还剩15页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
§
3.3 函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性
2.周期性1周期函数对于函数y=fx,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有fx+T=fx,那么就称函数y=fx为周期函数,称T为这个函数的周期.2最小正周期如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期.概念方法微思考1.如果已知函数fx,gx的奇偶性,那么函数fx±gx,fx·gx的奇偶性有什么结论?提示 在函数fx,gx公共定义域内有奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.已知函数fx满足下列条件,你能得到什么结论?1fx+a=-fxa≠0________.2fx+a=a≠0________.3fx+a=fx+ba≠b________.提示 1T=2|a| 2T=2|a| 3T=|a-b|题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1函数y=x2,x∈-10,+∞是偶函数. × 2偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. × 3若函数y=fx+a是偶函数,则函数y=fx关于直线x=a对称. √ 4函数fx在定义域上满足fx+a=-fx,则fx是周期为2aa0的周期函数. √ 5定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. √ 6若T是函数的一个周期,则nTn∈Z,n≠0也是函数的周期. √ 题组二 教材改编2.[P39A组T6]已知函数fx是定义在R上的奇函数,且当x>0时,fx=x1+x,则f-1=________.答案 -2解析 f1=1×2=2,又fx为奇函数,∴f-1=-f1=-
2.3.[P45B组T4]设fx是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-11时,fx=则f=______.答案 1解析 f=f=-4×2+2=
1.
4.[P39A组T6]设奇函数fx的定义域为[-55],若当x∈
[05]时,fx的图象如图所示,则不等式fx<0的解集为________.答案 -20∪25]解析 由题图可知,当0<x<2时,fx>0;当2<x≤5时,fx<0,又fx是奇函数,∴当-2<x<0时,fx<0,当-5≤x-2时,fx
0.综上,fx<0的解集为-20∪25].题型一 判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性1fx=+;2fx=;3fx=解 1由得x2=3,解得x=±,即函数fx的定义域为{-,},∴fx=+=
0.∴f-x=-fx且f-x=fx,∴函数fx既是奇函数又是偶函数.2由得定义域为-10∪01,关于原点对称.∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴fx=.又∵f-x===-fx,∴函数fx为奇函数.3显然函数fx的定义域为-∞,0∪0,+∞,关于原点对称.∵当x<0时,-x>0,则f-x=--x2-x=-x2-x=-fx;当x>0时,-x<0,则f-x=-x2-x=x2-x=-fx;综上可知,对于定义域内的任意x,总有f-x=-fx,∴函数fx为奇函数.思维升华判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件1定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;2判断fx与f-x是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式fx+f-x=0奇函数或fx-f-x=0偶函数是否成立.跟踪训练11下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 A.y=x+sin2xB.y=x2-cosxC.y=2x+D.y=x2+sinx答案 D解析 对于A,f-x=-x+sin2-x=-x+sin2x=-fx,为奇函数;对于B,f-x=-x2-cos-x=x2-cosx=fx,为偶函数;对于C,f-x=2-x+=2x+=fx,为偶函数;对于D,y=x2+sinx既不是偶函数也不是奇函数,故选D.2已知函数fx=,gx=,则下列结论正确的是 A.hx=fx+gx是偶函数B.hx=fx+gx是奇函数C.hx=fxgx是奇函数D.hx=fxgx是偶函数答案 A解析 易知hx=fx+gx的定义域为{x|x≠0}.因为f-x+g-x=+=--=-=+=fx+gx,所以hx=fx+gx是偶函数.故选A.题型二 函数的周期性及其应用1.奇函数fx的定义域为R,若fx+1为偶函数,且f1=2,则f4+f5的值为 A.2B.1C.-1D.-2答案 A解析 ∵fx+1为偶函数,∴f-x+1=fx+1,则f-x=fx+2,又y=fx为奇函数,则f-x=-fx=fx+2,且f0=
