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2019版高二数学上学期第一次月考试题理III
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求1.设集合A.[1,2]B.-1,3C.{1}D.{l,2}2.已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是 A.若ab,则ac2bc2B.若,则abC.若a3b3且ab0,则D.若a2b2且ab0,则3.下列结论正确的是A.当,时,B.当时,的最小值为C.当时,D.当时,的最小值为4.要完成下列3项抽样调查
①从15瓶饮料中抽取5瓶进行食品卫生检查.
②某校报告厅有25排,每排有38个座位,有一次报告会恰好坐满了学生,报告会结束后,为了听取意见,需要抽取25名学生进行座谈.
③某中学共有240名教职工,其中一般教师180名,行政人员24名,后勤人员36名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是()A.
①简单随机抽样
②系统抽样
③分层抽样B.
①简单随机抽样
②分层抽样
③系统抽样C.
①系统抽样
②简单随机抽样
③分层抽样D.
①分层抽样
②系统抽样
③简单随机抽样5.在中,内角的对边分别为.若的面积为,且,,则外接圆的面积为()A.B.C.D.6.设fx=ex0ab,若,,,则下列关系式中正确的是 A.q=rpB.p=rqC.q=rpD.p=rq7.设不等式组表示的平面区域为D,若圆C不经过区域D上的点,则r的取值范围为 A.B.C.D.8.已知,,,若恒成立,则实数m的取值范围是A.或B.或C.D.9.在中,为上一点,,为上任一点,若,则的最小值是()A.9B.10C.11D.1210.已知实数满足,直线过定点,则的取值范围为()A.B.C.D.11.已知二次函数有两个零点,且,则直线的斜率的取值范围是()A.B.C.D.12.已知函数的定义域为,当时,,对任意的,成立,若数列满足,且,则的值为()A.B.C.D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知点A(a,1)与点B(a+1,3)位于直线x-y+1=0的两侧,则a的取值范围是.14.已知一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数是,方差是,那么另一组数据2x1–1,2x2–1,2x3–1,…,2xn–1的平均数是 ,方差是 .15.在中,内角所对的边分别为,已知,且,则面积的最大值为________.16.已知实数、满足,若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则的取值范围为__________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.求下列关于实数的不等式的解集
(1)
(2)18.某营养学家建议高中生每天的蛋白质摄入量控制在(单位克),脂肪的摄入量控制在(单位克),某学校食堂提供的伙食以食物和食物为主,1千克食物含蛋白质60克,含脂肪9克,售价20元;1千克食物含蛋白质30克,含脂肪27克,售价15元.
(1)如果某学生只吃食物,判断他的伙食是否符合营养学家的建议,并说明理由;
(2)为了花费最低且符合营养学家的建议,学生需要每天同时食用食物和食物各多少千克?并求出最低需要花费的钱数.19.在中,角,,的对边分别是,,,若,,成等差数列.
(1)求;
(2)若,,求的面积.20.已知点(x,y)是区域,(n∈N*)内的点,目标函数z=x+y,z的最大值记作zn.若数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且点(Sn,an)在直线zn=x+y上.(Ⅰ)证明数列{an﹣2}为等比数列;(Ⅱ)求数列{Sn}的前n项和Tn.21.已知,.若,解不等式;若不等式对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;若,解不等式.22.阅读已知、,,求的最小值.解法如下,当且仅当,即时取到等号,则的最小值为.应用上述解法,求解下列问题
(1)已知,,求的最小值;
(2)已知,求函数的最小值;
(3)已知正数、、,,求证.参考答案DCDABCACDDAC13.14.,15.16.17.
(1)不等式变形为,即或,所以不等式解集为.18.
(1)解如果学生只吃食物,则蛋白质的摄入量在(单位克)时,食物的重量在(单位千克),其相应的脂肪摄入量在(单位克),不符合营养学家的建议;当脂肪的摄入量在(单位克)时,食物的重量在(单位千克),其相应的蛋白质摄入量在(单位克),不符合营养学家的建议.
(2)设学生每天吃千克食物,千克食物,每天的伙食费为,由题意满足,即,可行域如图所示,把变形为,得到斜率为,在轴上截距为的一族平行直线.由图可以看出,当直线经过可行域上的点时,截距最大.解方程组,得点的坐标为,所以元,答学生每天吃
0.8千克食物,
0.4千克食物,既能符合营养学家的建议又花费最少.最低需要花费22元.19.
(1)∵,,成等差数列∴,由正弦定理,,,为外接圆的半径,代入上式得,即.又,∴,即.而,∴,由,得.
(2)∵,∴,又,,∴,即,∴.20.解(Ⅰ)∵目标函数对应直线l z=x+y,区域,(n∈N*)表示以x轴、y轴和直线x+2y=2n为三边的三角形,∴当x=2n,y=0时,z的最大值zn=2n∵(Sn,an)在直线zn=x+y上∴zn=Sn+an,可得Sn=2n﹣an,当n≥2时,可得an=Sn﹣Sn﹣1=(2n﹣an)﹣[2(n﹣1)﹣an﹣1]化简整理,得2an=an﹣1+2因此,an﹣2=(an﹣1+2)﹣2=(an﹣1﹣2)当n=1时,an﹣2=a1﹣2=﹣1∴数列{an﹣2}是以﹣1为首项,公比q=的等比数列;(Ⅱ)由(I)得an﹣2=﹣()n﹣1,∴an=2﹣()n﹣1,可得Sn=2n﹣an=2n﹣2+()n﹣1,∴根据等差数列和等比数列的求和公式,得即数列{Sn}的前n项和Tn=,(n∈N*).21.解当,不等式即,即,解得,或,故不等式的解集为,或.由题意可得恒成立,当时,显然不满足条件,.解得,故a的范围为.若,不等式为,即.,当时,,不等式的解集为;当时,,不等式即,它的解集为;当时,,不等式的解集为.22.
(1),而,当且仅当时取到等号,则,即的最小值为.
(2),而,,当且仅当,即时取到等号,则,所以函数的最小值为.
(3)当且仅当时取到等号,则.。