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文本内容:
第一章
1.1
1.
1.1任意角A级 基础巩固
一、选择题1.下列各角中,与60°角终边相同的角是 A A.-300°B.-60°C.600°D.1380°[解析] 与60°角终边相同的角α=k·360°+60°,k∈Z,令k=-1,则α=-300°,故选A.2.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置,则∠AOC= B A.150°B.-150°C.390°D.-390°[解析] 各角和的旋转量等于各角旋转量的和.∴120°+-270°=-150°,故选B.3.下列说法正确的个数是 A
①小于90°的角是锐角
②钝角一定大于第一象限的角
③第二象限的角一定大于第一象限的角
④始边与终边重合的角为0°A.0B.1C.2D.3[解析]
①错,负角小于90°,但不是锐角,
②错,390°是第一象限的角,大于任一钝角α90°α180°,
③错,第二象限角中的-210°小于第一象限角中的30°,
④错,始边与终边重合的角是k·360°k∈Z,故选A.4.若角α和角β的终边关于x轴对称,则角α可以用角β表示为 B A.k·360°+βk∈ZB.k·360°-βk∈ZC.k·180°+βk∈ZD.k·180°-βk∈Z[解析] 因为角α和角β的终边关于x轴对称,所以α+β=k·360°k∈Z,所以α=k·360°-βk∈Z.故选B.5.把-1485°转化为α+k·360°0°≤α360°,k∈Z的形式是 D A.45°-4×360°B.-45°-4×360°C.-45°-5×360°D.315°-5×360°[解析] -1485°=315°-5×360°.6.若α是第三象限角,则是 D A.第一或第三象限角B.第二或第三象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角[解析] ∵α是第三象限角,∴k·360°+180°αk·360°+270°,k∈Z.∴k·180°+90°k·180°+135°,k∈Z.当k为偶数时,是第二象限角;当k为奇数时,是第四象限角.
二、填空题7.将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于__60°__.8.若α、β两角的终边互为反向延长线,且α=-120°,则β= k·360°+60°,k∈Z .[解析] 先求出β的一个角,β=α+180°=60°.再由终边相同角的概念知β=k·360°+60°,k∈Z.
三、解答题9.已知α=-1910°.1把α写成β+k·360°k∈Z0°≤β≤360°的形式,并指出它是第几象限角;2求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ0°.[解析] 1设α=β+k·360°k∈Z,则β=-1910°-k·360°k∈Z.令-1910°-k·360°≥0,解得k≤-=-5.k的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°,于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.2令θ=250°+n·360°n∈Z,取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ0°的角.250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.故θ=-110°或θ=-470°.10.已知,如图所示.1分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合.2写出终边落在阴影部分包括边界的角的集合.[解析] 1终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z};终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.2由题干图可知,阴影部分包括边界的角的集合是由所有介于[-30°,135°]之间的与之终边相同的角组成的集合,故该区域可表示为{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.B级 素养提升
一、选择题1.已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A、B、C的关系是 B A.B=A∩CB.B∪C=CC.ACD.A=B=C[解析] A={第一象限角}={θ|k·360°θ90°+k·360°,k∈Z},B={锐角}={θ|0θ90°},C={小于90°的角}={θ|θ90°},故选B.2.已知角2α的终边在x轴上方,那么角α的范围是 C A.第一象限角的集合B.第一或第二象限角的集合C.第一或第三象限角的集合D.第一或第四象限角的集合[解析] 由题意得360°·k2α360°·k+180°,k∈Z.∴180°kα180°k+90°,k∈Z,故选C.3.如果角α与x+45°具有同一条终边,角β与x-45°具有同一条终边,则α与β的关系是 D A.α+β=0B.α-β=0C.α+β=k·360°k∈ZD.α-β=k·360°+90°k∈Z[解析] ∵α=x+45°+k1·360°k1∈Z,β=x-45°+k2·360°k2∈Z,∴α-β=k1-k2·360°+90°=k·360°+90°k∈Z.4.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°β180°},则A∩B等于 C A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}[解析] 当k=-1时,α=-126°∈B;当k=0时,α=-36°∈B;当k=1时,α=54°∈B;当k=2时,α=144°∈B.
二、填空题5.已知θ为小于360°的正角,这个角的4倍角与这个角的终边关于x轴对称,那么θ=__72°,144°,216°,288°__.[解析] 依题意,可知角4θ与角-θ终边相同,故4θ=-θ+k·360°k∈Z,故θ=k·72°k∈Z.又0°θ360°,故令k=1234得θ=72°,144°,216°,288°.6.已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内不包括边界,那么β∈ {α|n·180°+30°αn·180°+150°,n∈Z} .[解析] 在0°~360°范围内,终边落在阴影内的角α的取值范围为30°α150°与210°α330°,所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°+30°αk·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°αk·360°+330°,k∈Z}={α|2k·180°+30°α2k·180°+150°,k∈Z}∪{α|2k+1180°+30°α2k+1·180°+150°,k∈Z}={α|n·180°+30°αn·180°+150°,n∈Z}.
三、解答题7.已知角β的终边在直线x-y=0上.
①写出角β的集合S;
②写出S中适合不等式-360°≤β720°的元素.[解析]
①如图,直线x-y=0过原点,倾斜角为60°,在0°~360°范围内,终边落在射线OA上的角是60°,终边落在射线OB上的角是240°,所以以射线OA、OB为终边的角的集合为S1={β|β=60°+k·360°,k∈Z},S2={β|β=240°+k·360°,k∈Z},所以,角β的集合S=S1∪S2={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=60°+180°+k·360°,k∈Z}={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=60°+2k+1·180°,k∈Z}={β|β=60°+n·180°,n∈Z}.
②由于-360°≤β720°,即-360°≤60°+n·180°720°,n∈Z,解得-≤n,n∈Z,所以n=-
2、-
1、
0、
1、
2、3.所以S中适合不等式-360°≤β720°的元素为60°-2×180°=-300°;60°-1×180°=-120°;60°-0×180°=60°;60°+1×180°=240°;60°+2×180°=420;60°+3×180°=600°.8.在角的集合{α|a=k·90°+45°,k∈Z}中.1有几种终边不相同的角?2有几个落在-360°~360°之间的角?3写出其中是第二象限的一般表示方法.[解析] 1当k=4nn∈Z时,α=n·360°+45°与45°角终边相同;当k=4n+1n∈Z时,α=n·360°+135°与135°的终边相同;当k=4n+2n∈Z时,α=n·360°+225°与225°的终边相同;当k=4n+3n∈Z时,α=n·360°+315°与315°的终边相同.所以,在给定的角的集合中共有4种终边不相同的角.2由-360°k·90°+45°360°,得-k.又k∈Z.故k=-4,-3,-2,-10123.所以,在给定的角的集合中落在-360°~360°之间的角共有8个.3其中,第二象限可表示为α=k·360°+135°,k∈Z.C级 能力拔高集合M={x|x=±45°,k∈Z},P={x|x=±90°,k∈Z},则M,P之间的关系为__MP__.[解析] 对集合M来说,x=2k±1×45°,即45°的奇数倍;对集合P来说,x=k±2×45°,即45°的倍数.。