0.从而fx+4=-fx+2=fx,y=fx的周期为
4.∴f4+f5=f0+f1=0+2=
2.2.已知定义在R上的函数fx满足f2=2-,且对任意的x都有fx+2=,则f2020=________.答案 -2-解析 由fx+2=,得fx+4==fx,所以函数fx的周期为4,所以f2020=f4.因为f2+2=,所以f4=-=-=-2-.故f2020=-2-.3.若函数fxx∈R是周期为4的奇函数,且在
[02]上的解析式为fx=则f+f=________.答案 解析 由于函数fx是周期为4的奇函数,所以f+f=f+f=f+f=-f-f=-+sin=.4.定义在R上的函数fx满足fx+6=fx,当-3≤x-1时,fx=-x+22;当-1≤x3时,fx=x.则f1+f2+f3+…+f2019=________.答案 338解析 ∵fx+6=fx,∴周期T=
6.∵当-3≤x-1时,fx=-x+22;当-1≤x3时,fx=x,∴f1=1,f2=2,f3=f-3=-1,f4=f-2=0,f5=f-1=-1,f6=f0=0,∴f1+f2+…+f6=1,∴f1+f2+f3+…+f2015+f2016=1×=
336.又f2017=f1=1,f2018=f2=2,f2019=f3=-1,∴f1+f2+f3+…+f2019=
338.思维升华利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.题型三 函数性质的综合应用命题点1 求函数值或函数解析式例21已知函数fx是定义在R上的奇函数,当x∈-∞,0时,fx=2x3+x2,则f2=______.答案 12解析 方法一 令x>0,则-x<
0.∴f-x=-2x3+x
2.∵函数fx是定义在R上的奇函数,∴f-x=-fx.∴fx=2x3-x2x>0.∴f2=2×23-22=
12.方法二 f2=-f-2=-[2×-23+-22]=
12.22018·浙江省镇海中学测试已知fx是定义域为R的奇函数,当x>0时,fx=1+2x-x2,则函数fx的解析式是________________________.答案 fx=解析 设x<0,则-x>0,∴f-x=1-2x-x2=-fx,即x<0时,fx=-1+2x+x2,又易知f0=0,∴fx=命题点2 求参数问题例31若函数fx=xlnx+为偶函数,则a=__________.答案 1解析 ∵f-x=fx,∴-xln-x=xlnx+,∴ln[2-x2]=
0.∴lna=0,∴a=
1.2设fx是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,fx=其中a,b∈R.若f=f,则a+3b的值为________.答案 -10解析 因为fx是定义在R上且周期为2的函数,所以f=f且f-1=f1,故f=f,从而=-a+1,即3a+2b=-
2.
①由f-1=f1,得-a+1=,即b=-2a.
②由
①②得a=2,b=-4,从而a+3b=-
10.命题点3 利用函数的性质解不等式例41已知定义在R上的偶函数fx在[0,+∞上单调递增,若flnxf2,则x的取值范围是 A.0,e2B.e-2,+∞C.e2,+∞D.e-2,e2答案 D解析 根据题意知,fx为偶函数且在[0,+∞上单调递增,则flnxf2⇔|lnx|2,即-2lnx2,解得e-2xe2,即x的取值范围是e-2,e2.2设函数fx=ln1+|x|-,则使得fxf2x-1成立的x的取值范围为______________.答案 解析 由已知得函数fx为偶函数,所以fx=f|x|,由fxf2x-1,可得f|x|f|2x-1|.当x0时,fx=ln1+x-,因为y=ln1+x与y=-在0,+∞上都单调递增,所以函数fx在0,+∞上单调递增.由f|x|f|2x-1|,可得|x||2x-1|,两边平方可得x22x-12,整理得3x2-4x+10,解得x
1.所以符合题意的x的取值范围为.思维升华1关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.跟踪训练21定义在R上的奇函数fx满足f=fx,当x∈时,fx=1-x,则fx在区间内是 A.减函数且fx0B.减函数且fx0C.增函数且fx0D.增函数且fx0答案 D解析 当x∈时,由fx=1-x可知,fx单调递增且fx0,又函数fx为奇函数,所以在区间上函数也单调递增,且fx
0.由f=fx知,函数的周期为,所以在区间上,函数单调递增且fx
0.故选D.2设fx是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,fx=2x1-x,则f=________.答案 -解析 由题意可知,f=f=-f=-2××=-.3已知fx为偶函数,当x≤0时,fx=e-x-1-x,则fx=________.答案 解析 ∵当x0时,-x0,∴fx=f-x=ex-1+x,∴fx=函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.
