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2019年高二数学上学期期末考试试题文III
一、选择题(本大题共12题,每题5分,满分60分,每小题只有一个正确答案)
1.给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”,则使该命题为真命题的a的一个值可以是 A.4B.2C.1D.-
32.已知a,b∈R,命题“若a+b=1,则a2+b2≥”的否命题是 A.若a2+b2<,则a+b≠1B.若a+b=1,则a2+b2<C.若a+b≠1,则a2+b2<D.若a2+b2≥,则a+b=
13.设fx存在导函数,且满足=-1,则曲线y=fx上点1,f1处的切线斜率为 A.2B.-1C.1D.-
24.已知条件p x-3或x1,条件q xa,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是 A.a≥-1B.a≤1C.a≥1D.a≤-
35.已知p∃x0∈R,mx+2≤
0.q∀x∈R,x2-2mx+10,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是 A.[1,+∞B.-∞,-1]C.-∞,-2]D.[-11]
6.已知双曲线my2-x2=1m∈R与椭圆+x2=1有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为 A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±3x
7.已知椭圆C+=1ab0的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为 A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=
18.已知抛物线y2=x,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2其中O为坐标原点,则△ABO与△AFO的面积之和的最小值是 A.2B.3C.D.
9.已知函数fx的导函数f′x=ax2+bx+c的图象如图所示,则fx的图象可能是
10.过曲线y=上一点P的切线的斜率为-4,则点P的坐标为 A.B.或C.D.
11.如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,A1,A2,B1,B2为椭圆顶点,F2为右焦点,延长B1F2与A2B2交于点P,若∠B1PB2为钝角,则该椭圆离心率的取值范围是 A.B.C.D.
12.函数fx=x+lnx在06上是 A.单调增函数B.单调减函数C.在上是减函数,在上是增函数D.在上是增函数,在上是减函数第II卷非选择题(共90分)
二、填空题共4小题每小题5分共20分
13.若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是________.
14.已知函数fx=x4+ax2-bx,且f′0=-13,f′-1=-27,则a+b等于________.
15.设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为________.
16.点P在椭圆x2+=1上,点Q在直线y=x+4上,若|PQ|的最小值为,则m=________.
三、解答题共6小题共70分
17.(10分)已知命题p函数fx=x2-2mx+4在[2,+∞上单调递增,命题q关于x的不等式mx2+4m-2x+40的解集为R.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求m的取值范围.
18.(12分)已知椭圆+=1ab0上的点P到左,右两焦点F1,F2的距离之和为2,离心率为.1求椭圆的标准方程;2过右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点,若y轴上一点M0,满足|MA|=|MB|,求直线l的斜率k的值.
19.(12分)双曲线的方程是-y2=
1.1直线l的倾斜角为,被双曲线截得的弦长为,求直线l的方程;2过点P31作直线l′,使其被双曲线截得的弦恰被P点平分,求直线l′的方程.
20.(12分)斜率为k的直线l经过抛物线y=x2的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,若线段|AB|的长为
8.1求抛物线的焦点F的坐标和准线方程;2求直线的斜率k.
21.(12分)设函数fx=ax-,曲线y=fx在点2,f2处的切线方程为7x-4y-12=
0.1求fx的解析式;2证明曲线y=fx上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
22.(12分)设函数fx是定义在[-10∪01]上的偶函数,当x∈[-10时,fx=x3-axa为实数.1当x∈01]时,求fx的解析式;2若a3,试判断fx在01]上的单调性,并证明你的结论;3是否存在a,使得x∈01]时,fx有最大值1高二数学(文科)试题答案
1.C
2.C
3.B
4.C
5.A
6.A
7.A
8.B
9.D
10.B
11.C
12.A
13.e,e
14.
1815.
16.
317.若命题p为真,因为函数的对称轴为x=m,则m≤
2.若命题q为真,当m=0时原不等式为-8x+40,显然不成立.当m≠0时,则有⇒1m
4.因为p∨q为真,p∧q为假,所以命题p,q一真一假.故或解得m≤1或2<m<
4.
