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3.7 函数的图象1.描点法作图方法步骤1确定函数的定义域;2化简函数的解析式;3讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值甚至变化趋势;4描点连线,画出函数的图象.2.图象变换1平移变换2对称变换
①y=fxy=-fx;
②y=fxy=f-x;
③y=fxy=-f-x;
④y=axa0且a≠1y=logaxa0且a≠1.3伸缩变换
①y=fxy=fax.
②y=fxy=afx.4翻折变换
①y=fxy=|fx|.
②y=fxy=f|x|.概念方法微思考1.函数fx的图象关于直线x=a对称,你能得到fx解析式满足什么条件?提示 fa+x=fa-x或fx=f2a-x.2.若函数y=fx和y=gx的图象关于点a,b对称,则fx,gx的关系是______________.提示 gx=2b-f2a-x题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1函数y=f1-x的图象,可由y=f-x的图象向左平移1个单位长度得到. × 2函数y=fx的图象关于y轴对称,即函数y=fx与y=f-x的图象关于y轴对称. × 3当x∈0,+∞时,函数y=|fx|与y=f|x|的图象相同. × 4函数y=afx与y=faxa0且a≠1的图象相同. × 5函数y=fx与y=-fx的图象关于原点对称. × 6若函数y=fx满足f1+x=f1-x,则函数fx的图象关于直线x=1对称. √ 题组二 教材改编2.[P35例53]函数fx=x+的图象关于 A.y轴对称B.x轴对称C.原点对称D.直线y=x对称答案 C解析 函数fx的定义域为-∞,0∪0,+∞且f-x=-fx,即函数fx为奇函数,故选C.3.[P23T2]小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是 答案 C解析 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.4.[P75A组T10]如图,函数fx的图象为折线ACB,则不等式fx≥log2x+1的解集是__________.答案 -11]解析 在同一坐标系内作出y=fx和y=log2x+1的图象如图.由图象知不等式的解集是-11].题组三 易错自纠5.下列图象是函数y=的图象的是 答案 C6.将函数y=f-x的图象向右平移1个单位长度得到函数__________的图象.答案 y=f-x+1解析 图象向右平移1个单位长度,是将f-x中的x变成x-
1.7.设fx=|lgx-1|,若0ab且fa=fb,则ab的取值范围是________.答案 4,+∞解析 画出函数fx=|lgx-1|的图象如图所示.由fa=fb可得-lga-1=lgb-1,解得ab=a+b2由于ab,故取不到等号,所以ab
4.题型一 作函数的图象作出下列函数的图象1y=|x|;2y=|log2x+1|;3y=;4y=x2-2|x|-
1.解 1作出y=x的图象,保留y=x的图象中x≥0的部分,再作出y=x的图象中x0的部分关于y轴的对称部分,即得y=|x|的图象,如图
①实线部分.2将函数y=log2x的图象向左平移1个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2x+1|的图象,如图
②实线部分.3∵y==2+,故函数图象可由y=的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图
③实线部分.4∵y=且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞上的图象,再根据对称性作出-∞,0上的图象,如图
④实线部分.思维升华图象变换法作函数的图象1熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+的函数.2若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.题型二 函数图象的辨识例112018·嘉兴模拟函数fx=x-x2的大致图象是 答案 D解析 在同一平面直角坐标系内画出函数y=x与函数y=x2的图象图略易得两函数图象有3个不同的交点,在y轴左侧有2个交点,分别为-416,-24,在y轴右侧且x∈01有1个交点,所以函数fx=x-x2有3个不同的零点,即函数fx=x-x2的图象与x轴有3个不同的交点,排除A,C;又因为f0=0-02=10,所以排除B,故选D.2已知定义在区间
[02]上的函数y=fx的图象如图所示,则y=-f2-x的图象为 答案 B解析 方法一 由y=fx的图象知,fx=当x∈
[02]时,2-x∈
[02],所以f2-x=故y=-f2-x=图象应为B.方法二 当x=0时,-f2-x=-f2=-1;当x=1时,-f2-x=-f1=-
1.观察各选项,可知应选B.思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手1从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.2从函数的单调性,判断图象的变化趋势.3从函数的奇偶性,判断图象的对称性.4从函数的周期性,判断图象的循环往复.5从函数的特征点,排除不合要求的图象.跟踪训练112018·浙江嘉兴一中测试已知函数fx=ln|x|,gx=-x2+3,则fx·gx的图象为 答案 C解析 由fx·gx为偶函数,排除A,D,当x=e时,fx·gx=-e2+30,排除B.2已知函数fx=lnexn,其中e为自然对数的底数,n∈Z,则下列图象中不可能为函数fx图象的是 答案 C解析 当n=0时,fx=1x≠0,故A正确;当n=-1时,fx=1-lnx,故B正确;当n=2时,fx=1+2ln|x|,fx为偶函数,且f1=1,故D正确;易知y=fx不可能为奇函数,所以不可能为C选项的图象,故选C.题型三 函数图象的应用命题点1 研究函数的性质例21设函数fx=x-a|x-a|+b,a,b∈R,则下列叙述中,正确的序号是
①对任意实数a,b,函数y=fx在R上是单调函数;
②对任意实数a,b,函数y=fx在R上都不是单调函数;
③对任意实数a,b,函数y=fx的图象都是中心对称图象;
④存在实数a,b,使得函数y=fx的图象不是中心对称图象.A.
