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2019年高二数学下学期期中试题理IV本试卷分选择题和非选择题两部分第Ⅰ卷(选择题),第Ⅱ卷(非选择题),满分150分,考试时间120分钟注意事项1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号3.答非选择题时,必须使用
0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效5.考试结束后,只将答题卡交回
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.已知命题p,.则为()A.,B.,C.,D.,【答案】B【解析】p,.则:.2.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点C的横坐标为,则|AB|= A.B.C.5D.【答案】D【解析】由题意得p=2,∴.选D.3.下列说法正确的是()A.命题“若,则”是真命题B.命题“若,则”的逆命题是“若,则”C.命题“已知,若,则或”是真命题D.命题“若,则”的否命题是“若,则”【答案】C【解析】对于A,若,则,所以A不正确.对于B,命题“若x2-5x+6=0,则x=2”的逆否命题是“若x≠2,则x2-5x+6≠0”,所以B不正确.对于C,命题“已知,若,则或”的逆否命题是“已知,若,则”为真命题,所以C正确.对于D,命题“若x=2,则x2-5x+6=0”的否命题是“若x≠2,则x2-5x+6≠0”,所以D不正确.本题选择C选项.4.执行如图的程序框图,若输出的,则输出的值可以为A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的n,S的值,当S=48时,由题意,此时应该满足条件n=10>k,退出循环,输出S的值为48,故应有7<k<10.解模拟执行程序框图,可得n=1,S=1,不满足条件n>k;n=4,S=6,不满足条件n>k;n=7,S=19,不满足条件n>k;n=10,S=48,由题意,此时应该满足条件n=10>k,退出循环,输出S的值为48,故应有7<k<10故选C.考点程序框图.
5.若在所围区域内随机取一点,则该点落在所围区域内的概率是()A.B.C.D.【答案】B【解析】表示的区域是单位圆及其内部(即圆面),表示的区域是边长为的正方形,故所求概率为故选B考点几何概型.
6.设不重合的两条直线、和三个平面、、给出下面四个命题
(1)
(2)
(3)
(4)其中正确的命题个数是()A.B.C.D.【答案】B【解析】时,有可能,A错;,而所以,又,所以,B对;由两平面平行定义知,C对;时,、有可能相交,D错;因此选B.7.如果椭圆的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是()A.B.C.D.【答案】D【解析】设,则,两式相减,化简得,即直线的斜率为,所以,这条弦所在的直线方程是,即,故选D
8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,其中俯视图由两个半圆和两条线段组成,则该几何体的表面积为()A.B.C.D.[答案] C[解析]该几何体是由半径为3,高为3的半个圆柱去掉半径为1,高为3的半个圆柱后剩下的几何体其表面积为S=故选C
9、xx·陕西·理9从012345这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为 A.300B.216C.180D.162[答案] C[解析] 本小题主要考查排列组合的基础知识.由题意知可分为两类,1选“0”,共有CCCA=108,2不选“0”,共有CA=72,∴由分类加法计数原理得72+108=180,故选C.
