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文本内容:
1.4数学归纳法教学目标:
1、知识与技能1了解归纳法,理解数学归纳法的原理与实质,掌握数学归纳法证题的两个步骤2会证明简单的与正整数有关的命题
2、过程与方法努力创设课堂愉悦的情境,使学生处于积极思考,大胆质疑的氛围,提高学生学习兴趣和课堂效率,让学生经历知识的构建过程,体会类比的数学思想
3、情感态度价值观通过本节课的教学,使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点,激发学生学习热情,提高学生数学学习的兴趣,培养学生大胆猜想,小心求证的辩证思维素质,以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力教学重点、难点:教学重点借助具体实例了解数学归纳法的基本思想,掌握它的基本步骤,运用它证明一些简单的与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题教学难点:1学生不易理解数学归纳法的思想实质,具体表现在不了解第二个步骤的作用,不易根据归纳假设作出证明2运用数学归纳法时,在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系第1课时教学过程
一、课题引入
1、“多米诺骨牌”游戏动画演示
2、举例如自行车赛中1人倒了,后面全倒了;古时候的烽火台;过年,放鞭炮;祖辈姓王,子随父姓,子子孙孙皆姓王
3、分析条件,引导学生迁移、升华形成数学方法
①第一块骨牌倒下;
②任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下强调条件
②的作用是一种递推关系(第k块倒下,使第k+1块倒下)
二、探求新知提问问题1
(1)若骨牌有无数个,则满足了
(1)、
(2)后,能保证所有的骨牌都倒下吗?
(2)若将此骨牌问题抽象为证明数学问题p(n),该作何解释?经过启发诱导,得出数学归纳法及其证明题目的格式证明一个与正整数有关命题的关键步骤如下1证明当n=1有时n的第一个值为时结论正确;归纳奠基2假设当n=kk∈,k≥时结论正确证明当n=k+1时结论也正确.(归纳递推)完成这两个步骤后就可以断定命题对从开始的所有正整数n都正确.这种证明方法叫做数学归纳法.有1无2是有源无水;有2无1是有水无源提出问题2问题
(2)的处理启发学生借助于特殊化、归纳总结,得到猜想.如何进行证明呢?引导学生解决问题.
三、实例应用例
1、证明首项为,公差为的等差数列的前项和公式为.例
2、已知数列满足,猜想的通项公式并用数学归纳法证明解析由,得,,,归纳上述结果,可猜想下面用数学归纳法证明这个猜想1当时,,,结论成立;2假设时,命题成立,即成立那么,当时,,这就是说,当时等式成立根据1和2,可知对于任意正整数n都成立反思证明命题也成立时,要有目标意识,瞄准目标“拼凑”变形数列满足,,猜想的通项公式并证明(证明课后思考)
四、课堂练习
1、用数学归纳法证明“”,在验证时,左端计算所得的项为()A.1B.C.D.
2、用数学归纳法证明时,从n=k到n=k+1,左端需要增加的代数式为()A.B.C.D.解析B
3、若命题对n=k成立,则它对也成立,又已知命题成立,则下列结论正确的是()A.对所有自然数n都成立B.对所有正偶数n成立C.对所有正奇数n都成立D.对所有大于1的自然数n成立解析B
五、课堂小结
1、数学归纳法是一种利用有限证明无限的方法,它适用于与自然数有关的问题
2、用数学归纳法证明命题的一般步骤1°验证n=n0(n0为命题允许的最小正整数)时,命题成立2°假设n=k(k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题成立,由1°和2°对任意的n≥n0n∈N*命题成立两个步骤缺一不可,否则结论不能成立;
3、在证明递推步骤时,必须使用归纳假设,进行恒等变换。