一、函数性质的判断例11已知函数fx=lnx+ln2-x,则 A.fx在02上单调递增B.fx在02上单调递减C.y=fx的图象关于直线x=1对称D.y=fx的图象关于点10对称答案 C解析 fx的定义域为02.fx=lnx+ln2-x=ln[x2-x]=ln-x2+2x.设u=-x2+2x,x∈02,则u=-x2+2x在01上单调递增,在12上单调递减.又y=lnu在其定义域上单调递增,∴fx=ln-x2+2x在01上单调递增,在12上单调递减.∴选项A,B错误;∵fx=lnx+ln2-x=f2-x,∴fx的图象关于直线x=1对称,∴选项C正确;∵f2-x+fx=[ln2-x+lnx]+[lnx+ln2-x]=2[lnx+ln2-x],不恒为0,∴fx的图象不关于点10对称,∴选项D错误.故选C.22018·浙江舟山中学模拟满足下列条件的函数fx中,fx为偶函数的是 A.fex=|x|B.fex=e2xC.flnx=lnx2D.flnx=x+答案 D解析 ∵ex>0,∴fx的定义域不关于原点对称,fx无奇偶性,A,B错误;令lnx=t,则x=et,而flnx=lnx2,即ft=2t,fx=2x显然不是偶函数,C错误;而flnx=x+,则ft=et+,即fx=ex+,此时f-x=e-x+=+ex=fx,∴fx=ex+是偶函数,D正确,故选D.32019·绍兴模拟设fx的定义域是R,则下列命题中不正确的是 A.若fx是奇函数,则ffx也是奇函数B.若fx是周期函数,则ffx也是周期函数C.若fx是单调递减函数,则ffx也是单调递减函数D.若方程fx=x有实根,则方程ffx=x也有实根答案 C解析 若fx是奇函数,则f-x=-fx,所以ff-x=f-fx=-ffx,所以ffx也是奇函数,所以A正确;若T是fx的周期,则fx+T=fx,所以ffx+T=ffx,所以ffx也是周期函数,所以B正确;若fx是单调递减函数,则不妨取fx=-x,则ffx=f-x=x是单调递增函数,所以C错误;设x0是方程fx=x的实根,则fx0=x0,则ffx0=fx0=x0,即x0是方程ffx=x的实根,所以D正确.故选C.
二、函数性质的综合应用例212018·全国Ⅱ已知fx是定义域为-∞,+∞的奇函数,满足f1-x=f1+x.若f1=2,则f1+f2+f3+…+f50等于 A.-50B.0C.2D.50答案 C解析 ∵fx是奇函数,∴f-x=-fx,∴f1-x=-fx-1.∵f1-x=f1+x,∴-fx-1=fx+1,∴fx+2=-fx,∴fx+4=-fx+2=-[-fx]=fx,∴函数fx是周期为4的周期函数.由fx为奇函数且定义域为R得f0=0,又∵f1-x=f1+x,∴fx的图象关于直线x=1对称,∴f2=f0=0,∴f-2=
0.又f1=2,∴f-1=-2,∴f1+f2+f3+f4=f1+f2+f-1+f0=2+0-2+0=0,∴f1+f2+f3+f4+…+f49+f50=0×12+f49+f50=f1+f2=2+0=
2.故选C.2已知定义在R上的奇函数fx满足fx-4=-fx,且在区间
[02]上是增函数,则 A.f-25f11f80B.f80f11f-25C.f11f80f-25D.f-25f80f11答案 D解析 因为fx满足fx-4=-fx,所以fx-8=fx,所以函数fx是以8为周期的周期函数,则f-25=f-1,f80=f0,f11=f3.由fx是定义在R上的奇函数,且满足fx-4=-fx,得f11=f3=-f-1=f1.因为fx在区间
[02]上是增函数,fx在R上是奇函数,所以fx在区间[-2,2]上是增函数,所以f-1f0f1,即f-25f80f11.3若函数fx=log2在[1,+∞上是增函数,则a的取值范围是________.答案 [-12021解析 由已知函数y=x+2020-在[1,+∞上是增函数,且y0恒成立.∵y′=1+,令y′≥0得a≥-x2x≥1,∴a≥-
1.又由当x=1时,y=1+2020-a0,得a
2021.∴a的取值范围是[-12021.1.下列函数中,既是偶函数又在区间12内单调递减的是 A.fx=B.fx=C.fx=2x+2-xD.fx=-cosx答案 B解析 函数fx=是偶函数,且在12内单调递减,符合题意.2.已知fx为定义在R上的奇函数,当x≥0时,fx=2x+m,则f-2等于 A.-3B.-C.D.3答案 A解析 由fx为R上的奇函数,知f0=0,即f0=20+m=0,解得m=-1,则f-2=-f2=-22-1=-
3.3.2019·金华调研已知y=fx是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是
①y=f|x|;
②y=f-x;
③y=xfx;
④y=fx+x.A.
