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2.5 预习课本P109~112,思考并完成以下问题.1利用向量可以解决哪些常见的几何问题?2如何用向量方法解决物理问题?3如何判断多边形的形状? 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”1建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;2通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;3把运算结果“翻译”成几何关系.2.向量在物理中的应用1物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.2向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中.3动量mv是向量的数乘运算.4功是力F与位移s的数量积.1.若向量=22,=-23分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为 A.05 B.4,-1C.2D.5答案D2.在四边形ABCD中,·=0,=,则四边形ABCD是 A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形答案C3.力F=-1,-2作用于质点P,使P产生的位移为s=34,则力F对质点P做的功是________.答案-11向量在几何中的应用题点一平面几何中的垂直问题
1.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证AF⊥DE.证明法一设=a,=b,则|a|=|b|,a·b=0,又=+=-a+b,=+=b+a,所以·=·=-a2-a·b+b2=-|a|2+|b|2=
0.故⊥,即AF⊥DE.法二如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A00,D02,E10,F21,=21,=1,-2.因为·=21·1,-2=2-2=0,所以⊥,即AF⊥DE.题点二平面几何中的平行或共线问题
2.如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且==.求证点E,O,F在同一直线上.证明设=m,=n,由==,知E,F分别是CD,AB的三等分点,∴=+=+=-m+m+n=m+n,=+=+=m+n-m=m+n.∴=.又O为和的公共点,故点E,O,F在同一直线上.题点三平面几何中的长度问题
3.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.解设=a,=b,则=a-b,=a+b,而||=|a-b|====2,∴5-2a·b=4,∴a·b=,又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,∴||=,即AC=.用向量方法解决平面几何问题的步骤向量在物理中的应用 [典例] 1在长江南岸某渡口处,江水以
12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?2已知两恒力F1=34,F2=6,-5作用于同一质点,使之由点A2015移动到点B70,求F1,F2分别对质点所做的功.[解] 1如图,设表示水流的速度,表示渡船的速度,表示渡船实际垂直过江的速度.因为+=,所以四边形ABCD为平行四边形.在Rt△ACD中,∠ACD=90°,||=||=
12.5,||=25,所以∠CAD=30°,即渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30°.2设物体在力F作用下的位移为s,则所做的功为W=F·s.∵=70-2015=-13,-15.∴W1=F1·=34·-13,-15=3×-13+4×-15=-99焦,W2=F2·=6,-5·-13,-15=6×-13+-5×-15=-3焦.[一题多变]1.[变设问]本例2条件不变,求F1,F2的合力F为质点所做的功.解W=F·=F1+F2·=[34+6,-5]·-13,-15=9,-1·-13,-15=9×-13+-1×-15=-117+15=-102焦.2.[变条件]本例2条件变为两个力F1=i+j,F2=4i-5j作用于同一质点,使该质点从点A2015移动到点B70其中i,j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量.求F1,F2分别对该质点做的功.解=70-2015=-13,-15,F1做的功W1=F1·s=F1·=11·-13,-15=-28焦.F2做的功W2=F2·s=F2·=4,-5·-13,-15=23焦. 用向量方法解决物理问题的“三步曲”层级一 学业水平达标1.已知三个力f1=-2,-1,f2=-32,f3=4,-3同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4= A.-1,-2 B.1,-2C.-12D.12解析选D 由物理知识知f1+f2+f3+f4=0,故f4=-f1+f2+f3=12.2.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为 A.v1-v2B.v1+v2C.|v1|-|v2|D.解析选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v
2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.3.已知四边形ABCD各顶点坐标是A,B,C,D,则四边形ABCD是 A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形解析选A ∵=,=34,∴=,∴∥,即AB∥DC.又||==,||==5,∴||≠||,∴四边形ABCD是梯形.4.在△ABC中,AB=3,AC边上的中线BD=,·=5,则的长为 A.1B.2C.3D.4解析选B ∵=-=-,∴BD2―→=2=-·+,即=
1.∴||=2,即AC=
2.5.已知△ABC满足=·+·+·,则△ABC是 A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析选C 由题意得,2=·+·+·=·++·=2+·,∴·=0,∴⊥,∴△ABC是直角三角形.6.已知力F=23作用于一物体,使物体从A20移动到B-23,则力F对物体所做的功是________.解析∵=-43,∴W=F·s=F·=23·-43=-8+9=
1.答案17.用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为10N,则每根绳子的拉力大小为________N.解析如图,由题意,得∠AOC=∠COB=60°,||=10,则||=||=10,即每根绳子的拉力大小为10N.答案108.已知A,B是圆心为C,半径为的圆上的两点,且|AB|=,则·=________.解析由弦长|AB|=,可知∠ACB=60°,·=-·=-||||cos∠ACB=-.答案-9.已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证AD⊥CE.证明如图,以C为原点,CA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.设AC=a,则Aa0,B0,a,D,C00,E.所以=,=.所以·=-a·a+·a=0,所以⊥,即AD⊥CE.10.已知点A2,-1.求过点A与向量a=51平行的直线方程.解设所求直线上任意一点Px,y,则=x-2,y+1.由题意知∥a,故5y+1-x-2=0,即x-5y-7=
0.故过点A与向量a=51平行的直线方程为x-5y-7=
0.层级二 应试能力达标1.已知一条两岸平行的河流河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为 A.10m/s B.2m/sC.4m/sD.12m/s解析选B 设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则|v1|=2,|v|=10,v⊥v1,∴v2=v-v1,v·v1=0,∴|v2|==2m/s.2.在△ABC中,AB=3,AC=2,=,则·的值为 A.-B.C.-D.解析选C 因为=,所以点D是BC的中点,则=+,==-,所以·=+·-=-=22-32=-,选C.
