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课时跟踪检测
(一)正弦定理层级一 学业水平达标1.在△ABC中,a=5,b=3,则sinA∶sinB的值是 A.B.C.D.解析选A 根据正弦定理得==.2.在△ABC中,a=bsinA,则△ABC一定是 A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析选B 由题意有=b=,则sinB=1,即角B为直角,故△ABC是直角三角形.3.在△ABC中,若=,则C的值为 A.30°B.45°C.60°D.90°解析选B 由正弦定理得,==,则cosC=sinC,即C=45°,故选B.4.△ABC中,A=,B=,b=,则a等于 A.1B.2C.D.2解析选A 由正弦定理得=,∴a=1,故选A.5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=bsinA,则sinB= A.B.C.D.-解析选B 由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,所以sinA=sinBsinA,故sinB=.6.下列条件判断三角形解的情况,正确的是______填序号.
①a=8,b=16,A=30°,有两解;
②b=18,c=20,B=60°,有一解;
③a=15,b=2,A=90°,无解;
④a=40,b=30,A=120°,有一解.解析
①中a=bsinA,有一解;
②中csinBbc,有两解;
③中A=90°且ab,有一解;
④中ab且A=120°,有一解.综上,
④正确.答案
④7.在△ABC中,若sinA+sinBsinA-sinB=sin2C,则△ABC的形状是________.解析由已知得sin2A-sin2B=sin2C,根据正弦定理知sinA=,sinB=,sinC=,所以2-2=2,即a2-b2=c2,故b2+c2=a
2.所以△ABC是直角三角形.答案直角三角形8.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则=________.解析由正弦定理及已知得=,∴=
2.答案29.已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹边的长是1,求最小边长.解设△ABC中,A=45°,B=60°,则C=180°-A+B=75°.因为CBA,所以最小边为a.又因为c=1,由正弦定理得,a===-1,所以最小边长为-
1.10.在△ABC中,已知a=2,A=30°,B=45°,解三角形.解∵==,∴b====
4.∴C=180°-A+B=180°-30°+45°=105°,∴c====4sin30°+45°=2+
2.层级二 应试能力达标1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果c=a,B=30°,那么角C等于 A.120° B.105°C.90°D.75°解析选A ∵c=a,∴sinC=sinA=sin180°-30°-C=sin30°+C=,即sinC=-cosC,∴tanC=-.又0°C180°,∴C=120°.故选A.2.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,若△ABC的周长为4+1,且sinB+sinC=sinA,则a= A.B.2C.4D.2解析选C 根据正弦定理,sinB+sinC=sinA可化为b+c=a,∵△ABC的周长为4+1,∴解得a=
4.故选C.3.在△ABC中,A=60°,a=,则等于 A.B.C.D.2解析选B 由a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC得=2R===.4.在△ABC中,若ABC,且A+C=2B,最大边为最小边的2倍,则三个角A∶B∶C= A.1∶2∶3B.2∶3∶4C.3∶4∶5D.4∶5∶6解析选A 由ABC,且A+C=2B,A+B+C=π,可得B=,又最大边为最小边的2倍,所以c=2a,所以sinC=2sinA,即sin=2sinA⇒tanA=,又0Aπ,所以A=,从而C=,则三个角A∶B∶C=1∶2∶3,故选A.5.在△ABC中,A=60°,B=45°,a+b=12,则a=________.解析因为=,所以=,所以b=a,
①又因为a+b=12,
②由
①②可知a=123-.答案123-6.在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则sinB=_______.解析由正弦定理,得=,即sinC===.可知C为锐角,∴cosC==.∴sinB=sin180°-120°-C=sin60°-C=sin60°·cosC-cos60°·sinC=.答案7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且=.1求角C的大小;2如果·=4,求△ABC的面积.解1由得sinC=cosC,故tanC=,又C∈0,π,所以C=.2由·=||||cosC=ba=4得ab=8,所以S△ABC=absinC=×8×=
2.8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+bsinC-a-c=
0.1求B;2若b=,求a+c的取值范围.解1由正弦定理知sinBcosC+sinBsinC-sinA-sinC=0,∵sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC代入上式得sinBsinC-cosBsinC-sinC=
0.∵sinC0,∴sinB-cosB-1=0,即sin=,∵B∈0,π,∴B=.2由1得2R==2,a+c=2RsinA+sinC=2sin.∵C∈,∴2sin∈,2],∴a+c的取值范围为,2].。