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2.
4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角预习课本P106~107,思考并完成以下问题1平面向量数量积的坐标表示是什么?2如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直? 1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量,向量a=x1,y1,b=x2,y2,a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2+y1y2=0[点睛] 记忆口诀数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”.2.与向量的模、夹角相关的三个重要公式1向量的模设a=x,y,则|a|=.2两点间的距离公式若Ax1,y1,Bx2,y2,则||=.3向量的夹角公式设两非零向量a=x1,y1,b=x2,y2,a与b的夹角为θ,则cosθ==.1.判断下列命题是否正确.正确的打“√”,错误的打“×”1向量的模等于向量坐标的平方和. 2若a=x1,y1,b=x2,y2,则a⊥b⇔x1x2+y1y2=
0. 3若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角. 答案1× 2× 3×2.已知a=-34,b=52,则a·b的值是 A.23 B.7 C.-23 D.-7答案D3.已知向量a=x-53,b=2,x,且a⊥b,则由x的值构成的集合是 A.{23}B.{-16}C.{2}D.{6}答案C4.已知a=1,,b=-20,则|a+b|=________.答案2平面向量数量积的坐标运算[典例] 1全国卷Ⅱ向量a=1,-1,b=-12,则2a+b·a= A.-1 B.0C.1D.22广东高考在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=1,-2,=21,则·= A.5B.4C.3D.2[解析] 1a=1,-1,b=-12,∴2a+b·a=10·1,-1=
1.2由=+=1,-2+21=3,-1,得·=21·3,-1=
5.[答案] 1C 2A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. [活学活用]已知向量a与b同向,b=12,a·b=
10.1求向量a的坐标;2若c=2,-1,求b·c·a.解1因为a与b同向,又b=12,所以a=λb=λ,2λ.又a·b=10,所以1·λ+2·2λ=10,解得λ=
20.因为λ=2符合a与b同向的条件,所以a=24.2因为b·c=1×2+2×-1=0,所以b·c·a=0·a=
0.向量的模的问题[典例] 1设x,y∈R,向量a=x1,b=1,y,c=2,-4,且a⊥c,b∥c,则|a+b|= A.B.C.2D.102已知点A1,-2,若向量与a=23同向,||=2,则点B的坐标是________.[解析] 1由⇒⇒∴a=21,b=1,-2,a+b=3,-1.∴|a+b|=.2由题意可设=λaλ>0,∴=2λ,3λ.又||=2,∴2λ2+3λ2=22,解得λ=2或-2舍去.∴=46.又A1,-2,∴B54.[答案] 1B 254求向量的模的两种基本策略1字母表示下的运算利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.2坐标表示下的运算若a=x,y,则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=. [活学活用]1.已知向量a=cosθ,sinθ,向量b=,0,则|2a-b|的最大值为________.解析2a-b=2cosθ-,2sinθ,|2a-b|===,当且仅当cosθ=-1时,|2a-b|取最大值2+.答案2+2.已知平面向量a=24,b=-12,若c=a-a·bb,则|c|=________.解析∵a=24,b=-12,∴a·b=2×-1+4×2=6,∴c=a-a·bb=24-6-12=24--612=8,-8,∴|c|==
8.答案8向量的夹角和垂直问题 [典例] 1已知a=32,b=-12,a+λb⊥b,则实数λ=________.2已知a=21,b=-1,-1,c=a+kb,d=a+b,c与d的夹角为,则实数k的值为________.[解析] 1∵a=32,b=-12,∴a+λb=3-λ,2+2λ.又∵a+λb⊥b,∴a+λb·b=0,即3-λ×-1+2×2+2λ=0,解得λ=-.2c=a+kb=2-k1-k,d=a+b=10,由cos=得=,∴2-k2=k-12,∴k=.[答案] 1- 2解决向量夹角问题的方法及注意事项1先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|,再由cosθ=求出cosθ,也可由坐标表示cosθ=直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时,应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.2由于0≤θ≤π,利用cosθ=来判断角θ时,要注意cosθ0有两种情况一是θ是钝角,二是θ=π;cosθ0也有两种情况一是θ为锐角,二是θ=
0. [活学活用]已知平面向量a=34,b=9,x,c4,y,且a∥b,a⊥c.1求b与c;2若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.解1∵a∥b,∴3x=4×9,∴x=
12.∵a⊥c,∴3×4+4y=0,∴y=-3,∴b=912,c=4,-3.2m=2a-b=68-912=-3,-4,n=a+c=34+4,-3=71.设m,n的夹角为θ,则cosθ====-.∵θ∈[0,π],∴θ=,即m,n的夹角为.求解平面向量的数量积[典例] 已知点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,求·+·+·的值.[解] [法一 定义法]如图,根据题意可得△ABC为直角三角形,且B=,cosA=,cosC=,∴·+·+·=·+·=4×5cosπ-C+5×3cosπ-A=-20cosC-15cosA=-20×-15×=-
25.[法二 坐标法]如图,建立平面直角坐标系,则A30,B00,C04.∴=-30,=04,=3,-4.∴·=-3×0+0×4=0,·=0×3+4×-4=-16,·=3×-3+-4×0=-
9.∴·+·+·=0-16-9=-
25.[法三 转化法]∵||=3,||=4,||=5,∴AB⊥BC,∴·=0,∴·+·+·=·+=·=-||2=-
