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课时跟踪检测
(十三)函数y=Asinωx+φ的性质层级一 学业水平达标1.简谐运动y=4sin的相位与初相是 A.5x-, B.5x-,4C.5x-,-D.4,解析选C 相位是5x-,当x=0时的相位为初相即-.2.最大值为,最小正周期为,初相为的函数表达式是 A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin解析选D 由最小正周期为,排除A、B;由初相为,排除C.3.函数y=sin的图象的一条对称轴是 A.x=-B.x=C.x=-D.x=解析选C 由x-=kπ+,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,令k=-1,得x=-.4.下列函数中,图象的一部分如图所示的是 A.y=sinB.y=sinC.y=cosD.y=cos解析选D 设y=Asinωx+φ,显然A=1,又图象过点,,所以解得ω=2,φ=.所以函数解析式为y=sin=cos.5.已知函数fx=sinω>0的最小正周期为π,则该函数的图象 A.关于直线x=对称B.关于点对称C.关于直线x=对称D.关于点对称解析选A 依题意得T==π,ω=2,故fx=sin,所以f=sin=sin=1,f=sin=sin=,因此该函数的图象关于直线x=对称,不关于点和点对称,也不关于直线x=对称.故选A.6.y=-2sin的振幅为________,周期为________,初相φ=________.解析∵y=-2sin=2sin=2sin,∴A=2,ω=3,φ=,∴T==.答案2
7.已知函数fx=sinωx+φω0的图象如图所示,则ω=________.解析由题意设函数周期为T,则=-=,∴T=.∴ω==.答案8.函数fx=AsinA0,ω0在一个周期内,当x=时,函数fx取得最大值2,当x=时,函数fx取得最小值-2,则函数解析式为______________________.解析由题意可知A=
2.=-=,∴T=π,∴=π,即ω=
2.∴fx=2sin.答案fx=2sin9.求函数y=sin图象的对称轴、对称中心.解令2x+=kπ+k∈Z,得x=+k∈Z.令2x+=kπ,得x=-k∈Z.即对称轴为直线x=+k∈Z,对称中心为k∈Z.10.如图为函数fx=Asinωx+φ的一个周期内的图象.1求函数fx的解析式;2求函数fx的最小正周期、频率、振幅、初相.解1由图,知A=2,T=7--1=8,∴ω===,∴fx=2sin.将点-10代入,得0=2sin.∵|φ|<,∴φ=,∴fx=2sin.2由1,知fx的最小正周期为=8,频率为,振幅为2,初相为.层级二 应试能力达标1.设fx=Asinωx+φ+BA>0,ω>0的定义域为R,周期为,初相为,值域为[-13],则函数fx的解析式为 A.y=2sin+1B.y=2sin-1C.y=-2sin-1D.y=2sin+1解析选A ∵-A+B=-1,A+B=3,∴A=2,B=1,∵T==,∴ω=3,又φ=,故fx=2sin+
1.2.函数fx=cosωx+φω>0,φ∈[02π的部分图象如图,则f2017= A.-1 B.1C.D.-解析选B 由题图可知,=2,所以T=8,所以ω=.由点11在函数图象上可得f1=cos=1,所以+φ=2kπk∈Z,所以φ=2kπ-k∈Z,又φ∈[02π,所以φ=.故fx=cos,f2017=cos=cos506π=cos253×2π=
1.3.已知函数fx=2sin,x∈R,若fx≥1,则x的取值范围为 A.B.C.D.解析选B ∵fx≥1,即2sin≥1,∴sin≥,∴+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z.解得+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z.4.设函数fx=Asinωx+φ的图象关于直线x=对称,它的周期是π,则 A.fx的图象过点B.fx在上是减函数C.fx的一个对称中心是D.fx的最大值是A解析选C ∵周期T=π,∴=π,∴ω=
2.又∵fx的图象关于直线x=对称,∴2×+φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,∴φ=.∴fx=Asin.∴fx图象过点.又当x=时,2x+=π,即f=0,∴是fx的一个对称中心.5.在函数y=-2sin的图象与x轴的交点中,离原点最近的交点坐标是________.解析当y=0时,sin=0,∴4x+=kπ,k∈Z,∴x=π-,k∈Z,取k=0,则x=-,取k=1,则x=,∴离原点最近的交点坐标.答案6.若函数y=sinω>0图象的对称轴中与y轴距离最小的对称轴方程为x=,则实数ω的值为________.解析令ωx+=+kπ,k∈Z,得函数图象的对称轴方程为x=π+,k∈Z.根据题意得k=0,所以=,解得ω=.答案7.已知函数fx=2sin+10<φ<π,ω>0为偶函数,且函数fx的图象的两相邻对称轴间的距离为.1求f的值;2将函数fx的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数gx的图象,求函数gx的单调递减区间.解1∵fx为偶函数,∴φ-=kπ+k∈Z,∴φ=kπ+k∈Z.又0<φ<π,∴φ=,∴fx=2sin+1=2cosωx+
1.又函数fx的图象的两相邻对称轴间的距离为,∴T==2×,∴ω=2,∴fx=2cos2x+1,∴f=2cos+1=+
1.2将fx的图象向右平移个单位长度后,得到函数f的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到f的图象,所以gx=f=2cos2+1=2cos+
1.当2kπ≤-≤2kπ+πk∈Z,即4kπ+≤x≤4kπ+k∈Z时,gx单调递减.∴函数gx的单调递减区间是k∈Z.8.函数fx=Asinωx+φ的一段图象如图所示.1求fx的解析式;2把fx的图象向左至少平移多少个单位长度,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?解1A=3,==5π,ω=.由fx=3sin过,得sin=0,又|φ|,故φ=-,∴fx=3sin.2由fx+m=3sin=3sin为偶函数m0,知-=kπ+,即m=kπ+,k∈Z.∵m0,∴mmin=.故把fx的图象向左至少平移个单位长度,才能使得到的图象对应的函数是偶函数.。