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§
3.6 对数与对数函数1.对数的概念一般地,如果ax=Na0,且a≠1,那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2.对数的性质与运算法则1对数的运算法则如果a0,且a≠1,M0,N0,那么
①logaMN=logaM+logaN;
②loga=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaMn∈R.2对数的性质
①=N;
②logaaN=Na0,且a≠1.3对数的换底公式logab=a0,且a≠1;c0,且c≠1;b0.3.对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y=axa0且a≠1与对数函数y=logaxa0且a≠1互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.概念方法微思考1.根据对数换底公式
①说出logab,logba的关系?
②化简.提示
①logab·logba=1;
②=logab.2.如图给出4个对数函数的图象.比较a,b,c,d与1的大小关系.提示 0cd1ab.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1若MN0,则logaMN=logaM+logaN. × 2logax·logay=logax+y. × 3函数y=log2x及y=3x都是对数函数. × 4对数函数y=logaxa0且a≠1在0,+∞上是增函数. × 5函数y=ln与y=ln1+x-ln1-x的定义域相同. √ 6对数函数y=logaxa0且a≠1的图象过定点10且过点a1,,函数图象只在第
一、四象限. √ 题组二 教材改编2.[P74T3]lg-+lg7=.答案 解析 原式=lg4+lg2-lg7-lg8+lg7+lg5=2lg2+lg2+lg5-2lg2=.3.[P82A组T6]已知a=,b=log2,c=,则a,b,c的大小关系为.答案 cab解析 ∵0a1,b0,c==log
231.∴cab.4.[P74A组T7]函数y=的定义域是.答案 解析 由2x-1≥0,得02x-1≤
1.∴x≤
1.∴函数y=的定义域是.题组三 易错自纠5.已知b0,log5b=a,lgb=c5d=10,则下列等式一定成立的是 A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c答案 B
6.已知函数y=logax+ca,c为常数,其中a0,a≠1的图象如图,则下列结论成立的是 A.a1,c1B.a10c1C.0a1,c1D.0a10c1答案 D解析 由该函数的图象通过第
一、
二、四象限知该函数为减函数,∴0a1,∵图象与x轴的交点在区间01之间,∴该函数的图象是由函数y=logax的图象向左平移不到1个单位后得到的,∴0c
1.7.若函数fx=logax0<a<1在[a2a]上的最大值是最小值的3倍,则a的值为.答案 解析 因为0<a<1,所以fx在[a2a]上是减函数.所以fxmax=fa=logaa=1,fxmin=f2a=loga2a=1+loga2,由条件得1=31+loga2,解得a-2=8,所以a=.题型一 对数的运算1.2018·湖州中学期中设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么 A.=+B.=+C.=+D.=+答案 B解析 设3a=4b=6c=k,所以a=log3k,b=log4k,c=log6k,变形为=logk3,=logk4,=logk6,所以=logk36,+=logk36,故=+.2.2013·浙江已知x,y为正实数,则 A.2lgx+lgy=2lgx+2lgyB.2lgx+y=2lgx·2lgyC.2lgx·lgy=2lgx+2lgyD.2lgxy=2lgx·2lgy答案 D解析 2lgx·2lgy=2lgx+lgy=2lgxy.故选D.3.计算=.答案 1解析 原式======
1.4.设函数fx=3x+9x,则flog32=.答案 6解析 ∵函数fx=3x+9x,∴思维升华对数运算的一般思路1拆首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并.2合将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.题型二 对数函数的图象及应用例11若函数y=logaxa0且a≠1的图象如图所示,则下列函数图象正确的是 答案 B解析 由题意y=logaxa0且a≠1的图象过31点,可解得a=
