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第三节函数的奇偶性与周期性
一、基础知识批注——理解深一点1．函数的奇偶性❶偶函数奇函数定义如果对于函数fx的定义域内任意一个x都有f－x＝fx❷，那么函数fx是偶函数都有f－x＝－fx❷，那么函数fx是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称❶函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．❷若fx≠0，则奇偶函数定义的等价形式如下1f－x＝fx⇔f－x－fx＝0⇔＝1⇔fx为偶函数；2f－x＝－fx⇔f－x＋fx＝0⇔＝－1⇔fx为奇函数．2．函数的周期性1周期函数对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有fx＋T＝fx，那么就称函数fx为周期函数，称T为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T，使fx＋T＝fx为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．2最小正周期如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期．
二、常用结论汇总——规律多一点1．函数奇偶性常用结论1如果函数fx是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f0＝0；如果函数fx是偶函数，那么fx＝f|x|．2奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．3在公共定义域内有奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对fx定义域内任一自变量x1若fx＋a＝－fx，则T＝2aa0．2若fx＋a＝，则T＝2aa0．3若fx＋a＝－，则T＝2aa0．3．函数图象的对称性1若函数y＝fx＋a是偶函数，即fa－x＝fa＋x，则函数y＝fx的图象关于直线x＝a对称．2若对于R上的任意x都有f2a－x＝fx或f－x＝f2a＋x，则y＝fx的图象关于直线x＝a对称．3若函数y＝fx＋b是奇函数，即f－x＋b＋fx＋b＝0，则函数y＝fx关于点b0中心对称．
三、基础小题强化——功底牢一点1函数y＝x2，x∈0，＋∞是偶函数． 2偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点． 3如果函数fx，gx为定义域相同的偶函数，则Fx＝fx＋gx是偶函数． 4若函数y＝fx＋a是偶函数，则函数y＝fx关于直线x＝a对称． 5若T是函数的一个周期，则nTn∈Z，n≠0也是函数的周期． 答案1× 2× 3√ 4√ 5√二选一选1．已知fx满足fx＋2＝fx，当x∈
[01]时，fx＝2x，则f等于 A. B.C.D．1解析选B 由fx＋2＝fx，知函数fx的周期T＝2，则f＝f＝2＝.2．函数fx＝－2x的图象关于 A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称解析选C 因为fx的定义域为－∞，0∪0，＋∞，f－x＝－－2x＝－＋2x＝－＝－fx，所以fx＝－2x是奇函数，所以其图象关于坐标原点对称．3．已知fx＝ax2＋bx是定义在[a－12a]上的偶函数，那么a＋b的值是 A．－B.C.D．－解析选B ∵fx＝ax2＋bx是定义在[a－12a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f－x＝fx，∴b＝0，∴a＋b＝.三填一填4．2019·武汉调研已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x∈－∞，0时，fx＝2－x＋x2，则f2＝________.解析法一∵函数fx是定义在R上的奇函数，∴f2＝－f－2＝－[2－－2＋－22]＝－4＋4＝－
8.法二当x0时，－x0，∴f－x＝2－－x＋－x2＝2x＋x2，又函数fx是定义在R上的奇函数，∴当x0时，fx＝－f－x＝－2x－x2，∴f2＝－22－22＝－
8.答案－
85.设奇函数fx的定义域为[－55]，当x∈