①③B.
②③C.
①④D.
③④答案 A解析 函数y=x|x|为R上的奇函数且为增函数,函数fx=x-a|x-a|+b的图象是由函数y=x|x|的图象平移得到的,因此,其单调性和对称性不变,故
①③正确,故选A.2已知函数fx=|log3x|,实数m,n满足0mn,且fm=fn,若fx在[m2,n]上的最大值为2,则=________.答案 9解析 作出函数fx=|log3x|的图象,观察可知0m1n且mn=
1.若fx在[m2,n]上的最大值为2,从图象分析应有fm2=2,∴log3m2=-2,∴m2=.从而m=,n=3,故=
9.命题点2 解不等式例3 函数fx是定义在[-44]上的偶函数,其在
[04]上的图象如图所示,那么不等式0的解集为________________.答案 ∪解析 当x∈时,y=cosx
0.当x∈时,y=cosx
0.结合y=fx在x∈
[04]上的图象知,当1x时,
0.又函数y=为偶函数,所以在[-40]上,0的解集为,所以0的解集为∪.命题点3 求参数的取值范围例41已知函数fx=若关于x的方程fx=k有两个不等的实数根,则实数k的取值范围是________.答案 01]解析 作出函数y=fx与y=k的图象,如图所示,由图可知k∈01].2设函数fx=|x+a|,gx=x-1,对于任意的x∈R,不等式fx≥gx恒成立,则实数a的取值范围是__________.答案 [-1,+∞解析 如图作出函数fx=|x+a|与gx=x-1的图象,观察图象可知,当且仅当-a≤1,即a≥-1时,不等式fx≥gx恒成立,因此a的取值范围是[-1,+∞.思维升华1注意函数图象特征与性质的对应关系.2方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题.跟踪训练21已知函数y=fx的图象是圆x2+y2=2上的两段弧,如图所示,则不等式fxf-x-2x的解集是__________.答案 -10∪1,]解析 由图象可知,函数fx为奇函数,故原不等式可等价转化为fx-x.在同一直角坐标系中分别画出y=fx与y=-x的图象,由图象可知不等式的解集为-10∪1,].2已知函数fx=|x-2|+1,gx=kx.若方程fx=gx有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是__________.答案 解析 先作出函数fx=|x-2|+1的图象,如图所示,当直线gx=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线gx=kx过A点时斜率为,故当fx=gx有两个不相等的实根时,k的取值范围为.高考中的函数图象及应用问题高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别,函数图象的变换及函数图象的应用等,多以小题形式考查,难度不大,常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决.熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提.
一、函数的图象和解析式问题例11如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数fx,则y=fx的图象大致为 答案 B解析 当x∈时,fx=tanx+,图象不会是直线段,从而排除A,C;当x∈时,f=f=1+,f=
2.∵21+,∴ff=f,从而排除D,故选B.2已知函数fx的图象如图所示,则fx的解析式可以是 A.fx=B.fx=C.fx=-1D.fx=x-答案 A解析 由函数图象可知,函数fx为奇函数,应排除B,C.若函数为fx=x-,则x→+∞时,fx→+∞,排除D,故选A.32018·全国Ⅱ函数fx=的图象大致为 答案 B解析 ∵y=ex-e-x是奇函数,y=x2是偶函数,∴fx=是奇函数,图象关于原点对称,排除A选项.当x=1时,f1==e-0,排除D选项.又e2,∴,∴e-,排除C选项.故选B.
