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课时跟踪检测
(二十)平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算层级一 学业水平达标1.如果用i,j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量,且A23,B42,则可以表示为 A.2i+3j B.4i+2jC.2i-jD.-2i+j解析选C 记O为坐标原点,则=2i+3j,=4i+2j,所以=-=2i-j.2.已知=a,且A,B,又λ=,则λa等于 A.B.C.D.解析选A ∵a==-=,∴λa=a=.3.已知向量a=12,2a+b=32,则b= A.1,-2B.12C.56D.20解析选A b=32-2a=32-24=1,-2.4.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=24,=13,则= A.24B.35C.11D.-1,-1解析选C =-=-=--=11.5.已知M-27,N10,-2,点P是线段MN上的点,且=-2,则P点的坐标为 A.-1416B.22,-11C.61D.24解析选D 设Px,y,则=10-x,-2-y,=-2-x7-y,由=-2得所以6.江苏高考已知向量a=21,b=1,-2,若ma+nb=9,-8m,n∈R,则m-n的值为________.解析∵ma+nb=2m+n,m-2n=9,-8,∴∴∴m-n=2-5=-
3.答案-37.若A2,-1,B42,C15,则+2=________.解析∵A2,-1,B42,C15,∴=23,=-33.∴+2=23+2-33=23+-66=-49.答案-498.已知O是坐标原点,点A在第二象限,||=6,∠xOA=150°,向量的坐标为________.解析设点Ax,y,则x=||cos150°=6cos150°=-3,y=||sin150°=6sin150°=3,即A-3,3,所以=-3,3.答案-3,39.已知a=,B点坐标为10,b=-34,c=-11,且a=3b-2c,求点A的坐标.解∵b=-34,c=-11,∴3b-2c=3-34-2-11=-912--22=-710,即a=-710=.又B10,设A点坐标为x,y,则=1-x0-y=-710,∴⇒即A点坐标为8,-10.10.已知向量=43,=-3,-1,点A-1,-2.1求线段BD的中点M的坐标.2若点P2,y满足=λλ∈R,求λ与y的值.解1设Bx1,y1,因为=43,A-1,-2,所以x1+1,y1+2=43,所以所以所以B31.同理可得D-4,-3,设BD的中点Mx2,y2,则x2==-,y2==-1,所以M.2由=31-2,y=11-y,=-4,-3-31=-7,-4,又=λλ∈R,所以11-y=λ-7,-4=-7λ,-4λ,所以所以层级二 应试能力达标1.已知向量=24,=02,则= A.-2,-2 B.22C.11D.-1,-1解析选D =-=-2,-2=-1,-1,故选D.2.已知向量a=12,b=23,c=34,且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为 A.-21B.1,-2C.2,-1D.-12解析选D ∵c=λ1a+λ2b,∴34=λ112+λ223=λ1+2λ22λ1+3λ2,∴解得λ1=-1,λ2=
2.3.已知四边形ABCD的三个顶点A02,B-1,-2,C31,且=2,则顶点D的坐标为 A.B.C.32D.13解析选A 设点Dm,n,则由题意得43=2m,n-2=2m2n-4,故解得即点D,故选A.4.对于任意的两个向量m=a,b,n=c,d,规定运算“”为mn=ac-bd,bc+ad,运算“”为mn=a+c,b+d.设f=p,q,若12f=50,则12f等于 A.40B.20C.02D.0,-4解析选B 由12⊗f=50,得解得所以f=1,-2,所以12f=121,-2=20.5.已知向量i=10,j=01,对坐标平面内的任一向量a,给出下列四个结论
①存在唯一的一对实数x,y,使得a=x,y;
②若x1,x2,y1,y2∈R,a=x1,y1≠x2,y2,则x1≠x2,且y1≠y2;
③若x,y∈R,a=x,y,且a≠0,则a的起点是原点O;
④若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是x,y,则a=x,y.其中,正确结论有________个.解析由平面向量基本定理,可知
①正确;例如,a=10≠13,但1=1,故
②错误;因为向量可以平移,所以a=x,y与a的起点是不是原点无关,故
③错误;当a的终点坐标是x,y时,a=x,y是以a的起点是原点为前提的,故
④错误.答案16.已知A-30,B02,O为坐标原点,点C在∠AOB内,|OC|=2,且∠AOC=.设=λ+λ∈R,则λ=________.解析过C作CE⊥x轴于点E,由∠AOC=知,|OE|=|CE|=2,所以=+=λ+,即=λ,所以-20=λ-30,故λ=.答案7.在△ABC中,已知A78,B35,C43,M,N,D分别是AB,AC,BC的中点,且MN与AD交于点F,求的坐标.解∵A78,B35,C43,∴=3-75-8=-4,-3,=4-73-8=-3,-5.∵D是BC的中点,∴=+=-4-3,-3-5=-7,-8=.∵M,N分别为AB,AC的中点,∴F为AD的中点.∴=-=-=-=.8.在直角坐标系xOy中,已知点A11,B23,C32,1若++=0,求的坐标.2若=m+nm,n∈R,且点P在函数y=x+1的图象上,求m-n.解1设点P的坐标为x,y,因为++=0,又++=1-x1-y+2-x3-y+3-x2-y=6-3x6-3y.所以解得所以点P的坐标为22,故=22.2设点P的坐标为x0,y0,因为A11,B23,C32,所以=23-11=12,=32-11=21,因为=m+n,所以x0,y0=m12+n21=m+2n2m+n,所以两式相减得m-n=y0-x0,又因为点P在函数y=x+1的图象上,所以y0-x0=1,所以m-n=
1.。