①③B.
②③C.
①④D.
②④答案 D解析 由奇函数的定义f-x=-fx验证,
①f|-x|=f|x|,为偶函数;
②f--x=fx=-f-x,为奇函数;
③-xf-x=-x·[-fx]=xfx,为偶函数;
④f-x+-x=-[fx+x],为奇函数.可知
②④正确,故选D.4.已知函数fx是定义在R上的奇函数,其最小正周期为4,且当x∈时,fx=log2-3x+1,则f2021等于 A.4B.2C.-2D.log27答案 C解析 ∵函数fx是定义在R上的奇函数,其最小正周期为4,∴f2021=f4×505+1=f1=-f-1.∵-1∈,且当x∈时,fx=log2-3x+1,∴f-1=log2[-3×-1+1]=2,∴f2021=-f-1=-
2.5.2018·浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期初联考已知函数fx是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞上单调递减,若实数a满足flog3a+fa≥2f1,则a的取值范围是 A.03]B.C.D.
[13]答案 C解析 函数fx是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞上单调递减,故fx在-∞,0]上单调递增.因为flog3a+fa≥2f1,所以flog3a+f-log3a=2flog3a≥2f1,即flog3a≥f1=f-1,所以-1≤log3a≤1,解得≤a≤3,故选C.6.已知偶函数fx对于任意x∈R都有fx+1=-fx,且fx在区间
[01]上是单调递增的,则f-
6.5,f-1,f0的大小关系是 A.f0f-
6.5f-1B.f-
6.5f0f-1C.f-1f-
6.5f0D.f-1f0f-
6.5答案 A解析 由fx+1=-fx,得fx+2=-fx+1=fx,∴函数fx的周期是
2.∵函数fx为偶函数,∴f-
6.5=f-
0.5=f
0.5,f-1=f1.∵fx在区间
[01]上是单调递增的,∴f0f
0.5f1,即f0f-
6.5f-1.7.如果函数fx=x2sinx+a的图象过点π,1且ft=2,那么a=________,f-t=________.答案 1 0解析 由已知得fπ=π2sinπ+a=a=1,所以a=1,所以fx=x2sinx+1,而ft=t2sint+1=2,所以t2sint=1,所以f-t=-t2sin-t+1=-t2sint+1=-1+1=
0.8.若函数fx=为奇函数,则a=____,fg-2=________.答案 0 -25解析 由题意,得a=f0=
0.设x<0,则-x>0,f-x=x2-2x+1=-fx,∴g2x=-x2+2x-1,∴g-2=-4,∴fg-2=f-4=-16-8-1=-
25.9.已知函数fx是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,fx=4x,则f+f1=________.答案 -2解析 ∵函数fx为定义在R上的奇函数,且周期为2,∴f2=f0=0,∴f1=-f-1=-f-1+2=-f1,∴f1=0,∴f=f=-f=-=-2,∴f+f1=-
2.10.2018·宁波十校联考定义函数fx在闭区间[a,b]上的最大值与最小值之差为函数fx的极差.若定义在区间[-2b3b-1]上的函数fx=x3-ax2-b+2x是奇函数,则a+b=________,函数fx的极差为________.答案 1 4解析 由fx在[-2b3b-1]上为奇函数,所以区间关于原点对称,故-2b+3b-1=0,b=1,又由f-x+fx=0可求得a=0,所以a+b=
1.又fx=x3-3x,f′x=3x2-3,易知fx在-2,-1,12上单调递增,fx在-11上单调递减,所以在[-22]上的最大值、最小值分别为f-1=f2=2,f1=f-2=-2,所以极差为
4.11.设fx是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有fx+2=-fx.当x∈
[02]时,fx=2x-x
2.1求证fx是周期函数;2当x∈