25.求平面向量数量积常用的三个方法1定义法利用定义式a·b=|a||b|cosθ求解;2坐标法利用坐标式a·b=x1x2+y1y2解题;3转化法求较复杂的向量数量积的运算时,可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简,然后进行计算. [活学活用]如果正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中点,那么cos∠DOE的值为________.解析法一以O为坐标原点,OA,OC所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则由已知条件,可得=,=.故cos∠DOE===.法二∵=+=+,=+=+,∴||=,||=,·=2+2=1,∴cos∠DOE==.答案层级一 学业水平达标1.已知向量a=0,-2,b=1,,则向量a在b方向上的投影为 A. B.3C.-D.-3解析选D 向量a在b方向上的投影为==-
3.选D.2.设x∈R,向量a=x1,b=1,-2,且a⊥b,则|a+b|= A.B.C.2D.10解析选B 由a⊥b得a·b=0,∴x×1+1×-2=0,即x=2,∴a+b=3,-1,∴|a+b|==.3.已知向量a=21,b=-1,k,a·2a-b=0,则k= A.-12B.-6C.6D.12解析选D 2a-b=42--1,k=52-k,由a·2a-b=0,得21·52-k=0,∴10+2-k=0,解得k=
12.4.a,b为平面向量,已知a=43,2a+b=318,则a,b夹角的余弦值等于 A.B.-C.D.-解析选C 设b=x,y,则2a+b=8+x6+y=318,所以解得故b=-512,所以cos〈a,b〉==.5.已知A-21,B6,-3,C05,则△ABC的形状是 A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形解析选A 由题设知=8,-4,=24,=-68,∴·=2×8+-4×4=0,即⊥.∴∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.6.设向量a=12m,b=m+11,c=2,m.若a+c⊥b,则|a|=________.解析a+c=33m,由a+c⊥b,可得a+c·b=0,即3m+1+3m=0,解得m=-,则a=1,-1,故|a|=.答案7.已知向量a=1,,2a+b=-1,,a与2a+b的夹角为θ,则θ=________.解析∵a=1,,2a+b=-1,,∴|a|=2,|2a+b|=2,a·2a+b=2,∴cosθ==,∴θ=.答案8.已知向量a=,1,b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则向量b的坐标为________.解析设b=x,yy≠0,则依题意有解得故b=.答案9.已知平面向量a=1,x,b=2x+3,-x,x∈R.1若a⊥b,求x的值;2若a∥b,求|a-b|.解1若a⊥b,则a·b=1,x·2x+3,-x=1×2x+3+x-x=0,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=
3.2若a∥b,则1×-x-x2x+3=0,即x2x+4=0,解得x=0或x=-
2.当x=0时,a=10,b=30,a-b=-20,|a-b|=
2.当x=-2时,a=1,-2,b=-12,a-b=2,-4,|a-b|==
2.综上,|a-b|=2或
2.10.在平面直角坐标系xOy中,已知点A14,B-23,C2,-1.1求·及|+|;2设实数t满足-t⊥,求t的值.解1∵=-3,-1,=1,-5,∴·=-3×1+-1×-5=
2.∵+=-2,-6,∴|+|==
2.2∵-t=-3-2t,-1+t,=2,-1,且-t⊥,∴-t·=0,∴-3-2t×2+-1+t·-1=0,∴t=-
1.层级二 应试能力达标1.设向量a=10,b=,则下列结论中正确的是 A.|a|=|b| B.a·b=C.a-b与b垂直D.a∥b解析选C 由题意知|a|==1,|b|==,a·b=1×+0×=,a-b·b=a·b-|b|2=-=0,故a-b与b垂直.2.已知向量=22,=41,在x轴上有一点P,使·有最小值,则点P的坐标是 A.-30B.20C.30D.40解析选C 设Px0,则=x-2,-2,=x-4,-1,∴·=x-2x-4+2=x2-6x+10=x-32+1,故当x=3时,·最小,此时点P的坐标为30.3.若a=x2,b=-35,且a与b的夹角是钝角,则实数x的取值范围是 A.B.C.D.解析选C x应满足x2·-35<0且a,b不共线,解得x>,且x≠-,∴x>.4.已知=-31,=05,且∥,⊥O为坐标原点,则点C的坐标是 A.B.C.D.解析选B 设Cx,y,则=x,y.又=-31,∴=-=x+3,y-1.∵∥,∴5x+3-0·y-1=0,∴x=-
3.∵=05,∴=-=x,y-5,=-=34.∵⊥,∴3x+4y-5=0,∴y=,∴C点的坐标是.5.平面向量a=12,b=42,c=ma+bm∈R,且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=________.解析因为向量a=12,b=42,所以c=ma+b=m+42m+2,所以a·c=m+4+22m+2=5m+8,b·c=4m+4+22m+2=8m+
20.因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以=,即=,所以=,解得m=
2.答案26.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为______;·的最大值为______.解析以D为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示.则D00,A10,B11,C01,设E1,a0≤a≤1.所以·=1,a·10=1,·=1,a·01=a≤1,故·的最大值为
1.答案1 17.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=12.1若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;2若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解1设c=x,y,∵|c|=2,∴=2,∴x2+y2=
20.由c∥a和|c|=2,可得解得或故c=24或c=-2,-4.2∵a+2b⊥2a-b,∴a+2b·2a-b=0,即2a2+3a·b-2b2=0,∴2×5+3a·b-2×=0,整理得a·b=-,∴cosθ==-
1.又θ∈[0,π],∴θ=π.8.已知=40,=22,=1-λ+λλ2≠λ.1求·及在上的投影;2证明A,B,C三点共线,且当=时,求λ的值;3求||的最小值.解1·=8,设与的夹角为θ,则cosθ===,∴在上的投影为||cosθ=4×=
2.2=-=-22,=-=1-λ·-1-λ=λ-1,所以A,B,C三点共线.当=时,λ-1=1,所以λ=
2.3||2=1-λ2+2λ1-λ·+λ2=16λ2-16λ+16=162+12,∴当λ=时,||取到最小值,为
2.。