[05]时，fx的图象如图所示，则不等式fx0的解集为________．解析由函数fx为奇函数，作出函数在[－50上的图象，由图象知，不等式fx0的解集为－20∪25]．答案－20∪25][典例] 判断下列函数的奇偶性1fx＝；2fx＝＋；3fx＝；4fx＝[解] 1由fx＝，可知⇒故函数fx的定义域为－60∪06]，定义域不关于原点对称，故fx为非奇非偶函数．2由⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数fx的定义域为{－11}，关于原点对称，且fx＝0，所以f－x＝fx＝－fx，所以函数fx既是奇函数又是偶函数．3由⇒－1x0或0x1，定义域关于原点对称．此时fx＝＝＝－，故有f－x＝－＝＝－fx，所以函数fx为奇函数．4法一图象法画出函数fx＝的图象如图所示，图象关于y轴对称，故fx为偶函数．法二定义法易知函数fx的定义域为－∞，0∪0，＋∞，关于原点对称，当x0时，fx＝x2－x，则当x0时，－x0，故f－x＝x2＋x＝fx；当x0时，fx＝x2＋x，则当x0时，－x0，故f－x＝x2－x＝fx，故原函数是偶函数．法三fx还可以写成fx＝x2－|x|x≠0，故fx为偶函数．[解题技法]判定函数奇偶性的2种常用方法1定义法2图象法[口诀归纳]奇函数，有中心；偶函数，轴对称．[题组训练]1．2018·福建期末下列函数为偶函数的是 A．y＝tan B．y＝x2＋e|x|C．y＝xcosxD．y＝ln|x|－sinx解析选B 对于选项A，易知y＝tan为非奇非偶函数；对于选项B，设fx＝x2＋e|x|，则f－x＝－x2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝fx，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设fx＝xcosx，则f－x＝－xcos－x＝－xcosx＝－fx，所以y＝xcosx为奇函数；对于选项D，设fx＝ln|x|－sinx，则f2＝ln2－sin2，f－2＝ln2－sin－2＝ln2＋sin2≠f2，所以y＝ln|x|－sinx为非奇非偶函数，故选B.2．设函数fx＝，则下列结论错误的是 A．|fx|是偶函数B．－fx是奇函数C．fx|fx|是奇函数D．f|x|fx是偶函数解析选D ∵fx＝，则f－x＝＝－fx．∴fx是奇函数．∵f|－x|＝f|x|，∴f|x|是偶函数，∴f|x|fx是奇函数．[典例] 12019·福建三明模拟函数y＝fx是R上的奇函数，当x0时，fx＝2x，则当x0时，fx＝ A．－2x B．2－xC．－2－xD．2x22018·贵阳摸底考试已知函数fx＝a－a∈R是奇函数，则函数fx的值域为 A．－11B．－22C．－33D．－44[解析] 1当x0时，－x0，∵x0时，fx＝2x，∴当x0时，f－x＝2－x.∵fx是R上的奇函数，∴当x0时，fx＝－f－x＝－2－x.2法一由fx是奇函数知f－x＝－fx，所以a－＝－a＋，得2a＝＋，所以a＝＋＝1，所以fx＝1－.因为ex＋11，所以01，－11－1，所以函数fx的值域为－11．法二函数fx的定义域为R，且函数fx是奇函数，所以f0＝a－1＝0，即a＝1，所以fx＝1－.因为ex＋11，所以01，－11－1，所以函数fx的值域为－11．[答案] 1C 2A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法1求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．2求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于fx的方程组，从而得到fx的解析式．3求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据fx±f－x＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程组，进而得出参数的值．4画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．2019·贵阳检测若函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx＝log2x＋2－1，则f－6＝ A．2B．4C．－2D．－4解析选C 根据题意得f－6＝－f6＝1－log26＋2＝1－3＝－
