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2019版高一数学下学期期末考试试题理III
一、选择题共12小题,每小题5分,每小题都只有一个正确选项1.已知集合A={x|﹣2<x<4},B={x|y=lg(x﹣2)},则A∩(CRB)=( )A.(2,4)B.(﹣2,4)C.(﹣2,2)D.(﹣2,2]2.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my﹣14=0平行,则它们之间的距离是( )A.2B.8C.D.3.函数f(x)=﹣x的零点所在的区间是( )A.(﹣1,)B.(,0)C.(0,)D.(,1)4.设,b=,c=,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b5.圆锥的表面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图的圆心角为( )A.120°B.150°C.180°D.240°6.如右图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是( )A.B.B.D.7.已知s,则=( )A.B.C.D.8.△ABC中,AB=3,,AC=4,则△ABC的面积是()A.B.C.3D.9.已知单位向量满足,则与的夹角是()A.B.C.D.10.已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示,则该四棱锥的五个面中的最大面积是( )A.3B.6C.8D.1011.已知图
①中的图象对应的函数y=f(x),则图
②中的图象对应的函数是( )A.y=f(|x|)B.y=|f(x)|C.y=f(﹣|x|)D.y=﹣f(|x|)12.已知函数f(x)是定义域为R的周期为3的奇函数,且当x∈(0,
1.5)时f(x)=ln(x2﹣x+1),则方程f(x)=0在区间[0,6]上的解的个数是( )A.3B.5C.7D.
92、填空题共4小题,每小题5分13.在等差数列{an}中,a2=3,a1+a7>10,则公差d的取值范围是 .14.已知角α的终边经过点P(4a,3a)(a<0),则25sinα﹣7tan2α的值为 .15.函数为R上的单调函数,则实数a的取值范围是 .16.如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(A1∉平面ABCD),若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻折过程中,下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
①V V=13;
②存在某个位置,使DE⊥A1C;
③总有BM∥平面A1DE;
④线段BM的长为定值.
3、解答题共6小题,除17题10分外,其余每题12分17.已知点A(0,2),B(4,4),;
(1)若t1=4cosθ,t2=sinθ,θ∈R,求在方向上投影的取值范围;
(2)若t1=a2,求当,且△ABM的面积为12时,a和t2的值.18.已知正数等比数列{an}的前n项和Sn满足.
(1)求数列{an}的首项a1和公比q;
(2)若bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn.19.如右图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2acosA=bcosC+ccosB.
(1)求角A的大小;
(2)若点D在边AC上,且BD是∠ABC的平分线,AB=2,BC=4,求AD的长.20.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到y=g(x)图象,求函数y=g(x)在[0,π]上的单调递增区间.21.已知直线l(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0,m∈R,圆C(x﹣1)2+(y﹣2)2=25.
(1)证明直线l恒过一定点P;
(2)证明直线l与圆C相交;
(3)当直线l被圆C截得的弦长最短时,求m的值.22.如图,已知菱形AECD的对角线AC,DE交于点F,点E为的AB中点.将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的位置,如图2所示.
(1)求证DE⊥平面PCF;
(2)证明平面PBC⊥平面PCF;
(3)在线段PD,BC上是否分别存在点M,N,使得平面CFM∥平面PEN?若存在,请指出点M,N的位置,并证明;若不存在,请说明理由.参考答案与试题解析
一、选择题共12小题1.【解答】解B={x|x>2};∴∁RB={x|x≤2};∴A∩(∁RB)=(﹣2,2].故选D.2.【解答】解直线3x+4y+3=0与直线6x+my﹣14=0平行,∴≠,解得m=8.直线6x+my﹣14=0,即直线6x+8y﹣14=0,化为3x+4y﹣7=0,∴它们之间的距离==2.故选A.3.【解答】解∵函数f(x)=e﹣x﹣x,画出y=e﹣x与y=x的图象,如下图∵当x=时,y=>,当x=1时,y=<1,∴函数f(x)=e﹣x﹣x的零点所在的区间是(,1).故选D.4.【解答】解a=log=log23>1,1>b=()=>c=()=,则c<b<a,故选B.5.【解答】解设圆锥底面半径为r,母线长为l,侧面展开图扇形的圆心角为θ,根据条件得πrl+πr2=3πr2,即l=2r,根据扇形面积公式得=πrl,即==180°.故选C.6.【解答】解连结BC1,∵AC∥A1C1,∴∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角(或所成角的补角),∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,∴AB=,,BC1==,A1C1=1,∴cos∠C1A1B===,∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值为.故选D.7.【解答】解∵s,∴=cos[+()]=﹣sin()=﹣.故选B.8.【解答】解根据题意,△ABC中,AB=3,,AC=4,则有cosC===,则sinC=,则△ABC的面积S=|AB||AC|×sinC=3,故选A.
