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2019年高一数学下学期第一次月考试题III
一、选择题(本大题共12小题,共60分)
1.已知经过点P(3,m)和点Q(m,-2)的直线的斜率等于2,则m的值为( )A.B.1C.2D.
2.过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点,且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是()A.B.C.D.
3.在△ABC中,已知三个内角为A,B,C满足sinA sinBsinC=654,则sinB=( )A.B.C.D.
4.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为( )A.B.C.D.A.1条B.2条C.3条D.4条
6.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,,则△ABC的形状一定是 ( )A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形
7.若实数x,y满足x2+y2-2x+2y+3=0,则x-y的取值范围是( )A.B.C.D.
8.若直线与圆交于两点,则弦长的最小值为( )A.B.C.D.
9.已知锐角三角形的三边长分别为1,2,a,则a的取值范围是( )A.B.C.D.
10.△ABC中,已知a=2,b=x,B=60°,如果△ABC有两组解,则x的取值范围( )A.B.C.D.
11.如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sinC的值为( )A.B.C.D.
12.点A,B分别为圆M x2+(y-3)2=1与圆N(x-3)2+(y-8)2=4上的动点,点C在直线x+y=0上运动,则|AC|+|BC|的最小值为( )A.7B.8C.9D.10
二、填空题(本大题共4小题,共20分)
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,S=(a2+b2-c2),则角C=______
14.在空间直角坐标系O-xyz中,点(3,-1,m)关于平面xOy对称点为(3,n,-2),则m+n=______
15.当直线y=k(x-2)+4和曲线y= 有公共点时,实数k的取值范围是______
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)圆过点A(1,-2),B(-1,4).求
(1)周长最小的圆的方程;
(2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.
18.(12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量=(a,b)与=(cosA,sinB)平行.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=,b=2,求△ABC的面积.
19.(12分)已知△ABC的三个顶点A(4,0),B(8,10),C(0,6).(Ⅰ)求过A点且垂直于BC的直线方程;(Ⅱ)求过B点且与点A,C距离相等的直线方程.
20.(12分)已知△ABC中,∠B=60°,点D在BC边上,且AC=2.
(1)若CD=,AD=2,求AB;
(2)求△ABC的周长的取值范围.
21.(12分)已知圆C满足
①圆心在第一象限,截y轴所得弦长为2,
②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为31,
③圆心到直线x-2y=0的距离为(Ⅰ)求圆C的方程(Ⅱ)若点M是直线x=3上的动点,过点M分别做圆C的两条切线,切点分别为P,Q,求证直线PQ过定点.
22.(12分)已知圆C,直线l,.求证对,直线l与圆C总有两个不同的交点A、B;求弦AB的中点M的轨迹;是否存在实数m,使得圆C上有四点到直线l的距离为?若存在,求出m的范围;若不存在,说明理由.123456789101112ADCACBCDBBBA
13.【答案】
14.【答案】
115.【答案】
16.【答案】
817.【答案】解
(1)当AB为直径时,过A、B的圆的半径最小,从而周长最小.即AB中点(0,1)为圆心,半径r=|AB|=.则圆的方程为x2+(y-1)2=10.
(2)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.则由题意可得,求得,可得圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20.
18.【答案】解(Ⅰ)因为向量=(a,b)与=(cosA,sinB)平行,所以asinB-=0,由正弦定理可知sinAsinB-sinBcosA=0,因为sinB≠0,所以tanA=,可得A=;(Ⅱ)a=,b=2,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,可得7=4+c2-2c,解得c=3,△ABC的面积为=.
19.【答案】解解(I)kBC==,∴与BC垂直的直线斜率为-2.∴过A点且垂直于BC的直线方程为y-0=-2(x-4),化为2x+y-8=0.(II)当经过点B的直线方程斜率不存在时,不满足要求.当经过点B的直线方程斜率存在时,设为k,则直线方程为y-10=k(x-8),即kx-y+10-8k=0.则=,解得k=或k=-.因此所求的直线方程为7x-6y+4=0,或3x+2y-44=0.
20.【答案】解
(1)△ABC中,∠B=60°,点D在BC边上,且AC=2.CD=,AD=2,则=,所以=.在△ABC中,利用正弦定理,解得=,
(2)△ABC中,利用正弦定理得=,所以,=,由于0<A<120°,则l△ABC==,=2+,=,由于0<A<120°,则30°<A+30°<150°,得到,所以△ABC的周长的范围是
21.【答案】解设圆P的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|.由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,知圆P截x轴所得的弦长为.故r2=2b2又圆P被y轴所截得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1;又因为P(a,b)到直线x-2y=0的距离为,所以d==,即有a-2b=±1,∴或解方程组得或,于是r2=2b2=2,∵圆心在第一象限所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2.(Ⅱ)设点M(3,t),MP2=MC2-r2=t2-2t+3以M为圆心,MP为半径的圆的方程为(x-3)2+(y-t)2=t2-2t+3…
①又(x-1)2+(y-1)2=2…
②.由
①②得2x+(t-1)y-3-t=0,即(2x-y-3)+t(y-1)=0∴直线PQ过定点(2,1)
22.【答案】
(1)证明:圆C(x+2)2+y2=5的圆心为C(-2,0),半径为,所以圆心C到直线l mx-y+1+2m=0的距离.所以直线l与圆C相交,即直线l与圆C总有两个不同的交点;
(2)解设中点为M(x,y),因为直线l mx-y+1+2m=0恒过定点(-2,1),当直线l的斜率存在时,,又,kAB•kMC=-1,所以,化简得.当直线l的斜率不存在时,中点M(-2,0)也满足上述方程.所以M的轨迹方程是,它是一个以为圆心,以为半径的圆.
(3)解:假设存在直线l,使得圆上有四点到直线l的距离为,由于圆心C(-2,0),半径为,则圆心C(-2,0)到直线l的距离为由于圆心C-20,半径为,则圆心C-20到直线l的距离为化简得m2>4,解得m>2或m<-2.。