3.选项A中,y=3-x=x,显然图象错误;选项B中,y=x3,由幂函数图象性质可知正确;选项C中,y=-x3=-x3,显然与所画图象不符;选项D中,y=log3-x的图象与y=log3x的图象关于y轴对称,显然不符,故选B.2当0x≤时,4xlogax,则a的取值范围是 A.B.C.1,D.,2答案 B解析 构造函数fx=4x和gx=logax,当a1时不满足条件,当0a1时,画出两个函数在上的图象,可知fg,即2loga,则a,所以a的取值范围为.引申探究若本例2变为方程4x=logax在上有解,则实数a的取值范围为.答案 解析 若方程4x=logax在上有解,则函数y=4x和函数y=logax在上有交点,由图象知解得0a≤.思维升华1对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性单调区间、值域最值、零点时,常利用数形结合思想求解.2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.跟踪训练112018·浙江台州三区三校适应性考试若loga2<logb2<0,则下列结论正确的是 A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1答案 B解析 方法一 由loga2<logb2<0,得<<0,∴log2b<log2a<0=log
21.又函数y=log2x是增函数,所以0<b<a<1,故选B.方法二 由对数函数的性质可知,0<a<10<b<1,排除C,D.取a=,b=,则loga2=2=-1,logb2=2=-,满足loga2<logb2<
0.故b<a,故选B.2已知函数fx=且关于x的方程fx+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是.答案 1,+∞解析 如图,在同一坐标系中分别作出y=fx与y=-x+a的图象,其中a表示直线在y轴上的截距.由图可知,当a1时,直线y=-x+a与y=log2x只有一个交点.题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例2设a=log412,b=log515,c=log618,则 A.abcB.bcaC.acbD.cba答案 A解析 a=1+log43,b=1+log53,c=1+log63,∵log43log53log63,∴abc.命题点2 解对数方程、不等式例31方程log2x-1=2-log2x+1的解为.答案 x=解析 原方程变形为log2x-1+log2x+1=log2x2-1=2,即x2-1=4,解得x=±,又x1,所以x=.2已知不等式logx2x2+1logx3x0成立,则实数x的取值范围是.答案 解析 原不等式⇔
①或
②解不等式组
①得x,不等式组
②无解.所以实数x的取值范围为.命题点3 对数函数性质的综合应用例41若函数fx=log2x2-ax-3a在区间-∞,-2]上是减函数,则实数a的取值范围是 A.-∞,4B.-44]C.-∞,-4∪[-2,+∞D.[-44答案 D解析 由题意得x2-ax-3a0在区间-∞,-2]上恒成立且函数y=x2-ax-3a在-∞,-2]上单调递减,则≥-2且-22--2a-3a0,解得实数a的取值范围是[-44,故选D.2函数fx=log2·log2x的最小值为.答案 -解析 依题意得fx=log2x·2+2log2x=log2x2+log2x=2-≥-,当log2x=-,即x=时等号成立,所以函数fx的最小值为-.思维升华利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.跟踪训练21设a=log32,b=log52,c=log23,则 A.acbB.bcaC.cbaD.cab答案 D解析 a=log32log33=1,b=log52log55=
1.又c=log23log22=1,所以c最大.由1log23log25,得,即ab,所以cab.2若fx=lgx2-2ax+1+a在区间-∞,1]上单调递减,则a的取值范围为.答案 [12解析 令函数gx=x2-2ax+1+a=x-a2+1+a-a2,对称轴为x=a,要使函数在-∞,1]上单调递减,则有即解得1≤a2,即a∈[12.3已知函数fx=loga8-axa0,且a≠1,若fx1在区间
[12]上恒成立,则实数a的取值范围是.答案 解析 当a1时,fx=loga8-ax在
[12]上是减函数,由fx1在区间
[12]上恒成立,则fxmin=f2=loga8-2a1,且8-2a0,解得1a.当0a1时,fx在
[12]上是增函数,由fx1在区间
[12]上恒成立,则fxmin=f1=loga8-a1,且8-2a
0.∴a4,且a4,故不存在.综上可知,实数a的取值范围是.比较指数式、对数式的大小比较大小问题是每年高考的必考内容之一.1比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量;有时也可用数形结合的方法.2解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,若指数相同而底数不同,则构造幂函数,若底数相同而指数不同,则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或
1.例1设a=
0.
50.5,b=
0.
30.5,c=log
0.
30.2,则a,b,c的大小关系是 A.cbaB.abcC.bacD.acb2设a=
60.4,b=log
0.