10.已知函数,点是函数图象上的任意一点,其中,记的面积为,则的图象可能是【答案】A【解析】,所以,所以选A.11.已知函数,若过点可作曲线的三条切线,则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】设切点为则方程有三解令则因此选C.12.若曲线与曲线存在公共切线,则的取值范围为()A.B.C.D.【名师点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程,过曲线上某点出的切线的斜率,就是函数在该点处的导数值,是中档题.要求曲线上某点的切线方程,需要到两个量,一个是切点,一个是切线的斜率,分别求得切点和斜率,然后根据点斜式可写出切线方程.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题本大题共4小题每小题5分,共20分.请将答案填在题后横线上.13.21010·四川理,13的展开式中的第四项是________.[答案] -[解析] 6的展开式中第4项为T4=C23·3=-.14.已知双曲线的一条渐近线被圆C:截得的线段长为,则__________.【答案】2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线为,圆心C到直线的距离为,故;故答案为
2.15.函数,若,则实数的取值范围是 (﹣1,0) .【考点】3N奇偶性与单调性的综合.【分析】根据题意,分析可得函数f(x)为奇函数且在(﹣1,1)上增函数,由此可以将f(x2)+f(﹣x)>0转化为,解可得x的取值范围,即可得答案.【解答】解根据题意,函数f(x)=x3+sinx,f(﹣x)=(﹣x)3+sin(﹣x)=﹣(x3+sinx)=﹣f(x),故函数f(x)为奇函数,其导数f′(x)=3x2+cosx,又由﹣1<x<1,则有f′(x)=3x2+cosx≥0,故函数f(x)为增函数,f(x2)+f(﹣x)>0⇒f(x2)>﹣f(﹣x)⇒f(x2)>f(x)⇒,解可得﹣1<x<0,即x的取值范围是(﹣1,0);故答案为(﹣1,0)
16.已知是双曲线的右焦点,是轴正半轴上一点,以为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点.若点三点共线,且的面积是面积的7倍,则双曲线的离心率为__________.16.【解析】由题意结合面积的比值可得,且,据此可得,将其代入双曲线渐近线方程可得,设,则由可得,又,,所以,结合可得.
三、解答题
17.(本题满分10分)正项等比数列中,,1求的通项公式;2记为的前项和若,求解1设数列的公比为,∴,∴由于则,故,∴数列的通项公式为(5分)2由1知,,∴∴(10分)18.(本题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x吨与相应的生产能耗y吨标准煤的几组对照数据x3456y
2.
5344.51请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;2已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤,试根据2求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?附线性回归方程y=bx+a中,b=,,其中,为样本平均值,线性回归方程也可写为=x+.18.解1由系数公式可知,=
4.5,=
3.5,3×
2.5+4×3+5×4+6×
4.5=
66.5,==
0.7,=
3.5-
0.7×
4.5=
0.35,所以线性回归方程为=
0.7x+
0.
35.8分2x=100时,=
0.7x+
0.35=
70.35,所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低
19.65吨标准煤..12分
19、(本题满分12分)已知函数.1若在有极小值,求实数的值;2若在定义域R内单调递增,求实数的取值范围.【解析】1,依题意得,解得,故所求的实数.(6分)2由1得.因为在定义域R内单调递增,所以在R上恒成立,即恒成立,因为,所以,所以实数的取值范围为.(12分)
20.如图,是的中点,四边形是菱形,平面平面,,,.(I)若点是线段的中点,证明平面;(Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】(I)详见解析;(Ⅱ)【解析】
21.(本题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为、,离心率,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点,线段的垂直平分线与轴交于点,求点的横坐标的取值范围;
(3)在第
(2)问的条件下,求面积的最大值.解析
(1)因为点在椭圆E上,所以,解得椭圆E的方程为
