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第三单元基本初等函数Ⅰ及应用教材复习课“基本初等函数Ⅰ”相关基础知识一课过指数与对数的基本运算[过双基]
一、根式与幂的运算1.根式的性质1n=.2当n为奇数时,=.3当n为偶数时,=|a|=4负数的偶次方根无意义.5零的任何次方根都等于零.2.有理数指数幂1分数指数幂
①正分数指数幂a=a0,m,n∈N*,且n1.
②负分数指数幂a-==a0,m,n∈N*,且n1.
③0的正分数指数幂等于0的负分数指数幂没有意义.2有理数指数幂的运算性质.
①ar·as=ar+sa0,r,s∈Q.
②ars=arsa0,r,s∈Q.
③abr=arbra0,b0,r∈Q.
二、对数及对数运算1.对数的定义一般地,如果ax=Na0,且a≠1,那么数x叫作以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.2.对数的性质1loga1=,logaa=.2alogaN=,logaaN=.3负数和没有对数.3.对数的运算性质如果a0,且a≠1,M0,N0,那么1logaMN=logaM+logaN.2loga=logaM-logaN.3logaMn=nlogaMn∈R.4换底公式logab=a0且a≠1,b0,m0,且m≠1.1.化简a0,b0的结果是 A.a B.abC.a2bD.解析选D 原式==a·b=.2.若x=log43,则2x-2-x2= A.B.C.D.解析选D 由x=log43,得4x=3,即4-x=,2x-2-x2=4x-2+4-x=3-2+=.
3.+log2= A.2B.2-2log23C.-2D.2log23-2解析选B +log2=-log23=2-log23-log23=2-2log
23.4.已知fx=2x+2-x,若fa=3,则f2a= A.11B.9C.7D.5解析选C 由题意可得fa=2a+2-a=3,则f2a=22a+2-2a=2a+2-a2-2=
7.[清易错]1.在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.易忽视字母的符号.2.在对数运算时,易忽视真数大于零.1.化简的结果是 A.-B.C.-D.解析选A 依题意知x0,故=-=-.2.若lgx+lgy=2lgx-2y,则的值为________.解析∵lgx+lgy=2lgx-2y,∴xy=x-2y2,即x2-5xy+4y2=0,即x-yx-4y=0,解得x=y或x=4y.又x0,y0,x-2y0,故x=y不符合题意,舍去.所以x=4y,即=
4.答案4二次函数[过双基]1.二次函数解析式的三种形式1一般式fx=ax2+bx+ca≠0.2顶点式fx=ax-m2+na≠0.3零点式fx=ax-x1x-x2a≠0.2.二次函数的图象和性质解析式fx=ax2+bx+ca>0fx=ax2+bx+ca<0图象定义域RR值域单调性在上单调递减;在上单调递增在上单调递增;在上单调递减对称性函数的图象关于直线x=-对称1.若二次函数y=-2x2-4x+t的图象的顶点在x轴上,则t的值是 A.-4B.4C.-2D.2解析选C ∵二次函数的图象的顶点在x轴上,∴Δ=16+8t=0,可得t=-
2.2.2018·唐山模拟如果函数fx=x2-ax-3在区间-∞,4]上单调递减,那么实数a的取值范围为 A.[8,+∞B.-∞,8]C.[4,+∞D.[-4,+∞解析选A 函数fx图象的对称轴方程为x=,由题意得≥4,解得a≥
8.3.2017·宜昌二模函数fx=-2x2+6x-2≤x≤2的值域是 A.[-204]B.-204C.D.解析选C 由函数fx=-2x2+6x可知,二次函数fx的图象开口向下,对称轴为x=,当-2≤x时,函数fx单调递增,当≤x≤2时,函数fx单调递减,∴fxmax=f=-2×+6×=,又f-2=-8-12=-20,f2=-8+12=4,∴函数fx的值域为.[清易错]易忽视二次函数表达式fx=ax2+bx+c中的系数a≠
0.若二次函数fx=ax2-4x+c的值域为[0,+∞,则a,c满足的条件是________.解析由已知得⇒答案a0,ac=4幂函数[过双基]1.幂函数的定义一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.2.常见的5种幂函数的图象3.常见的5种幂函数的性质函数特征性质y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域RRR[0,+∞{x|x∈R,且x≠0}值域R[0,+∞R[0,+∞{y|y∈R,且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增-∞,0]减,[0,+∞增增增-∞,0减,0,+∞减定点00,1111 1.幂函数y=fx的图象过点42,则幂函数y=fx的图象是 解析选C 令fx=xα,则4α=2,∴α=,∴fx=x.故C正确.2.2018·贵阳监测已知幂函数y=fx的图象经过点,则f= A.B.2C.D.解析选C 设幂函数的解析式为fx=xα,将代入解析式得3-α=,解得α=-,∴fx=x-,f=,故选C.3.若函数fx=m2-m-1xm是幂函数,且在x∈0,+∞上为增函数,则实数m的值是 A.-1 B.2C.3D.-1或2解析选B ∵fx=m2-m-1xm是幂函数,∴m2-m-1=1,解得m=-1或m=
