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课时跟踪检测
(十九)层级一 学业水平达标1.下列结论正确的是 A.当x0且x≠1时,lgx+≥2B.当x0时,+≥2C.当x≥2时,x+的最小值为2D.当0x≤2时,x-无最大值解析选B A中,当0x1时,lgx0,lgx+≥2不成立;由基本不等式知B正确;C中,由对勾函数的单调性,知x+的最小值为;D中,由函数fx=x-在区间02]上单调递增,知x-的最大值为,故选B.2.下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是 A.lgx2+1≥lg2x B.x2+12xC.≤1D.x+≥2解析选C 对于A,当x≤0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不成立;对于D,当x0时,不成立.对于C,x2+1≥1,∴≤1成立.故选C.3.设a,b为正数,且a+b≤4,则下列各式中正确的一个是 A.+1B.+≥1C.+2D.+≥2解析选B 因为ab≤2≤2=4,所以+≥2≥2=
1.4.四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列,则 A.B.C.=D.≤解析选A 因为a,b,c,d成等差数列,则a+d=b+c,又因为a,b,c,d均大于0且不相等,所以b+c2,故.5.若x0,y0,且+=1,则xy有 A.最大值64B.最小值C.最小值D.最小值64解析选D 由题意xy=xy=2y+8x≥2=8,∴≥8,即xy有最小值64,等号成立的条件是x=4,y=
16.6.若a0,b0,且+=,则a3+b3的最小值为________.解析∵a0,b0,∴=+≥2,即ab≥2,当且仅当a=b=时取等号,∴a3+b3≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号,则a3+b3的最小值为
4.答案47.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是________.解析由题意得,y=,∴2x+y=2x+==≥3,当且仅当x=y=1时,等号成立.答案38.若对任意x0,≤a恒成立,则a的取值范围是________.解析因为x0,所以x+≥
2.当且仅当x=1时取等号,所以有=≤=,即的最大值为,故a≥.答案9.1已知x3,求fx=+x的最大值;2已知x,y是正实数,且x+y=4,求+的最小值.解1∵x3,∴x-30,∴fx=+x=+x-3+3=-+3≤-2+3=-1,当且仅当=3-x,即x=1时取等号,∴fx的最大值为-
1.2∵x,y是正实数,∴x+y=4+≥4+
2.当且仅当=,即x=2-1,y=23-时取“=”号.又x+y=4,∴+≥1+,故+的最小值为1+.10.设a,b,c都是正数,试证明不等式++≥
6.证明因为a0,b0,c0,所以+≥2,+≥2,+≥2,所以++≥6,当且仅当=,=,=,即a=b=c时,等号成立.所以++≥
6.层级二 应试能力达标1.a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是 A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab|C.a2+b2≤2|ab|D.a2+b22|ab|解析选A ∵a2+b2-2|ab|=|a|-|b|2≥0,∴a2+b2≥2|ab|当且仅当|a|=|b|时,等号成立.2.已知实数a,b,c满足条件abc且a+b+c=0,abc0,则++的值 A.一定是正数B.一定是负数C.可能是0D.正负不确定解析选B 因为abc且a+b+c=0,abc0,所以a0,b0,c0,且a=-b+c,所以++=-++,因为b0,c0,所以b+c≤-2,所以-≤,又+≤-2,所以-++≤-2=-0,故选B.3.已知x0,y0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值为 A.0B.1C.2D.4解析选D 由题意,知所以===+2≥2+2=4,当且仅当x=y时,等号成立.4.若实数x,y满足xy0,则+的最大值为 A.2-B.2+C.4+2D.4-2解析选D +=+,设t=0,∴原式=+=+=1+=1+.∵2t+≥2,∴最大值为1+=4-
2.5.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+m2-3m有解,则实数m的取值范围是________.解析因为不等式x+m2-3m有解,所以minm2-3m,因为x0,y0,且+=1,所以x+==++2≥2+2=4,当且仅当=,即x=2,y=8时,等号是成立的,所以min=4,所以m2-3m4,即m+1m-40,解得m-1或m
4.答案-∞,-1∪4,+∞6.若正数a,b满足a+b=1,则+的最小值为________.解析由a+b=1,知+==,又ab≤2=当且仅当a=b=时等号成立,∴9ab+10≤,∴≥.答案7.某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量即该产品的年产量x单位万件与年促销费用mm≥0单位万元满足x=3-k为常数,如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的
1.5倍产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用.1将2016年该产品的利润y单位万元表示为年促销费用m的函数;2该厂家2016年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大?解1由题意,可知当m=0时,x=1,∴1=3-k,解得k=2,∴x=3-,又每件产品的销售价格为
1.5×元,∴y=x-8+16x+m=4+8x-m=4+8-m=-+29m≥0.2∵m≥0,+m+1≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时等号成立,∴y≤-8+29=21,∴ymax=
21.故该厂家2016年的促销费用为3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.8.已知k,若对任意正数x,y,不等式x+ky≥恒成立,求实数k的最小值.解∵x0,y0,∴不等式x+ky≥恒成立等价于+k≥恒成立.又k,∴+k≥2,∴2≥,解得k≤-舍去或k≥,∴kmin=.。