2.2．已知函数fx为奇函数，当x0时，fx＝x2－x，则当x0时，函数fx的最大值为________．解析法一当x0时，－x0，所以f－x＝x2＋x.又因为函数fx为奇函数，所以fx＝－f－x＝－x2－x＝－2＋，所以当x0时，函数fx的最大值为.法二当x0时，fx＝x2－x＝2－，最小值为－，因为函数fx为奇函数，所以当x0时，函数fx的最大值为.答案3．2018·合肥八中模拟若函数fx＝xlnx＋为偶函数，则a＝________.解析∵fx＝xlnx＋为偶函数，∴f－x＝fx，即－xln－x＝xlnx＋，从而ln[2－x2]＝0，即lna＝0，故a＝
1.答案1[典例] 12018·开封期末已知定义在R上的函数fx满足fx＝－fx＋2，当x∈02]时，fx＝2x＋log2x，则f2019＝ A．5 B.C．2D．－222018·江苏高考函数fx满足fx＋4＝fxx∈R，且在区间－22]上，fx＝则ff15的值为________．[解析] 1由fx＝－fx＋2，得fx＋4＝fx，所以函数fx是周期为4的周期函数，所以f2019＝f504×4＋3＝f3＝f1＋2＝－f1＝－2＋0＝－
2.2由函数fx满足fx＋4＝fxx∈R，可知函数fx的周期是4，所以f15＝f－1＝＝，所以ff15＝f＝cos＝.[答案] 1D 2[解题技法] 函数周期性的判定与应用判定判断函数的周期只需证明fx＋T＝fxT≠0便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论若T是函数的周期，则kTk∈Z且k≠0也是函数的周期[口诀归纳]函数周期三类型一类直接定义求；二类图象题中有，图象重复是破口；三类图见两对称，隐藏周期别疏忽.[题组训练]1．2019·山西八校联考已知fx是定义在R上的函数，且满足fx＋2＝－，当2≤x≤3时，fx＝x，则f＝________.解析∵fx＋2＝－，∴fx＋4＝fx，∴f＝f，又2≤x≤3时，fx＝x，∴f＝，∴f＝.答案2．2019·哈尔滨六中期中设fx是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－21时，fx＝则f＝________.解析由题意可得f＝f＝f＝4×2－2＝，f＝.答案A级——保大分专练1．下列函数为奇函数的是 A．fx＝x3＋1 B．fx＝lnC．fx＝exD．fx＝xsinx解析选B 对于A，f－x＝－x3＋1≠－fx，所以其不是奇函数；对于B，f－x＝ln＝－ln＝－fx，所以其是奇函数；对于C，f－x＝e－x≠－fx，所以其不是奇函数；对于D，f－x＝－xsin－x＝xsinx＝fx，所以其不是奇函数．故选B.2．2019·南昌联考函数fx＝的图象 A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称解析选B 因为fx＝＝3x＋3－x，易知fx为偶函数，所以函数fx的图象关于y轴对称．3．设函数fx是定义在R上的奇函数，且fx＝则f－7＝ A．3B．－3C．2D．－2解析选B 因为函数fx是定义在R上的奇函数，且fx＝所以f－7＝－f7＝－log27＋1＝－
3.4．若定义在R上的偶函数fx和奇函数gx满足fx＋gx＝ex，则gx＝ A．ex－e－xB.ex＋e－xC.e－x－exD.ex－e－x解析选D 因为fx＋gx＝ex，所以f－x＋g－x＝fx－gx＝e－x，所以gx＝ex－e－x．5．设fx是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，fx＝x2－x，则f＝ A．－B．－C.D.解析选C 因为fx是定义在R上周期为2的奇函数，所以f＝－f＝－f.又当0≤x≤1时，fx＝x2－x，所以f＝2－＝－，则f＝.6．2019·益阳、湘潭调研定义在R上的函数fx，满足fx＋5＝fx，当x∈－30]时，fx＝－x－1，当x∈02]时，fx＝log2x，则f1＋f2＋f3＋…＋f2019的值等于 A．403B．405C．806D．809解析选B 定义在R上的函数fx，满足fx＋5＝fx，即函数fx的周期为
5.又当x∈02]时，fx＝log2x，所以f1＝log21＝0，f2＝log22＝
1.当x∈－30]时，fx＝－x－1，所以f3＝f－2＝1，f4＝f－1＝0，f5＝f0＝－
1.故f1＋f2＋f3＋…＋f2019＝403×[f1＋f2＋f3＋f4＋f5]＋f2016＋f2017＋f2018＋f2019＝403×1＋f1＋f2＋f3＋f4＝403＋0＋1＋1＋0＝
405.7．已知函数fx是偶函数，当x＞0时，fx＝lnx，则f的值为________．解析由已知可得f＝ln＝－2，所以f＝f－2．又因为fx是偶函数，所以f＝f－2＝f2＝ln