2.又fx在x∈0,+∞上是增函数,所以m=
2.[清易错]幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第
二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.幂函数y=xm2-2m-3m∈Z的图象如图所示,则m的值为 A.-1m3B.0C.1D.2解析选C 从图象上看,由于图象不过原点,且在第一象限下降,故m2-2m-30,即-1m3;又从图象看,函数是偶函数,故m2-2m-3为负偶数,将m=012分别代入,可知当m=1时,m2-2m-3=-4,满足要求.指数函数[过双基]指数函数的图象与性质y=axa0,且a≠1a>10<a<1图象定义域R值域0,+∞性质当x=0时,y=1,即过定点01当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1在R上是增函数在R上是减函数 1.函数fx=ax-2+1a0,且a≠1的图象必经过点 A.01B.11C.20D.22解析选D 由f2=a0+1=2,知fx的图象必过点22.2.函数fx=的定义域是 A.-∞,0]B.[0,+∞C.-∞,0D.-∞,+∞解析选A 要使fx有意义须满足1-2x≥0,即2x≤1,解得x≤
0.3.函数y=ax-aa0,且a≠1的图象可能是 解析选C 当x=1时,y=a1-a=0,所以函数y=ax-a的图象过定点10,结合选项可知选C.4.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 A.acbB.abcC.cabD.bca解析选A 构造指数函数y=xx∈R,由该函数在定义域内单调递减可得bc;又y=xx∈R与y=xx∈R之间有如下结论当x0时,有xx,故,即ac,故acb.5.下列四类函数中,具有性质“对任意的x0,y0,函数fx满足fx+y=fxfy”的是 A.幂函数B.对数函数C.指数函数D.余弦函数解析选C 由指数运算的规律易知,ax+y=ax·ay,即令fx=ax,则fx+y=fxfy,故该函数为指数函数.[清易错]指数函数y=axa0,且a≠1的图象和性质与a的取值有关,要特别注意区分a1或0a
1.若函数fx=axa0,且a≠1在区间
[12]上的最大值比最小值大,则a的值为________.解析当a1时,fx=ax为增函数,fxmax=f2=a2,fxmin=f1=a.∴a2-a=.即a2a-3=
0.∴a=0舍去或a=
1.∴a=.当0a1时,fx=ax为减函数,fxmax=f1=a,fxmin=f2=a
2.∴a-a2=.即a2a-1=0,∴a=0舍去或a=.∴a=.综上可知,a=或a=.答案或对数函数[过双基]对数函数的图象与性质y=logaxa0,且a≠1a10a1图象定义域0,+∞值域性质当x=1时,y=0,即过定点10当0x1时,y∈-∞,0;当x1时,y∈0,+∞当0x1时,y∈0,+∞;当x1时,y∈-∞,0在0,+∞上为增函数在0,+∞上为减函数 1.若函数fx=loga3x-2a0,且a≠1的图象经过定点A,则A点坐标是 A.B.C.10D.01答案C2.已知a0,且a≠1,函数y=ax与y=loga-x的图象可能是 解析选B 由题意知,y=ax的定义域为R,y=loga-x的定义域为-∞,0,故排除A、C;当0a1时,y=ax在R上单调递减,y=loga-x在-∞,0上单调递增;当a1时,y=ax在R上单调递增,y=loga-x在-∞,0上单调递减,结合B、D图象知,B正确.3.函数y=log2|x+1|的单调递减区间为__________,单调递增区间为__________.解析作出函数y=log2x的图象,将其关于y轴对称得到函数y=log2|x|的图象,再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y=log2|x+1|的图象如图所示.由图知,函数y=log2|x+1|的单调递减区间为-∞,-1,单调递增区间为-1,+∞.答案-∞,-1 -1,+∞4.函数fx=logax2-2x-3a0,a≠1的定义域为________.解析由题意可得x2-2x-30,解得x3或x-1,所以函数的定义域为{x|x3或x-1}.答案{x|x3或x-1}[清易错]解决与对数函数有关的问题时易漏两点1函数的定义域.2对数底数的取值范围.1.2018·南昌调研函数y=的定义域是 A.