二、函数图象的变换问题例2已知定义在区间
[04]上的函数y=fx的图象如图所示,则y=-f2-x的图象为 答案 D解析 方法一 先作出函数y=fx的图象关于y轴的对称图象,得到y=f-x的图象;然后将y=f-x的图象向右平移2个单位,得到y=f2-x的图象;再作y=f2-x的图象关于x轴的对称图象,得到y=-f2-x的图象.故选D.方法二 先作出函数y=fx的图象关于原点的对称图象,得到y=-f-x的图象;然后将y=-f-x的图象向右平移2个单位,得到y=-f2-x的图象.故选D.方法三 当x=0时,y=-f2-0=-f2=-
4.故选D.
三、函数图象的应用例31已知函数fx=其中m
0.若存在实数b,使得关于x的方程fx=b有三个不同的根,则m的取值范围是____________.答案 3,+∞解析 在同一坐标系中,作y=fx与y=b的图象.当xm时,x2-2mx+4m=x-m2+4m-m2,所以要使方程fx=b有三个不同的根,则有4m-m2m,即m2-3m
0.又m0,解得m
3.2不等式3sin-x0的整数解的个数为________.答案 2解析 不等式3sin-x0,即3sinx.设fx=3sin,gx=x,在同一坐标系中分别作出函数fx与gx的图象,由图象可知,当x为整数3或7时,有fxgx,所以不等式3sin-x0的整数解的个数为
2.3已知函数fx=若实数a,b,c互不相等,且fa=fb=fc,则a+b+c的取值范围是__________.答案 22021解析 函数fx=的图象如图所示,不妨令abc,由正弦曲线的对称性可知a+b=1,而1c2020,所以2a+b+c
2021.1.2018·浙江函数y=2|x|sin2x的图象可能是 答案 D解析 由y=2|x|sin2x知函数的定义域为R,令fx=2|x|sin2x,则f-x=2|-x|sin-2x=-2|x|sin2x.∵fx=-f-x,∴fx为奇函数.∴fx的图象关于原点对称,故排除A,B.令fx=2|x|sin2x=0,解得x=k∈Z,∴当k=1时,x=,故排除C.故选D.
2.如图,不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB交AB于E,当l从左至右移动与线段AB有公共点时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是 答案 C解析 当l从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越快,过了D点后面积保持匀速增加,图象呈直线变化,过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢.故选C.3.已知函数fx=logax0a1,则函数y=f|x|+1的图象大致为 答案 A解析 方法一 先作出函数fx=logax0a1的图象图略,当x0时,y=f|x|+1=fx+1,其图象由函数fx的图象向左平移1个单位得到,又函数y=f|x|+1为偶函数,所以再将函数y=fx+1x0的图象关于y轴对称翻折到y轴左边,得到x0时的图象,故选A.方法二 ∵|x|+1≥10a1,∴f|x|+1=loga|x|+1≤0,故选A.
4.若函数fx=的图象如图所示,则f-3等于 A.-B.-C.-1D.-2答案 C解析 由图象可得-a+b=3,ln-1+a=0,得a=2,b=5,∴fx=故f-3=2×-3+5=-1,故选C.5.2018·宁波模拟已知函数fx的定义域为R,且fx=若方程fx=x+a有两个不同实根,则a的取值范围为 A.-∞,1B.-∞,1]C.01D.-∞,+∞答案 A解析 当x≤0时,fx=2-x-1,当0x≤1时,-1x-1≤0,fx=fx-1=2-x-1-
1.类推有fx=fx-1=22-x-1,x∈12],…,也就是说,x0的部分是将x∈-10]的部分周期性向右平移1个单位得到的,其部分图象如图所示.若方程fx=x+a有两个不同的实数根,则函数fx的图象与直线y=x+a有两个不同交点,故a1,即a的取值范围是-∞,1.