[24]时,求fx的解析式.1证明 ∵fx+2=-fx,∴fx+4=-fx+2=fx.∴fx是周期为4的周期函数.2解 ∵x∈
[24],∴-x∈[-4,-2],∴4-x∈
[02],∴f4-x=24-x-4-x2=-x2+6x-
8.∵f4-x=f-x=-fx,∴-fx=-x2+6x-8,即fx=x2-6x+8,x∈
[24].12.设fx是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且f1+x=f1-x,当-1≤x≤0时,fx=-x.1判定fx的奇偶性;2试求出函数fx在区间[-12]上的表达式.解 1∵f1+x=f1-x,∴f-x=f2+x.又fx+2=fx,∴f-x=fx.又fx的定义域为R,∴fx是偶函数.2当x∈
[01]时,-x∈[-10],则fx=f-x=x;从而当1≤x≤2时,-1≤x-2≤0,fx=fx-2=-x-2=-x+
2.故fx=13.2018·浙江杭州四中期中设函数fx,gx的定义域为R,且fx是奇函数,gx是偶函数,设hx=|fx-1|+gx-1,则下列结论中正确的是 A.hx关于10对称B.hx关于-10对称C.hx关于x=1对称D.hx关于x=-1对称答案 C解析 因为函数fx是奇函数,所以|fx|是偶函数,即|fx|与gx均为偶函数,其图象关于y轴对称,所以|fx-1|与gx-1的图象都关于直线x=1对称,即hx=|fx-1|+gx-1的图象关于直线x=1对称,故选C.14.已知函数fx=是偶函数,则α,β的可能取值是 A.α=π,β=B.α=β=C.α=,β=D.α=,β=.答案 C解析 因为函数fx=是偶函数,所以当x<0时,cos-x+α=sinx+β,利用两角和差公式展开并整理,得sinxsinα-cosβ+cosxcosα-sinβ=0对x<0恒成立,因而将两式两边平方后相加可得,2-2sinαcosβ+cosαsinβ=0,因而sinα+β=1,故α+β=2kπ+,k∈Z,故选C.15.2018·宁波九校联考已知函数fx=|x2-2ax+b|x∈R,给出下列命题
①fx必是偶函数;
②当f0=f2时,fx的图象关于直线x=1对称;
③若a2-b≤0,则fx在[a,+∞上是增函数;
④若a>0,在[-a,a]上fx有最大值|a2-b|.其中正确的命题序号是________.答案
③解析 对于
①,当且仅当a=0时,函数fx=|x2-2ax+b|为偶函数,
①错误;对于
②,当a=0,b=-2时,满足f0=2=f2,此时函数图象不关于直线x=1对称,
②错误;对于
③,当a2-b≤0时,b-a2≥0,所以fx=x2-2ax+b,则fx在[a,+∞上是增函数,
③正确;对于
④,当a=1,b=4时,满足a>0,此时fx=|x2-2x+4|在[-11]上的最大值为f-1=|-12-2×-1+4|=7≠|12-4|,
④错误.综上所述,正确命题的序号为
③.16.已知定义在R上的函数fx满足fx+f-x=x2,且对任意的x1,x2∈[0,+∞均有>x1≠x2.若f4m-2-f2m-6m2+8m-2>0,求实数m的取值范围.解 设gx=fx-,因为gx+g-x=fx-+f-x-=0,故gx为奇函数.又==->0,故gx在R上单调递增,g4m-2-g2m=f4m-2-f2m-[4m-22-2m2]=f4m-2-f2m-6m2+8m-2>0,所以g4m-2>g2m,所以4m-2>2m,解得m>
1.最新考纲考情考向分析
1.理解并会判断函数的奇偶性.
2.了解函数的周期性、最小正周期的含义.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主,常与函数的单调性、周期性交汇命题,加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识,题型以选择、填空题为主,中等偏上难度.奇偶性定义图象特点偶函数一般地,如果对于函数fx的定义域内任意一个x,都有f-x=fx,那么函数fx就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地,如果对于函数fx的定义域内任意一个x,都有f-x=-fx,那么函数fx就叫做奇函数关于原点对称。