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考点规范练40 空间向量及其运算基础巩固组
1.在下列命题中:
①若向量ab共线则向量ab所在的直线平行;
②若向量ab所在的直线为异面直线则向量ab一定不共面;
③若三个向量abc两两共面则向量abc共面;
④已知空间的三个向量abc则对于空间的任意一个向量p总存在实数xyz使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是 A.0B.1C.2D.3答案A解析a与b共线ab所在直线也可能重合故
①不正确;根据自由向量的意义知空间任意两向量ab都共面故
②错误;三个向量abc中的任两个一定共面但它们三个却不一定共面故
③不正确;只有当abc不共面时空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc故
④不正确.综上可知四个命题中正确的个数为0故选A.
2.2017浙江台州统考已知向量a=2m+13m-1b=2m-m且a∥b则实数m的值等于 AB.-2C.0D或-2答案B解析∵a∥b解得m=-
2.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别为棱AA1和BB1的中点则sin的值为 ABCD答案B解析如图设正方体棱长为2则易得=2-21=22-1∴cos==-∴sin==
4.已知在空间直角坐标系O-xyz中A101B446C223D101417则这四个点 A.共线B.共面C.不共面D.不能确定答案B解析易知=345=122=91416设=x+y则91416=3x+y4x+2y5x+2y即解得即=2+3从而ABCD四点共面.
5.在四面体O-ABC中点M在OA上且OM=2MAN为BC的中点若则使点G与点MN共线的x的值为 A.1B.2CD答案A解析假设点G与点MN共线则存在实数λ使得=+1-λ+与比较可得解得x=
1.故选A.
6.如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中O为AC的中点.化简= . 答案解析=
7.已知向量a=24xb=2y2|a|=6且a⊥b则x+y= . 答案1或-3解析∵a⊥b∴a·b=4+4y+2x=
0.又|a|=6=∴x=4y=-3或x=-4y=
1.故x+y=1或x+y=-
3.
8.已知点O为空间直角坐标系的原点向量=123=212=112且点Q在直线OP上运动当取得最小值时的坐标是 . 答案解析∵点Q在直线OP上∴设点Qλλ2λ则=1-λ2-λ3-2λ=2-λ1-λ2-2λ=1-λ2-λ+2-λ1-λ+3-2λ2-2λ=6λ2-16λ+10=6即当λ=时取得最小值-此时能力提升组
9.已知向量a=1-t2t-10b=2tt则|b-a|的最小值为 ABCD答案C解析∵a=1-t2t-10b=2tt∴|b-a|=当t=0时|b-a|取得最小值故选C.
10.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a点EF分别是BCAD的中点则的值为 A.a2Ba2Ca2Da2答案C解析设=a=b=c则|a|=|b|=|c|=a且abc三向量两两夹角为60°.a+bca+bc=a·c+b·c=a2cos60°+a2cos60°=a
2.
11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2O是底面ABCD的中心EF分别是CC1AD的中点则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为 ABCD答案B解析=2+4=
3.而||=||=∴cos=故选B.
12.若{abc}是空间的一个基底且向量p=xa+yb+zc则xyz叫向量p在基底{abc}下的坐标.已知{abc}是空间的一个基底{a+ba-bc}是空间的另一个基底一向量p在基底{abc}下的坐标为423则向量p在基底{a+ba-bc}下的坐标是 A.403B.313C.123D.213答案B解析设p在基底{a+ba-bc}下的坐标为xyz则p=xa+b+ya-b+zc=x+ya+x-yb+zc
①∵p在{abc}下的坐标为423∴p=4a+2b+3c
②由
①②得即p在{a+ba-bc}下的坐标为
313.
13.已知e1e2是空间单位向量e1·e2=若空间向量b满足b·e1=2b·e2=且对于任意xy∈R|b-xe1+ye2|≥|b-x0e1+y0e2|=1x0y0∈R则|b|为 A.2B.8CD.2答案D解析设e3为空间单位向量且满足e3⊥e2e3⊥e1∵|b-x0e1+y0e2|=1故设b=x0e1+y0e2+e3∵b·e1=2即x0e1+y0e2+e3·e1=2得x0+y0=
2.又∵b·e2=即x0e1+y0e2+e3·e2=得x0+y0=解此时b=e1+2e2+e3|b|===
214.如图在平行六面体ABCD-EFGH中棱ABADAE的长分别为345且∠EAD=∠EAB=∠DAB=120°设=a=b=c则用abc表示= ;BH的长为 . 答案a+b+c 解析因为=a+b+c=b+c-a所以||=
15.已知是空间两两垂直的单位向量=x+y+z且x+2y+4z=1则||的最小值为 . 答案解析根据题意可得||==
16.如图四棱锥O-ABCD中AC垂直平分BD||=2||=1则·的值是 . 答案3解析如图所示四棱锥O-ABCD中设ACBD交于点E由题意AC⊥BDDE=BE所以=2又||=2||=1所以·=·=2·=2+=·==22-12=
3.
17.已知空间三点A023B-216C1-
15.1求以为边的平行四边形的面积;2若|a|=且a分别与垂直求向量a的坐标.解1由题意可得=-2-13=1-32所以cos=所以sin=所以以为边的平行四边形的面积为S=2|·||·sin=14=72设a=xyz由题意得解得所以向量a的坐标为111或-1-1-
1.
18.2018浙江嘉兴已知∠BOD=120°OC是∠BOD的平分线沿OC将∠DOC翻折到∠AOC的位置使得∠AOB=60°如图设OA=OB=OC=1记=a=b=cBC的中点为M1试用abc表示;2求异面直线AC与OM所成角的余弦值.解1由题意知=c-a==b+2∵|a|=|b|=|c|=1a·b=a·c=b·c=∴||=|c-a|==1||==c-ac2+b·c-a·b-a·c=设的夹角为θ则cosθ=故异面直线AC与OM所成角的余弦值为。