18.解 1由题意知,|PF1|+|PF2|=2a=2,所以a=.又因为e==,所以c=×=1,所以b2=a2-c2=2-1=1,所以椭圆的标准方程为+y2=
1.2已知F210,直线斜率显然存在,设直线的方程为y=kx-1,Ax1,y1,Bx2,y2,联立直线与椭圆的方程得化简得1+2k2x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=,y1+y2=kx1+x2-2k=.所以AB的中点坐标为,.
①当k≠0时,AB的中垂线方程为y-=-x-,因为|MA|=|MB|,所以点M在AB的中垂线上,将点M的坐标代入直线方程得,+=,即2k2-7k+=0,解得k=或k=;
②当k=0时,AB的中垂线方程为x=0,满足题意.所以斜率k的取值为0,或.
19.解 1设直线l的方程为y=x+m,代入双曲线方程,得3x2+8mx+4m2+1=0,Δ=8m2-4×3×4m2+1=16m2-30,∴m
23.设直线l与双曲线交于Ax1,y
1、Bx2,y2两点,则x1+x2=-m,x1x2=.由弦长公式|AB|=|x1-x2|,得∴=,即m=±5,满足m23,∴直线l的方程为y=x±
5.2设直线l′与双曲线交于A′x3,y
3、B′x4,y4两点,点P31为A′B′的中点,则x3+x4=6,y3+y4=
2.由=4,=4,两式相减得x3+x4x3-x4-4y3+y4y3-y4=0,∴=,∴l′的方程为y-1=x-3,即3x-4y-5=
0.把此方程代入双曲线方程,整理得5y2-10y+=0,满足Δ0,即所求直线l′的方程为3x-4y-5=
0.
20.解 1化y=x2为标准方程x2=4y,由此,可知抛物线的焦点F的坐标为01,准线方程为y=-
1.2设Ax1,y1,Bx2,y2,由抛物线的定义知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,于是|AB|=y1+y2+2,又|AB|=8,所以y1+y2=6,由1得,抛物线的焦点为01,所以直线l的方程为y=kx+1,所以kx1+1+kx2+1=6,kx1+x2=4,由直线l的方程与抛物线方程得kx+1=,即x2-4kx-4=0,Δ=16k2+160,所以x1+x2=4k,代入kx1+x2=4,得k2=1,k=±
1.
21.1由7x-4y-12=0得y=x-
3.当x=2时,y=,∴f2=,
①又f′x=a+,∴f′2=,
②由
①,
②得解之得.故fx=x-.2证明 设Px0,y0为曲线上任一点,由y′=1+知曲线在点Px0,y0处的切线方程为y-y0=1+x-x0,即y-x0-=1+x-x0.令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为0,-.令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为2x02x0.所以点Px0,y0处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|-||2x0|=
6.故曲线y=fx上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为
6.
22.1fx=-x3+ax.2fx在01]上单调递增,证明见解析.3存在a=,使fx在01]上有最大值1【解析】1设x∈01],则-x∈[-10.∵fx为偶函数,∴fx=f-x=-x3+ax,即x∈01]时,fx=-x3+ax.2fx在01]上单调递增,证明如下f′x=-3x2+a,x∈01],∴-3x2∈[-30.又a3,∴a-3x20,即f′x
0.∴fx在01]上单调递增.3当a3时,fx在01]上单调递增,∴fxmax=f1=a-1=
1.∴a=2与a3矛盾.当0≤a≤3时,令f′x=a-3x2=0,得x=或x=-舍去.x∈时,f′x0,∴fx在上单调递增.x∈时,f′x0,∴fx在上单调递减.又函数fx在x=处连续,∴fxmax=f=-3+a=
1.解得a=,当a0时,f′x=a-3x20,∴fx在01]上单调递减,fx在01]上无最大值.综上,存在a=,使fx在01]上有最大值
1.。