[12] B.[12C.D.解析选D 要使函数有意义,则解得x≤
1.2.函数y=logaxa0,且a≠1在
[24]上的最大值与最小值的差是1,则a的值为________.解析当a1时,函数y=logax在
[24]上是增函数,所以loga4-loga2=1,即loga2=1,所以a=
2.当0a1时,函数y=logax在
[24]上是减函数,所以loga2-loga4=1,即loga=1,所以a=.故a=2或a=.答案2或
一、选择题1.函数fx=满足fx=1的x的值为 A.1 B.-1C.1或-2D.1或-1解析选D 由题意,方程fx=1等价于或解得x=-1或
1.2.函数fx=ln|x-1|的图象大致是 解析选B 令x=1,x-1=0,显然fx=ln|x-1|无意义,故排除A;由|x-1|0可得函数的定义域为-∞,1∪1,+∞,故排除D;由复合函数的单调性可知fx在1,+∞上是增函数,故排除C,选B.3.2018·郑州模拟设abc0,二次函数fx=ax2+bx+c的图象可能是 解析选D 结合二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象知当a0,且abc0时,若-0,则b0,c0,故排除A,若-0,则b0,c0,故排除B.当a0,且abc0时,若-0,则b0,c0,故排除C,若-0,则b0,c0,故选项D符合.4.设a=
0.32,b=
20.3,c=log25,d=log
20.3,则a,b,c,d的大小关系是 A.dbacB.dabcC.bcdaD.bdca解析选B 由对数函数的性质可知c=log252,d=log
20.30,由指数函数的性质可知0a=
0.3211b=
20.32,所以dabc.5.2018·长春模拟函数y=4x+2x+1+1的值域为 A.0,+∞B.1,+∞C.[1,+∞D.-∞,+∞解析选B 令2x=t,则函数y=4x+2x+1+1可化为y=t2+2t+1=t+12t0.∵函数y=t+12在0,+∞上递增,∴y
1.∴所求值域为1,+∞.故选B.6.2017·大连二模定义运算xy=例如34=3,-24=4,则函数fx=x22x-x2的最大值为 A.0B.1C.2D.4解析选D 由题意可得fx=x22x-x2=当0≤x≤2时,fx∈
[04];当x2或x0时,fx∈-∞,0.综上可得函数fx的最大值为4,故选D.7.已知函数fx=lg是奇函数,且在x=0处有意义,则该函数为 A.-∞,+∞上的减函数B.-∞,+∞上的增函数C.-11上的减函数D.-11上的增函数解析选D 由题意知,f0=lg2+a=0,∴a=-1,∴fx=lg=lg,令0,则-1x1,排除A、B,又y=-1=-1+在-11上是增函数,∴fx在-11上是增函数.选D.8.2018·湖北重点高中协作校联考设函数fx=1-,gx=lnax2-3x+1,若对任意x1∈[0,+∞,都存在x2∈R,使得fx1=gx2,则实数a的最大值为 A.B.2C.D.4解析选A 设gx=lnax2-3x+1的值域为A,因为函数fx=1-在[0,+∞上的值域为-∞,0],所以-∞,0]⊆A,因此hx=ax2-3x+1至少要取遍01]中的每一个数,又h0=1,于是,实数a需要满足a≤0或解得a≤.故选A.
