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课时跟踪检测
(一)命题层级一 学业水平达标1.下列语句不是命题的有
①若ab,bc,则ac;
②x2;
③34;
④函数y=axa0,且a≠1在R上是增函数.A.0个 B.1个C.2个D.3个解析选C
①③是可以判断真假的陈述句,是命题;
②④不能判断真假,不是命题.2.下列命题是真命题的是 A.所有质数都是奇数B.若,则abC.对任意的x∈N,都有x3x2成立D.方程x2+x+2=0有实根解析选B 选项A错,因为2是偶数也是质数;选项B正确;选项C错;因为当x=0时x3x2不成立;选项D错,因为Δ=12-8=-70,所以方程x2+x+2=0无实根.3.已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,且a⊥α,b⊥β,则下列命题中,假命题是 A.若a∥b,则α∥βB.若α⊥β,则a⊥bC.若a,b相交,则α,β相交D.若α,β相交,则a,b相交解析选D 由已知a⊥α,b⊥β,若α,β相交,a,b有可能异面.4.给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”,则使该命题为真命题的a的一个值可以是 A.4B.2C.0D.-3解析选C 方程无实根时,应满足Δ=a2-
40.故a=0时适合条件.5.已知下列三个命题
①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;
②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切.其中真命题的序号为 A.
①②③B.
①②C.
①③D.
②③解析选C 对于命题
①,设球的半径为R,则π3=·πR3,故体积缩小到原来的,命题正确;对于命题
②,若两组数据的平均数相同,则它们的标准差不一定相同,例如数据135和333的平均数相同,但标准差不同,命题不正确;对于命题
③,圆x2+y2=的圆心00到直线x+y+1=0的距离d==,等于圆的半径,所以直线与圆相切,命题正确.6.下列语句中是命题的有________写出序号,其中是真命题的有________写出序号.
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?
②一个数不是正数就是负数;
③大角所对的边大于小角所对的边;
④△ABC中,若∠A=∠B,则sinA=sinB;
⑤求证方程x2+x+1=0无实根.解析
①疑问句.没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题;
②是假命题,0既不是正数也不是负数;
③是假命题,没有考虑在同一个三角形内;
④是真命题;
⑤祈使句,不是命题.答案
②③④
④7.给出下面三个命题
①函数y=tanx在第一象限是增函数;
②奇函数的图象一定过原点;
③若ab1,则0logab
1.其中是真命题的是________.填序号解析
①是假命题,反例x=2π+和x=,tan=,tan=12π+,但tan2π+tan.
②是假命题,反例y=是奇函数,但其图象不过原点.
③是真命题,由对数函数的图象及单调性可知是真命题.答案
③8.若命题“ax2-2ax-30不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________.解析∵ax2-2ax-30不成立,∴ax2-2ax-3≤0恒成立.当a=0时,-3≤0恒成立;当a≠0时,则有解得-3≤a
0.综上,-3≤a≤
0.答案[-30]9.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假,且指出p和q分别指什么.1乘积为1的两个实数互为倒数;2奇函数的图象关于原点对称;3与同一直线平行的两个平面平行.解1“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”.它是真命题.p两个实数乘积为1;q两个实数互为倒数.2“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”.它是真命题.p一个函数为奇函数;q函数的图象关于原点对称.3“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行”.它是假命题,这两个平面也可能相交.p两个平面与同一条直线平行;q两个平面平行.10.已知A5x-1a,B x1,请选择适当的实数a,使得利用A,B构造的命题“若p,则q”为真命题.解若视A为p,则命题“若p,则q”为“若x,则x1”.由命题为真命题可知≥1,解得a≥4;若视B为p,则命题“若p,则q”为“若x1,则x”.由命题为真命题可知≤1,解得a≤
4.故a取任一实数均可利用A,B构造出一个真命题,比如这里取a=1,则有真命题“若x1,则x”.层级二 应试能力达标1.在空间中,下列命题正确的是 A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一平面的两条直线平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行解析选D A中当两平行直线确定的平面不垂直于投影面时,两平行直线的平行投影不重合.B中两直线也可以相交或异面.C中两平面可以相交.D正确.故选D.2.下面的命题中是真命题的是 A.y=sin2x的最小正周期为2πB.若方程ax2+bx+c=0a≠0的两根同号,则0C.如果M⊆N,那么M∪N=MD.在△ABC中,若·0,则B为锐角解析选B y=sin2x=,T==π,故A为假命题;当M⊆N时,M∪N=N,故C为假命题;在三角形ABC中,当·0时,向量与的夹角为锐角,B应为钝角,故D为假命题.故选B.3.下列命题为真命题的是 A.若=,则x=yB.若x2=1,则x=1C.若x=y,则=D.若xy,则x2y2解析选A 很明显A正确;B中,由x2=1,得x=±1,所以B是假命题;C中,当x=y0时,结论不成立,所以C是假命题;D中,当x=-1,y=1时,结论不成立,所以D是假命题.故选A.4.命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是 A.这个四边形的对角线互相平分B.这个四边形的对角线互相垂直C.这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直D.这个四边形是平行四边形解析选C 命题可改为“若一个四边形是平行四边形,则这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直.”故选C.5.命题“若a0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域包括边界”条件p________,结论q________________________________.它是____________命题填“真”或“假”.解析a0时,设a=1,把00代入x+y-1≥0得-1≥0不成立,∴x+y-1≥0表示直线的右上方区域包括边界,∴命题为真命题.答案a0 二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域包含边界 真6.定义“正对数”ln+x=现有四个命题
①若a0,b0,则ln+ab=bln+a;
②若a0,b0,则ln+ab=ln+a+ln+b;
③若a0,b0,则ln+≥ln+a-ln+b;
④若a0,b0,则ln+a+b≤ln+a+ln+b+ln
2.其中的真命题有________.写出所有真命题的编号解析对于
①,当a≥1时,ab≥1,则ln+ab=lnab=blna=bln+a;当0a1时,0ab1,则ln+ab=0,bln+a=0,即ln+ab=bln+a,故
①为真命题.同理讨论a,b在0,+∞内的不同取值,可知
③④为真命题.对于
②,可取特殊值a=e,b=,则ln+ab=0,ln+a+ln+b=1+0=1,故
②为假命题.综上可知,真命题有
①③④.答案
①③④7.已知p x2-2x+2≥m的解集为R;q函数fx=-7-3mx是减函数.若这两个命题中有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围.解若命题p为真命题,由x2-2x+2=x-12+1≥m,可知m≤1;若命题q为真命题,则7-3m1,即m
2.命题p和q中有且只有一个是真命题,则p真q假或p假q真,即或所以1m
2.故实数m的取值范围是12.8.试探究命题“方程ax2+bx+1=0有实数解”为真命题时,a,b满足的条件.解方程ax2+bx+1=0有实数解,要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况当a=0时,方程ax2+bx+1=0为bx+1=0,只有当b≠0时,方程有实数解x=-;当a≠0时,方程ax2+bx+1=0为一元二次方程,方程有实数解的条件为Δ=b2-4a≥
0.综上知,当a=0,b≠0或a≠0,b2-4a≥0时,方程ax2+bx+1=0有实数解.。