40.5,c=log
80.4,则a,b,c的大小关系是 A.abcB.cbaC.cabD.bca32018·浙大附中模拟若实数a,b,c满足loga2logb2logc2,则下列关系中不可能成立的是 A.abcB.bacC.cbaD.acb42018·全国Ⅲ设a=log
0.
20.3,b=log
20.3,则 A.a+bab0B.aba+b0C.a+b0abD.ab0a+b答案 1C 2B 3A 4B解析 1根据幂函数y=x
0.5的单调性,可得
0.
30.
50.
50.
510.5=1,即ba1;根据对数函数y=log
0.3x的单调性,可得log
0.
30.2log
0.
30.3=1,即c
1.所以bac.2∵a=
60.41,b=log
0.
40.5∈01,c=log
80.40,∴abc.故选B.3由loga2logb2logc2的大小关系,可知a,b,c有四种可能
①1cba;
②0a1cb;
③0ba1c;
④0cba
1.对照选项可知A中关系不可能成立.4∵a=log
0.
20.3log
0.21=0,b=log
20.3log21=0,∴ab
0.∵=+=log
0.
30.2+log
0.32=log
0.
30.4,∴1=log
0.
30.3log
0.
30.4log
0.31=0,∴01,∴aba+b
0.1.log29·log34等于 A.B.C.2D.4答案 D解析 方法一 原式=·==
4.方法二 原式=2log23·=2×2=
4.2.2018·杭州教学质检设函数fx=|lnx|e为自然对数的底数,满足fa=fba≠b,则 A.ab=eeB.ab=eC.ab=D.ab=1答案 D解析 ∵|lna|=|lnb|且a≠b,∴lna=-lnb,∴ab=
1.3.2019·丽水模拟下列不等式正确的是 A.log
30.2<
0.23<
30.2B.log
30.2<
30.2<
0.23C.
0.23<log
30.2<
30.2D.
30.2<log
30.2<
0.23答案 A解析 因为log
30.2<00<
0.23<
130.2>1,所以log
30.2<
0.23<
30.2,故选A.4.2018·浙江名校协作体联考若a>b>10<c<1,则 A.ac<bcB.abc<bacC.alogbc<blogacD.logac<logbc答案 C解析 因为a>b>10<c<1,所以cb>ca,则blogac=logacb>logbcb>logbca=alogbc,故选C.5.若m+2n=20m,n>0,则lgm·lgn+lg2的最大值是 A.1B.C.D.2答案 A解析 lgm·lgn+lg2=lgm·lg2n≤2=,又因为m+2n=20≥2,所以mn≤50,从而lgm·lgn+lg2≤1,当且仅当m=10,n=5时,等号成立,故选A.6.2018·浙江部分重点中学调研已知函数fx=+x+4,若对任意的x∈,fx≤6恒成立,则实数a的最大值为 A.-1B.1C.-2D.2答案 A解析 令t=x,因为x∈,所以t∈02],则问题可转化为对任意的t∈02],t2+at+4≤6恒成立,即a≤=-t对任意的t∈02]恒成立.因为y=-t在t∈02]上单调递减,所以ymin=1-2=-1,所以a≤-1,即实数a的最大值为-
1.故选A.7.2018·浙江绍兴一中模拟设函数fx=则f=,方程ffx=1的解集为.答案 {1,ee}解析 由于f=ln,则f=f==.由ffx=1可得fx=0或fx=e,又当x≤0时,fx=ex∈01];当x>0时,由fx=0可得lnx=0,解得x=1;由fx=e可得lnx=e,解得x=ee,故对应方程的解集为{1,ee}.8.2018·杭州第二中学仿真考试已知m=,n=4x,则log4m=;满足lognm>1的实数x的取值范围是.答案 - 解析 由于m=,则log4m=log2m==×=-;由于<1,由lognm>1可得m<n<1,则<22x<1,则-<2x<0,解得-<x<
0.9.2018·宁波期末若实数a>b>1,且logab+logba=,则logab=;=.答案 1解析 令logab=t,由于a>b>1,则t∈01,logab+logba=即为t+=,解得t=t=2舍去,则logab=,=b,a=b2,=