二、填空题9.2018·连云港调研当x0时,函数y=a-8x的值恒大于1,则实数a的取值范围是________.解析由题意知,a-81,解得a
9.答案9,+∞10.若函数fx是幂函数,且满足f4=3f2,则f的值等于________.解析设fx=xα,又f4=3f2,∴4α=3×2α,解得α=log23,∴f=log23=.答案11.若函数fx=则使得fx≥2成立的x的取值范围是________.解析由题意,fx≥2等价于或解得x≤1-ln2或x≥1+e2,则使得fx≥2成立的x的取值范围是-∞,1-ln2]∪[1+e2,+∞.答案-∞,1-ln2]∪[1+e2,+∞12.若对任意x∈,恒有4xlogaxa0且a≠1,则实数a的取值范围是________.解析令fx=4x,则fx在上是增函数,gx=logax,当a1时,gx=logax在上是增函数,且gx=logax0,不符合题意;当0a1时,gx=logax在上是减函数,则解得≤a
1.答案
三、解答题13.函数fx=logaxa0,a≠1,且f2-f4=
1.1若f3m-2f2m+5,求实数m的取值范围;2求使f=log3成立的x的值.解1由f2-f4=1,得a=.∵函数fx=logx为减函数且f3m-2f2m+5,∴03m-22m+5,解得m7,故m的取值范围为.2f=log3,即x-=3,x2-3x-4=0,解得x=4或x=-
1.14.已知函数fx=a-为奇函数.1求a的值;2试判断函数fx在-∞,+∞上的单调性,并证明你的结论;3若对任意的t∈R,不等式f[t2-m-2t]+ft2-m+10恒成立,求实数m的取值范围.解1∵函数fx为奇函数,∴fx=-f-x,∴a-=-a+,∴2a=+=2,∴a=
1.2fx在R上为单调递增函数.证明如下设任意x1,x2∈R,且x1x2,则fx1-fx2=1--1+=.∵x1x2,∴2x1-2x20,2x1+12x2+10,∴fx1fx2,∴fx为R上的单调递增函数.3∵fx=1-为奇函数,且在R上为增函数,∴由f[t2-m-2t]+ft2-m+10恒成立,∴f[t2-m-2t]-ft2-m+1=fm-t2-1,∴t2-m-2tm-1-t2对t∈R恒成立,化简得2t2-m-2t-m+10,∴Δ=m-22+8m-10,解得-2-2m-2+2,故m的取值范围为-2-2,-2+2.高考研究课一幂函数、二次函数的3类考查点——图象、性质、解析式[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度幂函数5年3考幂函数的性质二次函数5年1考二次函数的图象幂函数的图象与性质 [典例] 12018·安徽江南七校联考已知幂函数fx=n2+2n-2·xn2-3nn∈Z的图象关于y轴对称,且在0,+∞上是减函数,则n的值为 A.-3 B.1C.2D.1或-
321.1,
0.9,1的大小关系为________.[解析] 1由于fx为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,当n=1时,函数fx=x-2为偶函数,其图象关于y轴对称,且fx在0,+∞上是减函数,所以n=1满足题意;当n=-3时,函数fx=x18为偶函数,其图象关于y轴对称,而fx在0,+∞上是增函数,所以n=-3不满足题意,舍去.故选B.2把1看作1,幂函数y=x在0,+∞上是增函数.∵
00.
911.1,∴
0.
911.
1.即
0.
911.
1.[答案] 1B
20.
911.1 [方法技巧]幂函数图象与性质的应用1可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性;2在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. [即时演练]1.已知fx=x,若0ab1,则下列各式正确的是 A.fafbffB.fffbfaC.fafbffD.ffaffb解析选C ∵0ab1,∴0ab,又fx=x为增函数,∴fafbff.2.若a+13-2a,则实数a的取值范围是________________.解析不等式a+13-2a等价于a+13-2a0或3-2aa+10或a+103-2a.解得a或a-
1.答案-∞,-1∪二次函数的解析式二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时,要灵活选择解析式形式以确立解法.[典例] 已知二次函数fx满足f2=-1,f-1=-1,且fx的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.[解] 法一用“一般式”解题设fx=ax2+bx+ca≠0.由题意得解得∴所求二次函数为fx=-4x2+4x+
7.法二用“顶点式”解题设fx=ax-m2+na≠0.∵f2=f-1,∴抛物线的对称轴为x==,∴m=.又根据题意,函数有最大值8,∴n=8,∴y=fx=a2+
8.∵f2=-1,∴a2+8=-1,解得a=-4,∴fx=-42+8=-4x2+4x+