(2)设直线的方程为,代入,整理得.直线过椭圆的右焦点,方程有两个不等实根.记,中点,则,,,垂直平分线的方程为.令,得.,.的取值范围为.22.已知函数f(x)=px﹣﹣2lnx.(Ⅰ)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;(Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围;(Ⅲ)设函数g(x)=(e为自然对数底数),若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围.【考点】6E利用导数求闭区间上函数的最值;6H利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(I)求出函数在x=1处的值,求出导函数,求出导函数在x=1处的值即切线的斜率,利用点斜式求出切线的方程.(II)求出函数的导函数,令导函数大于等于0恒成立,构造函数,求出二次函数的对称轴,求出二次函数的最小值,令最小值大于等于0,求出p的范围.(III)通过g(x)的单调性,求出g(x)的最小值,通过对p的讨论,求出f(x)的最大值,令最大值大于等于g(x)的最小值求出p的范围.【解答】解(I)当p=2时,函数f(x)=2x﹣﹣2lnx,f
(1)=2﹣2﹣2ln1=0,f′(x)=2+﹣,曲线f(x)在点(1,f
(1))处的切线的斜率为f
(1)=2+2﹣2=2.从而曲线f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y﹣0=2(x﹣1)即y=2x﹣2.(II)f′(x)=p+﹣=,令h(x)=px2﹣2x+p,要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需h(x)≥0在(0,+∞)内恒成立,由题意p>0,h(x)=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为x=∈(0,+∞),∴h(x)min=p﹣,只需p﹣≥0,即p≥1时,h(x)≥0,f(x)≥0∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,正实数p的取值范围是[1,+∞).(III)∵g(x)=在[1,e]上是减函数,∴x=e时,g(x)min=2;x=1时,g(x)max=2e,即g(x)∈[2,2e],当p<0时,h(x)=px2﹣2x+p,其图象为开口向下的抛物线,对称轴x=在y轴的左侧,且h
(0)<0,所以f(x)在x∈[1,e]内是减函数.当p=0时,h(x)=﹣2x,因为x∈[1,e],所以h(x)<0,f′(x)=﹣<0,此时,f(x)在x∈[1,e]内是减函数.∴当p≤0时,f(x)在[1,e]上单调递减⇒f(x)max=f
(1)=0<2,不合题意;当0<p<1时,由x∈[1,e]⇒x﹣≥0,所以f(x)=p(x﹣)﹣2lnx≤x﹣﹣2lnx.又由
(2)知当p=1时,f(x)在[1,e]上是增函数,∴x﹣﹣2lnx≤e﹣﹣2lne=e﹣﹣2<2,不合题意;当p≥1时,由
(2)知f(x)在[1,e]上是增函数,f
(1)=0<2,又g(x)在[1,e]上是减函数,故只需f(x)max>g(x)min,x∈[1,e],而f(x)max=f(e)=p(e﹣)﹣2lne,g(x)min=2,即p(e﹣)﹣2lne>2,解得p>,综上所述,实数p的取值范围是(,+∞). 遂宁二中高xx第二期半期考试数学试题(理科)参考解答1.【答案】B【解析】p,.则:.2.【答案】D【解析】由题意得p=2,∴.选D.3.【答案】C【解析】对于A,若,则,所以A不正确.对于B,命题“若x2-5x+6=0,则x=2”的逆否命题是“若x≠2,则x2-5x+6≠0”,所以B不正确.对于C,命题“已知,若,则或”的逆否命题是“已知,若,则”为真命题,所以C正确.对于D,命题“若x=2,则x2-5x+6=0”的否命题是“若x≠2,则x2-5x+6≠0”,所以D不正确.选C4.【答案】C【解析】模拟执行程序框图,可得n=1,S=1,不满足条件n>k;n=4,S=6,不满足条件n>k;n=7,S=19,不满足条件n>k;n=10,S=48,由题意,此时应该满足条件n=10>k,退出循环,输出S的值为48,故应有7<k<10故选C.
5.【答案】B【解析】表示的区域是单位圆及其内部(即圆面),表示的区域是边长为的正方形,故所求概率为故选B
6.【答案】B【解析】时,有可能,A错;,而所以,又,所以,B对;由两平面平行定义知,C对;时,、有可能相交,D错;因此选B.7.【答案】D【解析】设,则,两式相减,化简得,即直线的斜率为,所以,这条弦所在的直线方程是,即,故选D
8.[答案] C[解析]该几何体是由半径为3,高为3的半个圆柱去掉半径为1,高为3的半个圆柱后剩下的几何体其表面积为S=故选C
9、[答案] C[解析] 由题意知可分为两类,1选“0”,共有CCCA=108,2不选“0”,共有CA=72,∴由分类加法计数原理得72+108=180,故选C.