1.10.2019·浙江名校协作体联考已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则xy的最大值是.答案 解析 由题意得lg2x+lg8y=lg2x×23y=lg2x+3y=lg2x>0,y>0,所以x+3y=1,则xy=x×3y≤2=,当且仅当x=3y=时,等号成立,所以xy的最大值为.11.已知函数fx=ax2+3x+a+1.1当a=0时,求函数fx的定义域、值域及单调区间;2对于x∈
[12],不等式fx-3x≥2恒成立,求正实数a的取值范围.解 1当a=0时,y=3x+1,函数定义域为,值域为R,递减区间为,无递增区间.2原命题可化为x∈
[12],ax2+a≥1恒成立,即a≥在x∈
[12]上恒成立,即a≥max,x∈
[12],y=在x∈
[12]上单调递减,当x=1时,ymax=.因此a≥.12.2018·浙江名校协作体联考已知奇函数fx=logaa>0且a≠1.1求b的值,并求出fx的定义域;2若存在区间[m,n],使得当x∈[m,n]时,fx的取值范围为[loga6m,loga6n],求a的取值范围.解 1由已知fx+f-x=0,得b=±1,当b=-1时,fx=loga=loga-1,舍去,当b=1时,fx=loga,定义域为.故fx的定义域为.2当0<a<1时,fx=loga=loga在上单调递减.故有而y==在上单调递增,所以<,又6m<6n与矛盾,故a>1,所以故方程=6x在上有两个不等实根,即6ax2+a-6x+1=0在上有两个不等实根.设gx=6ax2+a-6x+1a>1,则化简得解得a<18-12,故1<a<18-
12.13.2018·浙江三市联考下列命题正确的是 A.若lna-lnb=a-3b,则a<b0B.若lna-lnb=a-3b,则0abC.若lna-lnb=3b-a,则0baD.若lna-lnb=3b-a,则ba0答案 C解析 显然有a0,b0,可排除A,D;设=t,则a=bt,若lna-lnb=a-3b,则有lnt=bt-3b,b=,由b=>0,得0t1或t3,不能确定ab,排除B;同理若lna-lnb=3b-a,则lnt=3b-bt,b=01t3,即1,ab,C正确,故选C.14.定义区间[x1,x2]x1<x2的长度等于x2-x
1.函数y=|logax|a>1的定义域为[m,n]m<n,值域为
[01].若区间[m,n]的长度的最小值为,则实数a的值为.答案 4解析 作出函数y=|logax|的图象图略,要使定义域区间[m,n]的长度最小,则[m,n]=或[m,n]=[1,a].若1-=,则a=4,此时a-1=3,符合题意.若a-1=,则a=,此时1-=<,不符合题意,所以a=
4.15.2018·浙江杭州二中月考若函数y=lg的图象关于点M对称,则点M的坐标是 A.B.C.D.答案 D解析 设Mm0,点Px,y是函数y=lg的图象上任意一点,则点Px,y关于点Mm0的对称点Q2m-x,-y也是函数y=lg的图象上一点.从而有y=lg,且-y=lg,所以lg=-lg,即lg=lg=lg恒成立,从而有=,所以m=-,故选D.16.2018·浙江镇海中学模拟函数fx=若a,b,c,d互不相同,且fa=fb=fc=fd,求abcd的取值范围.解 不妨设a<b<c<d,则a,b满足|log2a|=|log2b|,即-log2a=log2b,所以ab=1;c,d是二次方程x2-12x+34=k,k∈02在区间4,+∞上的两个不相等的根,则cd=34-k,所以cd∈3234.故abcd的取值范围是3234.最新考纲考情考向分析
1.理解对数的概念,掌握对数的运算,会用换底公式.
2.理解对数函数的概念,掌握对数函数的图象、性质及应用.
3.了解对数函数的变化特征.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性;以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质,题型一般为选择、填空题,中低档难度.y=logaxa10a1图象定义域10,+∞值域2R性质3过定点10,即x=1时,y=04当x1时,y0;当0x1时,y05当x1时,y0;当0x1时,y06在0,+∞上是增函数7在0,+∞上是减函数。