7.法三用“零点式”解题由已知fx+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设fx+1=ax-2x+1a≠0,即fx=ax2-ax-2a-
1.又函数有最大值8,即=
8.解得a=-4或a=0舍去.∴所求函数的解析式为fx=-4x2+4x+
7.[方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,规律如下[即时演练]1.为了美观,在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状如图所示.若对应的两条曲线关于y轴对称,AE∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm,则右轮廓线DFE所在的二次函数的解析式为 A.y=x+32B.y=-x-32C.y=-x+32D.y=x-32解析选D 由题图可知,对应的两条曲线关于y轴对称,AE∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm,所以点C的纵坐标为0,横坐标的绝对值为3,即C-30,因为点F与点C关于y轴对称,所以F30,因为点F是右轮廓线DFE所在的二次函数图象的顶点,所以设该二次函数为y=ax-32a0,将点D11代入得,a=,即y=x-
32.2.已知二次函数fx是偶函数,且f4=4f2=16,则函数fx的解析式为________.解析由题意可设函数fx=ax2+ca≠0,则f4=16a+c=16,f2=4a+c=4,解得a=1,c=0,故fx=x
2.答案fx=x2二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点,多以选择题、填空题的形式出现,考查二次函数的图象与性质的应用.常见的命题角度有1二次函数的图象与性质;2二次函数的最值问题.角度一二次函数的图象与性质1.2018·武汉模拟已知函数fx=ax2+2ax+b1a3,且x1x2,x1+x2=1-a,则下列结论正确的是 A.fx1fx2B.fx1fx2C.fx1=fx2D.fx1与fx2的大小关系不能确定解析选A fx的对称轴为x=-1,因为1a3,则-21-a0,若x1x2≤-1,则x1+x2-2,不满足x1+x2=1-a且-21-a0;若x1-1,x2≥-1,则|x2+1|-|-1-x1|=x2+1+1+x1=x1+x2+2=3-a01a3,此时x2到对称轴的距离大,所以fx2fx1;若-1≤x1x2,则此时x1+x2-2,又因为fx在[-1,+∞上为增函数,所以fx1fx2.2.设二次函数fx=ax2-2ax+c在区间
[01]上单调递减,且fm≤f0,且实数m的取值范围是 A.-∞,0]B.[2,+∞C.-∞,0]∪[2,+∞D.
[02]解析选D 二次函数fx=ax2-2ax+c在区间
[01]上单调递减,则a≠0,f′x=2ax-10,x∈
[01],所以a0,即函数的图象开口向上,又因为对称轴是直线x=
1.所以f0=f2,则当fm≤f0时,有0≤m≤
2.[方法技巧]解决二次函数图象与性质问题的2个注意点1抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定一不定,要注意分类讨论;2要注意数形结合思想的应用,尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解. 角度二二次函数的最值问题3.已知二次函数fx=ax2-2x0≤x≤1,求fx的最小值.解1当a0时,fx=ax2-2x图象的开口方向向上,且对称轴为x=.
①当≤1,即a≥1时,fx=ax2-2x图象的对称轴在
[01]内,∴fx在上递减,在上递增.∴fxmin=f=-=-.
②当1,即0a1时,fx=ax2-2x图象的对称轴在
[01]的右侧,∴fx在
[01]上递减.∴fxmin=f1=a-
2.2当a0时,fx=ax2-2x的图象的开口方向向下,且对称轴x=0,在y轴的左侧,∴fx=ax2-2x在
[01]上递减.∴fxmin=f1=a-
2.综上所述,fxmin=4.已知a是实数,记函数fx=x2-2x+2在[a,a+1]上的最小值为ga,求ga的解析式.解fx=x2-2x+2=x-12+1,x∈[a,a+1],a∈R,对称轴为x=
1.当a+11,即a0时,函数图象如图1,函数fx在区间[a,a+1]上为减函数,所以最小值为fa+1=a2+1;当a≤1≤a+1,即0≤a≤1时,函数图象如图2,在对称轴x=1处取得最小值,最小值为f1=1;当a1时,函数图象如图3,函数fx在区间[a,a+1]上为增函数,所以最小值为fa=a2-2a+