6.已知函数fx的图象如图所示,则fx的解析式可能是 A.fx=x2-2ln|x|B.fx=x2-ln|x|C.fx=|x|-2ln|x|D.fx=|x|-ln|x|答案 B解析 由图象知,函数fx是偶函数,四个选项都是偶函数,故只需考虑x0时的图象即可.对于选项A,当x0时,fx=x2-2lnx,所以f′x=2x-=,所以fx在x=1处取得极小值,故A错误;对于选项B,当x0时,fx=x2-lnx,所以f′x=2x-=,所以fx在x=处取得极小值,故B正确.对于选项C,当x0时,fx=x-2lnx,所以f′x=1-=,所以fx在x=2处取得极小值,故C错误.对于选项D,当x0时,fx=x-lnx,所以f′x=1-=,所以fx在x=1处取得极小值,故D错误,故选B.7.函数fx=则f-1=________,若方程fx=m有两个不同的实数根,则m的取值范围为________.答案 2- 02解析 f-1==2-.作出函数fx的图象,如图,当x0时,fx=2-ex∈12,∴当x≤1时,fx∈[02,当x≥1时,fx≥0,若方程fx=m有两个不同的实数根,则0m2,即实数m的取值范围是02.8.设函数y=fx+1是定义在-∞,0∪0,+∞上的偶函数,在区间-∞,0上是减函数,且图象过点10,则不等式x-1fx≤0的解集为______________.答案 {x|x≤0或1x≤2}解析 画出fx的大致图象如图所示.不等式x-1fx≤0可化为或由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1x≤2}.9.2018·杭州模拟给定min{a,b}=已知函数fx=min{x,x2-4x+4}+4,若动直线y=m与函数y=fx的图象有3个交点,则实数m的取值范围为__________.答案 45解析 作出函数fx的图象,函数fx=min{x,x2-4x+4}+4的图象如图所示,由于直线y=m与函数y=fx的图象有3个交点,数形结合可得m的取值范围为45.10.已知定义在R上的函数fx=关于x的方程fx=cc为常数恰有三个不同的实数根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=________.答案 0解析 方程fx=c有三个不同的实数根等价于y=fx与y=c的图象有三个交点,画出函数fx的图象图略,易知c=1,且方程fx=c的一根为0,令lg|x|=1,解得x=-10或10,故方程fx=c的另两根为-10和10,所以x1+x2+x3=
0.11.函数y=ln|x-1|的图象与函数y=-2cosπx-2≤x≤4的图象所有交点的横坐标之和等于________.答案 6解析 作出函数y=ln|x-1|的图象,又y=-2cosπx的最小正周期为T=2,如图所示,两图象都关于直线x=1对称,且共有6个交点,由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为
6.12.已知函数fx=2x,x∈R.1当实数m取何值时,方程|fx-2|=m有一个解?两个解?2若不等式[fx]2+fx-m0在R上恒成立,求实数m的取值范围.解 1令Fx=|fx-2|=|2x-2|,Gx=m,画出Fx的图象如图所示,由图象看出,当m=0或m≥2时,函数Fx与Gx的图象只有一个交点,即原方程有一个实数解;当0m2时,函数Fx与Gx的图象有两个交点,即原方程有两个实数解.2令fx=tt0,Ht=t2+t,因为Ht=2-在区间0,+∞上是增函数,所以HtH0=
0.因此要使t2+tm在区间0,+∞上恒成立,应有m≤0,即所求m的取值范围为-∞,0].13.已知函数fx=则对任意x1,x2∈R,若0|x1||x2|,下列不等式成立的是 A.fx1+fx20B.fx1+fx20C.fx1-fx20D.fx1-fx20答案 D解析 函数fx的图象如图实线部分所示,且f-x=fx,从而函数fx是偶函数且在[0,+∞上是增函数,又0|x1||x2|,∴fx2fx1,即fx1-fx
20.14.已知函数fx=,gx=1+,若fxgx,则实数x的取值范围是___________.答案 ∪解析 fx=gx=作出两函数的图象如图所示.当0≤x1时,由-1+=x+1,解得x=;当x1时,由1+=x+1,解得x=.结合图象可知,满足fxgx的x的取值范围是∪.15.已知函数fx=若在该函数的定义域
[06]上存在互异的3个数x1,x2,x3,使得===k,则实数k的取值范围是__________.答案 解析 由题意知,直线y=kx与函数y=fxx∈
[06]的图象至少有3个公共点.函数y=fx的图象如图所示,由图知k的取值范围是.16.已知函数fx=gx=|x-k|+|x-2|,若对任意的x1,x2∈R,都有fx1≤gx2成立,求实数k的取值范围.解 对任意的x1,x2∈R,都有fx1≤gx2成立,即fxmax≤gxmin.观察fx=的图象可知,当x=时,函数fxmax=.因为gx=|x-k|+|x-2|≥|x-k-x-2|=|k-2|,所以gxmin=|k-2|,所以|k-2|≥,解得k≤或k≥.故实数k的取值范围是∪.最新考纲考情考向分析
1.了解函数的三种表示法解析法、图象法和列表法.
2.掌握指数函数,对数函数及五种幂函数的图象和性质.函数图象的辨析;函数图象和函数性质的综合应用;利用图象解方程或不等式,题型以选择题为主,中档难度.。