3.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是 A.B.2C.0D.1解析选A ∵=+,·=·+=·+·=·=||=,∴||=1,||=-1,∴·=+·+=·+·=--1+1×2=-2++2=,故选A.
4.如图,设P为△ABC内一点,且2+2+=0,则S△ABP∶S△ABC= A.B.C.D.解析选A 设AB的中点是D.∵+=2=-,∴=-,∴P为CD的五等分点,∴△ABP的面积为△ABC的面积的.5.若O为△ABC所在平面内一点,且满足-·+-2=0,则△ABC的形状为________.解析-·+-2=-·-+-=-·+=||2-||2=0,∴||=||.答案等腰三角形
6.如图所示,在倾斜角为37°sin37°=
0.6,高为2m的斜面上,质量为5kg的物体m沿斜面下滑,物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的
0.5倍,则斜面对物体m的支持力所做的功为________J,重力所做的功为________Jg=
9.8m/s2.解析物体m的位移大小为|s|==m,则支持力对物体m所做的功为W1=F·s=|F||s|cos90°=0J;重力对物体m所做的功为W2=G·s=|G||s|cos53°=5×
9.8××
0.6=98J.答案0
987.如图所示,一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8m,其中|F1|=2N,方向为北偏东30°;|F2|=4N,方向为北偏东60°;|F3|=6N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功.解以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示,则F1=1,,F2=2,2,F3=-33,所以F=F1+F2+F3=2-22+4.又位移s=4,4,故合力F所做的功为W=F·s=2-2×4+2+4×4=4×6=24J.即合力F所做的功为24J.
8.如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G为BE与DF的交点.若=a,=b.1试以a,b为基底表示,;2求证A,G,C三点共线.解1=-=b-a,=-=a-b.2证明因为D,G,F三点共线,则DG―→=λ,即=+λ=λa+1-λb.因为B,G,E三点共线,则BG―→=μ,即=+μ=1-μa+μb,由平面向量基本定理知解得λ=μ=,∴=a+b=,所以A,G,C三点共线.时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.在五边形ABCDE中如图,+-= A. B.C.D.解析选B ∵+-=+=.2.已知平面向量a=2,-1,b=13,那么|a+b|等于 A.5B.C.D.13解析选B 因为a+b=32,所以|a+b|==,故选B.3.设向量a,b均为单位向量,且|a+b|=1,则a与b的夹角为 A.B.C.D.解析选C ∵|a+b|=1,∴|a|2+2a·b+|b|2=1,∴cos〈a,b〉=-.又〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉=.4.已知向量m=λ+11,n=λ+22,若m+n⊥m-n,则λ= A.-4B.-3C.-2D.-1解析选B 因为m+n=2λ+33,m-n=-1,-1,由m+n⊥m-n,可得m+n·m-n=2λ+33·-1,-1=-2λ-6=0,解得λ=-
3.5.如图,M,N分别是AB,AC的一个三等分点,且=λ-成立,则λ= A.B.C.D.±解析选B 由=,且=-,得λ=.6.设点A-12,B23,C3,-1,且=2-3,则点D的坐标为 A.216B.-2,-16C.416D.20解析选A 设Dx,y,由题意可知=x+1,y-2,=31,=1,-4,∴2-3=231-31,-4=314.∴∴故选A.7.某人在静水中游泳,速度为4km/h,水流的速度为4km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进,那么他实际前进的方向与河岸的夹角为 A.90°B.30°C.45°D.60°解析选D 如图,用表示水速,表示某人垂直游向对岸的速度,则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC.于是tan∠AOC====,∴∠AOC=60°,故选D.8.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且=2,=2,=2,则++与 A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直解析选A ∵++=+++++=++=+++=-,∴++与平行且方向相反.9.设a,b是两个非零向量 A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则a+b=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|解析选C 若|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,即存在实数λ,使得a=λb,故C正确;选项A当|a+b|=|a|-|b|时,a,b可为异向的共线向量;选项B若a⊥b,由矩形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D若存在实数λ,使得b=λa,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.10.已知点O,N,P在△ABC所在的平面内,且||=||=||,++=0,·=·=·,则点O,N,P依次是△ABC的 A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心解析选C 因为||=||=||,所以点O到三角形的三个顶点的距离相等,所以O为△ABC的外心;由++=0,得+=-=,由中线的性质可知点N在AB边的中线上,同理可得点N在其他边的中线上,所以点N为△ABC的重心;由·=·=·得·-·=·=0,则点P在AC边的垂线上,同理可得点P在其他边的垂线上,所以点P为△ABC的垂心.11.已知平面上直线l与e所在直线平行且e=,点O00和A1,-2在l上的射影分别是O′和A′,则=λe,其中λ等于 A.B.-C.2D.-2解析选D 由题意可知||=||cosπ-θθ为与e的夹角.∵O00,A1,-2,∴=1,-2.∵e=,∴·e=1×+-2×=-2=||·|e|·cosθ,∴||·cosθ=-
2.又∵||=|λ|·|e|,∴λ=±
2.又由已知可得λ0,∴λ=-2,故选D.12.在△ABC中,有下列四个命题
①-=;
②++=0;
③若+·-=0,则△ABC为等腰三角形;
④若·0,则△ABC为锐角三角形.其中正确的命题有 A.
