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2019年高一数学下学期期中试题III
一、选择题(本大题共12小题每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的)1.sin18°cos27°+cos18°sin27°的值是 A.B.C.D.-2.D是△ABC的边AB上的中点,则向量等于 A.-+B.--C.-D.+3.在△ABC中,C=60°,AB=,BC=,那么A等于 A.135°B.105°C.45°D.75°4.在数列{an}中,an+1-an=2,a2=5,则{an}的前4项和为 A.9B.22C.24D.325.已知向量a=12,b=10,c=34.若λ为实数,a+λb∥c,则λ等于 A.B.C.1D.
26.已知sinα=则等于 A.-B.-C.-D.7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为 A.2+2B.+1C.2-2D.-
18.已知sinx+cosx=,则cos= A.-B.C.-D.9.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足-·+-2=0,则△ABC的形状为 A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形10.已知||=1,||=,·=0,点C在∠AOB内,且与的夹角为30°,设=m+nm,n∈R,则的值为 A.2B.C.3D.
411.已知数列满足,则A.B.C.D.
112.设α、β都是锐角,且cosα=,sinα+β=,则cosβ等于 A.B.C.或D.或二.填空题(本大题包括4个小题,每小题5分,共20分)13.=.14.设x∈R,向量a=x1,b=1,-2,且a⊥b,则|a+b|=________.
15.已知数列{an}满足a1=1,an=·an-1n≥2且n∈N*,则an=________.
16.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°,45°,且A,B两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为______m.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(本题满分10分)已知,.
(1)求;
(2)当k为何实数时,与平行,平行时它们是同向还是反向?18.(本题满分12分)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-
3.1求数列{an}的通项公式;2若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
19.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=sinx,cosx,x∈.1若m⊥n,求tanx的值;2若m与n的夹角为,求x的值.
20.(本题满分12分)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+
2.1设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;2求{an}的通项公式.
21.(本小题满分12分)已知函数fx=sin+cosx.1求函数fx的最大值,并写出当fx取最大值时x的取值集合;2若α∈,f=,求f2α的值.
22.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2-b-c2=2-bc,sinAsinB=cos2,BC边上的中线AM的长为.1求角A和角B的大小;2求△ABC的面积.数学科试题参考答案题号123456789101112答案AACCBDBBCCBB1.答案 A解析 sin18°cos27°+cos18°sin27°=sin18°+27°=sin45°=.2.答案 A解析 如图,=+=+=-+.3.答案 C解析 由正弦定理知=,即=,所以sinA=,又由题知,BCAB,∴A=45°.
4.答案 C解析 由an+1-an=2,知{an}为等差数列且公差d=2,∴由a2=5,得a1=3,a3=7,a4=9,∴前4项和为3+5+7+9=24,故选C.5.答案 B解析 ∵a+λb=1+λ,2,c=34,且a+λb∥c,∴=,∴λ=,
6.【答案】D【解析】由sinα=.故==2sinα=.7.答案 B解析 ∵b=2,B=,C=.由正弦定理=,得c===2,A=π-+=π,∴sinA=sin+=sincos+cossin=.则S△ABC=bc·sinA=×2×2×=+
1.
8.【答案】B【解析】sinx+cosx=2=2=2cos=,∴cos=.9.答案 C解析 因为-·+-2=0,即·+=0,因为-=,所以-·+=0,即||=||,所以△ABC是等腰三角形,故选C.10.答案 C解析 ∵·=0,∴⊥,以OA为x轴,OB为y轴建立直角坐标系图略,=10,=0,,=m+n=m,n.∵tan30°==,∴m=3n,即=3,故选C.
11.【答案】B【解析】∵,,∴,∵,∴,∴,又∵,∴.∴数列是以﹣2为首项,﹣1为公差的等差数列,∴,∴.则.故答案为B
12.答案 B解析依题意得sinα==,cosα+β=±=±.又α,β均为锐角,所以0αα+βπ,cosαcosα+β.因为-,所以cosα+β=-.于是cosβ=cos[α+β-α]=cosα+βcosα+sinα+βsinα=-×+×=.13.【答案】【解析】[由二倍角公式得14.答案 解析 ∵a⊥b,∴a·b=0,即x-2=0,∴x=2,∴a=21,∴a2=5,b2=5,∴|a+b|====.
15.答案an=.【解析】∵an=an-1n≥2,∴an-1=an-2,…,a2=a
1.以上n-1个式子相乘得an=a1···…·==.当n=1时也满足此等式,∴an=.
16.答案30+30解析在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60,sin15°=sin45°-30°=sin45°cos30°-cos45°sin30°=×-×=.由正弦定理,得=,所以PB==30+.所以建筑物的高度为PBsin45°=30+×=30+30m.17.解1因为a=10,b=21,所以a+3b=73,∴|a+3b|==.…………5分2ka-b=k-2,-1,a+3b=73,…………7分因为ka-b与a+3b平行,所以3k-2+7=0,即k=-.…………8分此时ka-b=k-2,-1=,a+3b=73,…………9分则a+3b=-3ka-b,即此时向量a+3b与ka-b方向相反.…………10分18.解 1设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+n-1d.由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-
2.从而an=1+n-1×-2=3-2n.2由1可知an=3-2n,所以Sn==2n-n
2.由Sk=-35,可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-
5.又k∈N*,故k=
7.
19.解 1因为m=,n=sinx,cosx,m⊥n.所以m·n=0,即sinx-cosx=0,所以sinx=cosx,所以tanx=
1.2因为|m|=|n|=1,所以m·n=cos=,即sinx-cosx=,所以sin=,因为0x,所以-x-,所以x-=,即x=.
20.1证明 由an+2=2an+1-an+2,得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+
2.又b1=a2-a1=1,所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.2解 由
①得bn=1+2n-1=2n-1,即an+1-an=2n-
1.于是ak+1-ak=2k-1,所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a
1.又a1=1,所以{an}的通项公式为an=n2-2n+
2.21解1fx=sin+cosx=sinx+cosx+cosx=sinx+cosx=sin.当x+=2kπ+k∈Z,即x=2kπ+k∈Z时,fx取得最大值.此时x的取值集合为{x|x=2kπ+,k∈Z}.2由1知,fx=sin,又f=,所以sin=cosα=,即cosα=.因为α∈,所以sinα=,sin2α=2sinαcosα=2××=,cos2α=2cos2α-1=-,所以f2α=sin=sin2α+cos2α=×-×=.
22.解 1由a2-b-c2=2-bc,得a2-b2-c2=-bc,∴cosA==,又0<A<π,∴A=.由sinAsinB=cos2,得sinB=,即sinB=1+cosC,则cosC<0,即C为钝角,∴B为锐角,且B+C=,则sin-C=1+cosC,化简得cosC+=-1,解得C=,∴B=.2由1知,a=b,由余弦定理得AM2=b2+2-2b··cosC=b2++=2,解得b=2,故S△ABC=absinC=×2×2×=.。