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2019版高二数学上学期期中试题理III
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.命题的否定是A.B.C.D.
2.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,每人一张,则事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是()A.对立事件B.必然事件C.不可能事件D.互斥但不对立事件
3.已知椭圆方程是,则焦距为()A.B.C.D.
4.设,则“”是“直线与直线平行”的()A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知等比数列的前项和为,若,则( )A.115B.116C.125D.
1266.将甲,乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图,若甲,乙两人成绩的中位数分别是x甲,x乙,下列说法正确的是( )A.x甲<x乙,乙比甲成绩稳定B.x甲>x乙;甲比乙成绩稳定C.x甲>x乙;乙比甲成绩稳定D.x甲<x乙;甲比乙成绩稳定
7.若数列满足那么这个数列的通项公式为A.B.C.D.
8.已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为2,则该双曲线的渐近线方程为( )A.B.C.D.
9.已知双曲线C的中心为坐标原点,是C的一个焦点,过F的直线与C相交于AB两点,且AB的中点为,则C的方程为( )A.B.C.D.
10.从装有3个白球、2个红球的袋中任取3个,则所取的3个球中至多有1个红球的概率是A.B.C.D.
11.在如图所示的程序框图中,若输出的值是3,则输入的取值范围是()A.B.C.D.12.已知椭圆的左焦点F-c0关于直线bx+cy=0的对称点P在椭圆上,则椭圆的离心率是()A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,满分20分)
13.已知双曲线()的离心率为2,则的值为.
14.在内随机取出两个数,则这两个数满足的概率为.
15.若数列的各项均为正数前项和为,则___.
16.已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.本题满分10分设命题实数满足,其中;命题实数满足.(Ⅰ)若,且为真,求实数的取值范围;(Ⅱ)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
18.本题满分12分已知等轴双曲线的顶点在x轴上,两顶点间的距离是4,右焦点为F.(Ⅰ)求双曲线的标准方程和渐近线方程;(Ⅱ)椭圆E的中心在原点O,右顶点与F点重合,上述双曲线中斜率大于0的渐近线交椭圆于A,B两点(A在第一象限),若AB⊥AF,试求椭圆E的离心率.
19.本题满分12分某保险公司有一款保险产品的历史收益率(收益率=利润÷保费收入)的频率分布直方图如图所示(Ⅰ)试估计平均收益率;(Ⅱ)根据经验,若每份保单的保费在20元的基础上每增加元,对应的销量(万份)与(元)有较强线性相关关系,从历史销售记录中抽样得到如下5组与的对应数据据此计算出的回归方程为.(i)求参数的值;(ii)若把回归方程当作与的线性关系,用(Ⅰ)中求出的平均收益率估计此产品的收益率,每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益,并求出该最大收益.
20.本题满分12分已知数列{}满足:(Ⅰ)若{}是递增数列,且成等差数列,求的值;(Ⅱ)若,且{}是递增数列,{}是递减数列,求数列{}的通项公式.
21.本题满分12分某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生,将其成绩(均为整数)分成六段后画出如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题(Ⅰ)求第四小组的频率,并补全频率分布直方图;(Ⅱ)估计这次考试的及格率;(60分及以上为及格)(Ⅲ)从成绩是~分及~分的学生中选两人,记他们的成绩为,求满足“”的概率.
22.本题满分12分已知椭圆Cn:+=nab0n∈N*F1F2是椭圆C4的焦点,A2是椭圆C4上一点且.(Ⅰ)求Cn的离心率并求出C1的方程;ⅡP为椭圆C2上任意一点,直线PF1交椭圆C4于点E、F,直线PF2交椭圆C4于点M、N设直线PF1的斜率为k1直线PF2的斜率为k
2.i求证;ii求|MN||EF|的取值范围.养正中学xx上学期高二年级数学学科期中考试题(理科数学)参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.C
2.D
3.A
4.B
5.D
6.A
7.D
8.C
9.B
10.C
11.A.12.B
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,满分20分)
13.
1415.
16.
三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.本题满分10分解(Ⅰ)由得,又,所以,当时,,即为真时实数的取值范围是.为真:等价于,得,即为真时实数的取值范围是.若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.(Ⅱ)是的充分不必要条件,即,且_______,等价于________设,,则;则,且所以实数的取值范围是.
18.本题满分12分解(Ⅰ)设双曲线的方程为=1(a>0),则2a=4,解得a=2,∴双曲线的方程为=1,渐近线方程为y=±x.(Ⅱ)设椭圆的标准方程为=1(a>b>0),由(Ⅰ)知F(2,0),于是a=2.设A(x0,y0),则x0=y0.
①∵AB⊥AF,且AB的斜率为1,∴AF的斜率为﹣1,故=﹣1.
②由
①②解得A(,).代入椭圆方程有=1,解得b2=,∴c2=a2﹣b2=8﹣=,得c=,∴椭圆E的离心率为e==.
19.本题满分12分解(Ⅰ)区间中值依次为
0.05,
0.15,
0.25,
0.35,
0.45,
0.55,取值概率依次为
0.1,
0.2,
0.25,
0.3,
0.1,
0.05,平均收益率为.(Ⅱ)(i)所以(ii)设每份保单的保费为元,则销量为,则保费收入为万元,当元时,保费收入最大为360万元,保险公司预计获利为万元.
20.本题满分12分1由.2{}是递增数列上式中两括号内必有点一个为正注意到故后者为正.;同理.两式合并为
21.本题满分12分解(Ⅰ)由频率分布直方图可知第小组的频率分别为,所以第4小组的频率为.∴在频率分布直方图中第4小组的对应的矩形的高为,对应图形如图所示(Ⅱ)∵考试的及格率即60分及以上的频率.∴及格率为(Ⅲ)设“成绩满足”为事件由频率分布直方图可求得成绩在分及分的学生人数分别为4人和2人,记在分数段的4人的成绩分别为,分数段的2人的成绩分别为,则从中选两人,其成绩组合的所有情况有共15种,且每种情况的出现均等可能若这2人成绩要满足“”,则要求一人选自分数段,另一个选自分数段,有如下情况,共8种,所以由古典概型概率公式有,即所取2人的成绩满足“”的概率是.
22.本题满分12分解(Ⅰ)解:1椭圆C4的方程为:+=4即:+=1不妨设c2=a2-b2则F22c0∵∴2c=2==∴c=12b2=a2b4=a2=b2+1∴2b4-b2-1=02b2+1b2-1=0∴b2=1a2=2∴椭圆Cn的方程为:+y2=n∴e2==∴e=椭圆C1的方程为:+y2=1………………6分Ⅱi椭圆C2的方程为:+y2=2即:+=1椭圆C4的方程为:+y2=4即:+=1∴F1-20F220设Px0y0∵P在椭圆C2上∴+=1即y02=4-x02∴k1k2=·===-………………8分ii设直线PF1的方程为y=k1x+2直线PF2的方程为y=k2x-2联立方程组消元整理得(2k12+1x2+8k1x+8k12-8=0…………
①设Ex1y1Fx2y2则x1x2是方程
①的两个解,由韦达定理得x1+x2=-x1x2=∴|EF|==同理|MN|=∴|EF||MN|==32×=32×=32×==16+=16+≤18∴|EF||MN|∈1618]………………………………………………………12分F1F2xyoEFMNP。