2x=0在[0,2π]上有,,,,共4个根,故原函数有5个零点.5.函数fx=1-xlog2x的零点所在的区间是 A.,B.,1C.1,2D.2,3答案 C解析 因为y=与y=log2x的图像只有一个交点,所以fx只有一个零点.又因为f1=1,f2=-1,所以函数fx=1-xlog2x的零点所在的区间是1,2.故选C.6.2019·湖南株洲质检一设数列{an}是等比数列,函数y=x2-x-2的两个零点是a2,a3,则a1a4= A.2B.1C.-1D.-2答案 D解析 因为函数y=x2-x-2的两个零点是a2,a3,所以a2a3=-2,由等比数列性质可知a1a4=a2a3=-
2.故选D.7.2019·郑州质检[x]表示不超过x的最大整数,例如[
2.9]=2,[-
4.1]=-5,已知fx=x-[x]x∈R,gx=log4x-1,则函数hx=fx-gx的零点个数是 A.1B.2C.3D.4答案 B解析 作出函数fx与gx的图像如图所示,发现有两个不同的交点,故选B.8.若函数fx=2x--a的一个零点在区间1,2内,则实数a的取值范围是 A.1,3B.1,2C.0,3D.0,2答案 C解析 由条件可知f1f20,即2-2-a4-1-a0,即aa-30,解之得0a
3.9.2019·衡水中学调研卷方程|x2-2x|=a2+1a0的解的个数是 A.1B.2C.3D.4答案 B解析 数形结合法∵a0,∴a2+
11.而y=|x2-2x|的图像如图,∴y=|x2-2x|的图像与y=a2+1的图像总有两个交点.10.已知x0是函数fx=2x+的一个零点.若x1∈1,x0,x2∈x0,+∞,则 A.fx10,fx20B.fx10,fx20C.fx10,fx20D.fx10,fx20答案 B解析 设gx=,由于函数gx==-在1,+∞上单调递增,函数hx=2x在1,+∞上单调递增,故函数fx=hx+gx在1,+∞上单调递增,所以函数fx在1,+∞上只有唯一的零点x0,且在1,x0上fx10,在x0,+∞上fx20,故选B.11.设方程10x=|lg-x|的两个根分别为x1,x2,则 A.x1x20B.x1x2=1C.x1x21D.0x1x21答案 D解析 作出函数y=10x与y=|lg-x|的图像,如图所示.因为x1,x2是10x=|lg-x|的两个根,则两个函数图像交点的横坐标分别为x1,x2,不妨设x2-1,-1x10,则10x1=-lg-x1,10x2=lg-x2,因此10x2-10x10,所以lgx1x20,即0x1x21,故选D.12.2019·湖北襄阳一中期中已知a是函数fx=2x-logx的零点,若0x0a,则fx0的值满足 A.fx00B.fx0=0C.fx00D.fx0的符号不确定答案 A解析 因为函数fx=2x-logx在0,+∞上是增函数,a是函数fx=2x-logx的零点,即fa=0,所以当0x0a时,fx0fa=
0.故选A.13.已知函数fx=ex+x,gx=lnx+x,hx=lnx-1的零点依次为a,b,c,则 A.abcB.cbaC.cabD.bac答案 A解析 ∵ea=-a,∴a
0.∵lnb=-b,且b0,∴0b
1.∵lnc=1,∴c=e1,故选A.14.2019·沧州七校联考给定方程x+sinx-1=0,有下列四个命题p1该方程没有小于0的实数解;p2该方程有有限个实数解;p3该方程在-∞,0内有且只有一个实数解;p4若x0是该方程的实数解,则x0-
1.其中的真命题是________.答案 p3,p4解析 由x+sinx-1=0,得sinx=1-x,令fx=sinx,gx=1-x,在同一坐标系中画出两函数的图像如图,由图像知p1错,p3,p4对,而由于gx=1-x递增,小于1,且以直线y=1为渐近线,fx=sinx在-1到1之间振荡,故在区间0,+∞上,两者的图像有无穷多个交点,所以p2错.15.若函数fx=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是________.答案 0,1]解析 当x0时,由fx=lnx=0,得x=
1.因为函数fx有两个不同的零点,则当x≤0时,函数fx=2x-a有一个零点.令fx=0,得a=2x.因为02x≤20=1,所以0a≤1,所以实数a的取值范围是0a≤
1.16.已知函数fx=若关于x的方程fx=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.答案 0,1解析 画出分段函数fx的图像如图所示,结合图像可以看出,若fx=k有两个不同的实根,也即函数y=fx的图像与直线y=k有两个不同的交点,k的取值范围为0,1.17.已知函数fx=4x+m·2x+1仅有一个零点,求m的取值范围,并求出零点.答案 m=-2,零点是x=0解析 方法一令2x=t,则t0,则gt=t2+mt+1=0仅有一正根或两个相等的正根,而g0=10,故∴m=-
2.当m=-2时,t=1,即2x=1得x=0,∴函数的零点是x=
0.方法二令2x=t,则t
0.原函数的零点,即方程t2+mt+1=0的根.∴t2+1=-mt.∴-m==t+t0.有一个零点,即方程只有一根.∵t+≥2当且仅当t=即t=1时取等号,又y=t+在0,1上递减,在1,+∞上递增.∴-m=2即m=-2时,只有一根.注方法一侧重二次函数,方法二侧重于分离参数.。