9.【解答】解∵,∴=,∴•=0,⊥,如图所示则与的夹角是,故选D.10.【解答】解由三视图知几何体为四棱锥,且四棱锥的一个侧面与底面垂直,底面为矩形,矩形的边长分别为
2、4,底面面积=2×4=8;由正视图可得四棱锥的高为=,△SAD的面积为×4×=2,侧面SAB与侧面SCD为直角三角形,其面积为3×2×=3,侧面SBC为等腰三角形,底边上的高为=3,∴△SBC的面积为×4×3=6.故选C.11.【解答】解设所求函数为g(x),g(x)==f(﹣|x|),C选项符合题意.故选C. 12.【解答】解∵当x∈(0,
1.5)时f(x)=ln(x2﹣x+1),令f(x)=0,则x2﹣x+1=1,解得x=1又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,∴在区间∈[﹣
1.5,
1.5]上,f(﹣1)=f
(1)=0,f
(0)=0f(
1.5)=f(﹣
1.5+3)=f(﹣
1.5)=﹣f(﹣
1.5)∴f(﹣1)=f
(1)=f
(0)=f(
1.5)=f(﹣
1.5)=0又∵函数f(x)是周期为3的周期函数则方程f(x)=0在区间[0,6]上的解有0,1,
1.5,2,3,4,
4.5,5,6共9个故选D.
2、填空题共4小题13.【解答】解∵a1+a7=2a4=2(a2+2d)=6+4d>10,∴d>1,故答案为(1,+∞)14.【解答】解∵角α的终边经过点P(4a,3a)(a<0),∴x=4a,y=3a,,∴,,∴,∴.故答案为﹣39.15.【解答】解
①若f(x)在R上单调递增,则有,解得2<a≤3;
②若f(x)在R上单调递减,则有,a无解,综上所述,得实数a的取值范围是(2,3].故答案为(2,3]
16.【解答】解在
①中,设A1到平面EBCD的距离为h,DgcAB的距离为h′,则V V==S△ADE S梯形EBCD=′=13,故
①正确;在
②中,A1C在平面ABCD中的射影为AC,AC与DE不垂直,∴DE与A1C不垂直,故
②错误;在
③中,取CD中点F,连接MF,BF,则MF∥A1D且MF=A1D,FB∥ED且FB=ED,由MF∥A1D与FB∥ED,可得平面MBF∥平面A1DE,∴总有BM∥平面A1DE,故
③正确;∴∠MFB=∠A1DE,由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB是定值,故
④正确.故答案为
①③④.
4、解答题共9小题
17.【解答】
(1),,∴在方向上投影为||•cos<,>===4t2+t1=4(sinθ+cosθ)=8sin(θ+);∴在方向上投影的范围为[﹣8,8];
(2),,且,∴,;∴点M到直线AB x﹣y+2=0的距离为;∴,解得a=±2,t2=﹣1.18.【解答】解
(1)∵,可知,,两式相减得,∴,而q>0,则.又由,可知,∴,∴a1=1.
(2)由
(1)知.∵,∴,.两式相减得=.∴.19.【解答】解
(1)∵2acosA=bcosC+ccosB,∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,∵sinA≠0,∴cosA=,∴A=.
(2)在△ABC中,由余弦定理的cosA==,解得AC=1+或AC=1﹣(舍).∵BD是∠ABC的平分线,∴=,∴AD=AC=.20.【解答】解
(1)由图象可知,A=2,周期T=[﹣(﹣)]=π,∴=π,ω>0,则ω=2,…(3分)从而f(x)=2sin(2x+φ),代入点(,2),得sin(+φ)=1,则+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=﹣+2kπ,k∈Z,又|φ|<,则φ=﹣,∴f(x)=2sin(2x﹣),…(6分)
(2)由
(1)知f(x)=2sin(2x﹣),因此g(x)=2sin[2(x+)﹣]=2sin(2x﹣),…(8分)令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z,可得kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z,…(10分),故函数y=g(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0,],[,π].…(12分)
21.【解答】证明(Ⅰ)直线l方程变形为(2x+y﹣7)m+(x+y﹣4)=0,由,得,∴直线l恒过定点P(3,1).…(4分)(Ⅱ)∵P(3,1),圆C(x﹣1)2+(y﹣2)2=25的圆心C(1,2),半径r=5,∴,∴P点在圆C内部,∴直线l与圆C相交.…(8分)解(Ⅲ)当l⊥PC时,所截得的弦长最短,此时有kl•kPC=﹣1,而,kPC=﹣,∴=﹣1,解得m=﹣.…(12分)
22.【解答】证明(Ⅰ)折叠前,因为四边形AECD为菱形,所以AC⊥DE;所以折叠后,DE⊥PF,DE⊥CF,又PF∩CF=F,PF,CF⊂平面PCF,所以DE⊥平面PCF…………………(4分)(Ⅱ)因为四边形AECD为菱形,所以DC∥AE,DC=AE.又点E为AB的中点,所以DC∥EB,DC=EB.所以四边形DEBC为平行四边形.所以CB∥DE.又由(Ⅰ)得,DE⊥平面PCF,所以CB⊥平面PCF.因为CB⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PCF.…………………(9分)解(Ⅲ)存在满足条件的点M,N,且M,N分别是PD和BC的中点.如图,分别取PD和BC的中点M,N.连接EN,PN,MF,CM.因为四边形DEBC为平行四边形,所以.所以四边形ENCF为平行四边形.所以FC∥EN.在△PDE中,M,F分别为PD,DE中点,所以MF∥PE.又EN,PE⊂平面PEN,PE∩EN=E,MF,CF⊂平面CFM,所以平面CFM∥平面PEN.…………………(14分)。