10.【答案】A【解析】,所以,所以选A.11.【答案】C【解析】设切点为则方程有三解令则因此选C.13.[答案] -[解析] 6的展开式中第4项为T4=C23·3=-.14.【答案】2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线为,圆心C到直线的距离为,故;故答案为
2.15.【答案】(﹣1,0)【解析】根据题意,函数f(x)=x3+sinx,f(﹣x)=(﹣x)3+sin(﹣x)=﹣(x3+sinx)=﹣f(x),故函数f(x)为奇函数,其导数f′(x)=3x2+cosx,又由﹣1<x<1,则有f′(x)=3x2+cosx≥0,故函数f(x)为增函数,f(x2)+f(﹣x)>0⇒f(x2)>﹣f(﹣x)⇒f(x2)>f(x)⇒,解可得﹣1<x<0,即x的取值范围是(﹣1,0);故答案为(﹣1,0)
16.【答案】【解析】由题意结合面积的比值可得,且,据此可得,将其代入双曲线渐近线方程可得,设,则由可得,又,,所以,结合可得.
17.解1设数列的公比为,∴,∴由于则,故,∴数列的通项公式为(5分)2由1知,,∴∴(10分)18.解1由系数公式可知,=
4.5,=
3.5,3×
2.5+4×3+5×4+6×
4.5=
66.5,==
0.7,=
3.5-
0.7×
4.5=
0.35,所以线性回归方程为=
0.7x+
0.
35.8分2x=100时,=
0.7x+
0.35=
70.35,所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低
19.65吨标准煤..12分
19、【解析】1,依题意得,解得,故所求的实数.(6分)2由1得.因为在定义域R内单调递增,所以在R上恒成立,即恒成立,因为,所以,所以实数的取值范围为.(12分)
20.
21.解析
(1)因为点在椭圆E上,所以,解得椭圆E的方程为…………………4分
(2)设直线的方程为,代入,整理得.直线过椭圆的右焦点,方程有两个不等实根.记,中点,则,,,垂直平分线的方程为.令,得.,.的取值范围为.…………………8分…………………12分22.【解答】(I)当p=2时,函数f(x)=2x﹣﹣2lnx,f
(1)=2﹣2﹣2ln1=0,f′(x)=2+﹣,曲线f(x)在点(1,f
(1))处的切线的斜率为f
(1)=2+2﹣2=2.从而曲线f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y﹣0=2(x﹣1)即y=2x﹣2.…………………4分(II)f′(x)=p+﹣=,令h(x)=px2﹣2x+p,要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需h(x)≥0在(0,+∞)内恒成立,由题意p>0,h(x)=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为x=∈(0,+∞),∴h(x)min=p﹣,只需p﹣≥0,即p≥1时,h(x)≥0,f(x)≥0∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,正实数p的取值范围是[1,+∞).…………………8分(III)∵g(x)=在[1,e]上是减函数,∴x=e时,g(x)min=2;x=1时,g(x)max=2e,即g(x)∈[2,2e],当p<0时,h(x)=px2﹣2x+p,其图象为开口向下的抛物线,对称轴x=在y轴的左侧,且h
(0)<0,所以f(x)在x∈[1,e]内是减函数.当p=0时,h(x)=﹣2x,因为x∈[1,e],所以h(x)<0,f′(x)=﹣<0,此时,f(x)在x∈[1,e]内是减函数.∴当p≤0时,f(x)在[1,e]上单调递减⇒f(x)max=f
(1)=0<2,不合题意;当0<p<1时,由x∈[1,e]⇒x﹣≥0,所以f(x)=p(x﹣)﹣2lnx≤x﹣﹣2lnx.又由
(2)知当p=1时,f(x)在[1,e]上是增函数,∴x﹣﹣2lnx≤e﹣﹣2lne=e﹣﹣2<2,不合题意;当p≥1时,由
(2)知f(x)在[1,e]上是增函数,f
(1)=0<2,又g(x)在[1,e]上是减函数,故只需f(x)max>g(x)min,x∈[1,e],而f(x)max=f(e)=p(e﹣)﹣2lne,g(x)min=2,即p(e﹣)﹣2lne>2,解得p>,综上所述,实数p的取值范围是(,+∞).…………………12分 。