①②B.
①④C.
②③D.
②③④解析选C ∵-==-≠,∴
①错误.++=+=-=0,∴
②正确.由+·-=-=0,得||=||,∴△ABC为等腰三角形,
③正确.·0⇒cos〈,〉0,即cosA0,∴A为锐角,但不能确定B,C的大小,∴不能判定△ABC是否为锐角三角形,∴
④错误,故选C.
二、填空题本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上13.平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a+b·a-2b=-7,则向量a,b的夹角为________.解析a+ba-2b=|a2|-a·b-2|b|2=1-a·b-8=-7,∴a·b=0,∴a⊥b.故a,b的夹角为.答案14.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=________.解析|5a-b|=====
7.答案715.已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=
2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为________.解析=-,由于⊥,所以·=0,即λ+·-=-λ2+2+λ-1··=-9λ+4+λ-1×3×2×=0,解得λ=.答案
16.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,AD=DC=1,P是线段BC上一动点,Q是线段DC上一动点,=λ,=1-λ,则·的取值范围是________.解析建立如图所示的平面直角坐标系,则D01,C11.设Qm,n,由=λ得,m,n-1=λ10,即m=λ,n=
1.又B20,设Ps,t,由=1-λ得,s-1,t-1=1-λ1,-1,即s=2-λ,t=λ,所以·=λ2-λ+λ=-λ2+3λ,λ∈
[01].故·∈
[02].答案
[02]
三、解答题本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.本小题满分10分不共线向量a,b的夹角为小于120°的角,且|a|=1,|b|=2,已知向量c=a+2b,求|c|的取值范围.解|c|2=|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=17+8cosθ其中θ为a与b的夹角.∵0°θ120°,∴-cosθ1,∴|c|5,∴|c|的取值范围为,5.18.本小题满分12分平面内有向量=17,=51,=21,点M为直线OP上的一动点.1当·取最小值时,求的坐标;2在1的条件下,求cos∠AMB的值.解1设=x,y,∵点M在直线OP上,∴向量与共线,又=21.∴x×1-y×2=0,即x=2y.∴=2y,y.又=-,=17,∴=1-2y7-y.同理=-=5-2y1-y.于是·=1-2y5-2y+7-y1-y=5y2-20y+
12.可知当y==2时,·有最小值-8,此时=42.2当=42,即y=2时,有=-35,=1,-1,||=,||=,·=-3×1+5×-1=-
8.cos∠AMB===-.19.本小题满分12分已知O,A,B是平面上不共线的三点,直线AB上有一点C,满足2+=0,1用,表示.2若点D是OB的中点,证明四边形OCAD是梯形.解1因为2+=0,所以2-+-=0,2-2+-=0,所以=2-.2证明如图,=+=-+=2-.故=.即DA∥OC,且DA≠OC,故四边形OCAD为梯形.20.本小题满分12分如图,平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,F使BF=BC.1以a,b为基底表示向量与;2若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120°,求·.解1连接AF,由已知得=+DM―→=a+b.∵=+=a+b,∴=HA―→+=-b+=a-b.2由已知得a·b=|a||b|cos120°=3×4×=-6,从而·=·=|a|2+a·b-|b|2=×32+×-6-×42=-.21.本小题满分12分在△ABC中,·=0,||=12,||=15,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.1求·的值;2判断·的值是否为一个常数,并说明理由.解1∵·=0,∴AB⊥AC.又||=12,||=15,∴||=
9.由已知可得=+,=-,∴·=+·-=-=144-81=.2·的值为一个常数.理由∵l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点,∴·=
0.故·=+·=·+·=·=.22.本小题满分12分在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=-12,且点A80,Bn,t,Cksinθ,t,θ∈.1若⊥a,且||=||,求向量;2若向量与向量a共线,当k4,且tsinθ取最大值4时,求·.解1因为=n-8,t,且⊥a,所以8-n+2t=0,即n=8+2t.又||=||,所以5×64=n-82+t2=5t2,解得t=±
8.所以=248或-8,-8.2因为=ksinθ-8,t,与a共线,所以t=-2ksinθ+
16.又tsinθ=-2ksinθ+16sinθ=-2k2+,当k4时,10,所以当sinθ=时,tsinθ取得最大值;由=4,得k=8,此时θ=,故=48,所以·=8×4+8×0=
32.。