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2019版高二数学上学期期末考试试题理
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求,每小题选出答案后,请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知在△ABC中,角A是三角形一内角,,则角A=()A.30°B.60°C.150°D.30°或150°2.抛物线的准线方程是,则a的值为()A.4B.8C.D.3.已知向量,分别是直线l
1、l2的方向向量,若l1∥l2,则()A.B.C.D.4.数列的前n项和为,满足,,则的值为()A.57B.58C.62D.635.短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为F
1、F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点,则的周长为()A.5B.6C.7D.86.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体,的中点E与AB的中点F的距离为()A.B.C.aD.7.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A.B.3C.5D.8.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M、N分别是棱DD
1、D1C1的中点,则直线OM()A.和AC、MN都垂直B.垂直于AC,但不垂直于MNC.垂直于MN,但不垂直于ACD.与AC、MN都不垂直9.已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为,若直线与椭圆交于点M,满足,则离心率是()A.B.C.D.10.抛物线的焦点为F,设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的两个动点,如满足,则∠AFB的最大值()A.B.C.D.11.如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,,则点A到平面MBC的距离为()A.B.C.D.12.已知A、B为椭圆E的左、右顶点,点P在E上,在△APB中,,则E的离心率为()A.B.C.D.
二、填空题(本大题共4小题,共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.)13.如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于10,那么点P到另一个焦点F2的距离是.14.若直线l的方向向量,平面的一个法向量,则直线l与平面所成角的正弦值等于.15.如图,60°的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为.16.已知椭圆的离心率,A、B是椭圆的左、右顶点,P是椭圆上不同于A、B的一点,直线PA、PB斜倾角分别为、,则=.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.)17.(本题满分为10分)已知数列的前n项和为,若.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前n项和.18.(本题满分为12分)如图在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,点M是线段A1D的中点,点N在线段C1D1上,且,∠A1AD=∠A1AB=60°,∠BAD=90°,AB=AD=AA1=1.
(1)求满足的实数x、y、z的值.
(2)求AC1的长.19.(本题满分为12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角B的大小.
(2)若,,求△ABC的面积.20.(本题满分为12分)已知抛物线与直线相交于A,B两点.
(1)求证OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.21.(本题满分为12分)如图,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AD∥BC,AB=2,,.椭圆F以A、B为焦点且过点D.
(1)建立适当的直角坐标系,求椭圆的方程;
(2)若点E满足,是否存在斜率k≠0的直线l与椭圆F交于MN两点,且,若存在,求K的取值范围;若不存在,说明理由.22.(本题满分为12分)如图,四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,其中DA⊥AB,AD∥BC,PA=2AD=BC=2,AB=.
(1)求异面直线PC与AD所成角的大小;
(2)若平面ABCD内有一经过点C的曲线E,该曲线上的任一动点Q都满足PQ与AD所成角的大小恰等于PC与AD所成角试判断曲线E的形状并说明理由;
(3)在平面ABCD内,设点Q是
(2)题中的曲线E在直角梯形ABCD内部(包括边界)的一段曲线CG上的动点,其中G为曲线E和DC的交点以B为圆心,BQ为半径r的圆分别与梯形的边AB、BC交于M、N两点当Q点在曲线段CG上运动时,试求圆半径r的范围及的范围.1.D2.C3.D4.A5.B6.B7.A8.A9.B10.B11.A12.C13.1414.15.16.17.解
(1)当时,------1分当时,-------4分化简,得检验,时,代入上式符合.则;-------5分
(2)解由题意知,-----------7分,--------9分解得.--------10分18.解所以分分19.解化为,-----2分由正弦定理,得,又三角形中,,化简,得即,----------5分又中,,得;--------6分把化为,由三角形内角和定理,得,---7分根据正弦定理,得,又,------8分结合余弦定理,即为,解得,-------10分由面积公式,得.------12分20.解证明由方程消去x后,整理得.设、,由韦达定理.----2分、B在抛物线上,.------4分,.-------6分设直线与x轴交于N,又显然,令,则,即.------7分,------9分.,解得.------12分21.解
(1)以AB中点为原点所在直线为x轴,建立直角坐标系,如图则.设椭圆F的方程为,由得,所求椭圆F方程.
(2)由得.显然时不合条件,设l方程代入,得.l与椭圆F有两不同公共点的充要条件是,即.设,中点为等价于,.,得,得,得.代入得得.又,故k取值范围为.22.解
(1)如图,以A为原点,直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴,建立空间直角坐标系.于是有.则有,又.则异面直线PC与AD所成角满足,所以异面直线PC与AD所成角的大小为.
(2)设点,点、点、点,则,则,化简整理得到,则曲线E是平面ABCD内的双曲线.
(3)在如图所示的xOy的坐标系中,因为、、,设则有,故DC的方程为,代入双曲线E的方程可得,,其中.因为直线DC与双曲线E交于点C,故进而可得,即.故双曲线E在直角梯形ABCD内部包括边界的区域满足.又设为双曲线CG上的动点,.所以,因为,所以当时,;当时,.而要使圆B与AB、BC都有交点,则.故满足题意的圆的半径取值范围是.因为,所以体积为故问题可以转化为研究的面积又因为为直角,所以必为等腰直角三角形.由前述,设,则,故其面积,所以.于是,.当Q点运动到与点C重合时,体积取得最大值;当Q点运动到横坐标时,即长度最小时,体积取得最小值.。