2.答案ln28．2019·惠州调研已知函数fx＝x＋－1，fa＝2，则f－a＝________.解析法一因为fx＋1＝x＋，设gx＝fx＋1＝x＋，易判断gx＝x＋为奇函数，故gx＋g－x＝x＋－x－＝0，即fx＋1＋f－x＋1＝0，故fx＋f－x＝－
2.所以fa＋f－a＝－2，故f－a＝－
4.法二由已知得fa＝a＋－1＝2，即a＋＝3，所以f－a＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－
4.答案－49．2019·陕西一测若函数fx＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则函数gx＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．解析由函数fx的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2，则函数fx＝2x＋b，其定义域为[－22]，所以f0＝0，所以b＝0，所以gx＝，易知gx在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g－1，g－4]，即.答案10．设函数fx是定义在R上的奇函数，若当x∈0，＋∞时，fx＝lgx，则满足fx0的x的取值范围是____________．解析当x0时，lgx0，所以x1，当x0时，由奇函数的对称性得－1x0，故填－10∪1，＋∞．答案－10∪1，＋∞11．fx为R上的奇函数，当x0时，fx＝－2x2＋3x＋1，求fx的解析式．解当x0时，－x0，则f－x＝－2－x2＋3－x＋1＝－2x2－3x＋
1.由于fx是奇函数，故fx＝－f－x，所以当x0时，fx＝2x2＋3x－
1.因为fx为R上的奇函数，故f0＝
0.综上可得fx的解析式为fx＝12．设函数fx是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．1证明y＝fx是周期函数，并指出其周期；2若f1＝2，求f2＋f3的值．解1证明由f＝－f，且f－x＝－fx，知f3＋x＝f＝－f＝－f－x＝fx，所以y＝fx是周期函数，且T＝3是其一个周期．2因为fx为定义在R上的奇函数，所以f0＝0，且f－1＝－f1＝－2，又T＝3是y＝fx的一个周期，所以f2＋f3＝f－1＋f0＝－2＋0＝－
2.B级——创高分自选1．已知fx是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，fx＝x3－x，则函数y＝fx的图象在区间
[06]上与x轴的交点的个数为 A．6B．7C．8D．9解析选B 因为fx是最小正周期为2的周期函数，且0≤x2时，fx＝x3－x＝xx－1x＋1，所以当0≤x2时，fx＝0有两个根，即x1＝0，x2＝
1.由周期函数的性质知，当2≤x4时，fx＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，fx＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故fx的图象在区间
[06]上与x轴的交点个数为
7.2．2019·洛阳统考若函数fx＝lnex＋1＋ax为偶函数，则实数a＝________.解析法一定义法∵函数fx＝lnex＋1＋ax为偶函数，∴f－x＝fx，即lne－x＋1－ax＝lnex＋1＋ax，∴2ax＝lne－x＋1－lnex＋1＝ln＝ln＝－x，∴2a＝－1，解得a＝－.法二特殊值法由题意知函数fx的定义域为R，由fx为偶函数得f－1＝f1，∴lne－1＋1－a＝lne1＋1＋a，∴2a＝lne－1＋1－lne1＋1＝ln＝ln＝－1，∴a＝－.答案－3．已知函数fx＝是奇函数．1求实数m的值；2若函数fx在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解1设x0，则－x0，所以f－x＝－－x2＋2－x＝－x2－2x.又fx为奇函数，所以f－x＝－fx，于是x0时，fx＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝
2.2要使fx在[－1，a－2]上单调递增，结合fx的图象如图所示知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是13]．。
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