2.综上可知,ga=[方法技巧]二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到区间的两个端点处,或对称轴处.也可以作出二次函数在该区间上的图象,由图象来判断最值.解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系. 1.2016·全国卷Ⅲ已知a=2,b=4,c=25,则 A.bacB.abcC.bcaD.cab解析选A 因为a=2,b=4=2,由函数y=2x在R上为增函数,知ba;又因为a=2=4,c=25=5,由幂函数y=x在0,+∞上为增函数,知ac.综上得bac.故选A.2.2016·全国卷Ⅱ已知函数fxx∈R满足fx=f2-x,若函数y=|x2-2x-3|与y=fx图象的交点为x1,y1,x2,y2,…,xm,ym,则i= A.0B.mC.2mD.4m解析选B ∵fx=f2-x,∴函数fx的图象关于直线x=1对称.又y=|x2-2x-3|=|x-12-4|的图象关于直线x=1对称,∴两函数图象的交点关于直线x=1对称.当m为偶数时,i=2×=m;当m为奇数时,i=2×+1=m.故选B.3.2014·全国卷Ⅰ设函数fx=则使得fx≤2成立的x的取值范围是________.解析当x1时,由ex-1≤2得x≤1+ln2,∴x1;当x≥1时,由x≤2得x≤8,∴1≤x≤
8.综上,符合题意的x的取值范围是x≤
8.答案-∞,8]
一、选择题1.2018·绵阳模拟幂函数y=m2-3m+3xm的图象过点24,则m= A.-2 B.-1C.1D.2解析选D ∵幂函数y=m2-3m+3xm的图象过点24,∴解得m=
2.故选D.2.2018·杭州测试若函数fx=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则实数a的取值集合为 A.[-33]B.[-13]C.{-33}D.{-1,-33}解析选C ∵函数fx=x2-2x+1=x-12的图象的对称轴为直线x=1,fx在区间[a,a+2]上的最小值为4,∴当a≥1时,fxmin=fa=a-12=4,a=-1舍去或a=3;当a+2≤1,即a≤-1时,fxmin=fa+2=a+12=4,a=1舍去或a=-3;当a1a+2,即-1a1时,fxmin=f1=0≠
4.故a的取值集合为{-33}.故选C.
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A-30,对称轴为x=-
1.给出下面四个结论
①b24ac;
②2a-b=1;
③a-b+c=0;
④5ab.其中正确的结论是 A.
②④B.
①④C.
②③D.
①③解析选B ∵二次函数的图象与x轴交于两点,∴b2-4ac0,即b24ac,
①正确;对称轴为x=-1,即-=-12a-b=0,
②错误;结合图象知,当x=-1时,y0,即a-b+c0,
③错误;由对称轴为x=-1知,b=2a,又函数图象开口向下,∴a0,∴5a2a,即5ab,
④正确.故选B.4.若对任意a∈[-11],函数Fx=x2+a-4x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是 A.13B.-∞,1∪3,+∞C.12D.-∞,1∪2,+∞解析选B 由题意,令fa=Fx=x2+a-4x+4-2a=x-2a+x2-4x+4,对任意a∈[-11]恒成立,所以解得x1或x
3.5.若函数fx=mx2-2x+3在[-1,+∞上递减,则实数m的取值范围为 A.-10B.[-10C.-∞,-1]D.[-10]解析选D 当m=0时,fx=-2x+3在R上递减,符合题意;当m≠0时,函数fx=mx2-2x+3在[-1,+∞上递减,只需对称轴x=≤-1,且m0,解得-1≤m0,综上,实数m的取值范围为[-10].6.设函数fx=则不等式fxf1的解集是 A.-31∪3,+∞B.-31∪2,+∞C.-11∪3,+∞D.-∞,-3∪13解析选A ∵f1=3,∴不等式fxf1,即fx
3.∴或解得x3或-3x
1.7.已知a,b,c,d都是常数,ab,cd.若fx=2017-x-ax-b的零点为c,d,则下列不等式正确的是 A.acbdB.abcdC.cdabD.cabd解析选D fx=2017-x-ax-b=-x2+a+bx-ab+2017,又fa=fb=2017,c,d为函数fx的零点,且ab,cd所以可在平面直角坐标系中作出函数fx的大致图象,如图所示,由图可知cabd,故选D.8.2017·浙江高考若函数fx=x2+ax+b在区间
[01]上的最大值是M,最小值是m,则M-m A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关解析选B fx=2-+b,1当0≤-≤1时,fxmin=m=f=-+b,fxmax=M=max{f0,f1}=max{b1+a+b},∴M-m=max与a有关,与b无关;
②当-0时,fx在
[01]上单调递增,∴M-m=f1-f0=1+a与a有关,与b无关;
③当-1时,fx在
[01]上单调递减,∴M-m=f0-f1=-1-a与a有关,与b无关.综上所述,M-m与a有关,但与b无关.
二、填空题9.已知幂函数fx=x-m2+2m+3m∈Z在0,+∞上为增函数,且在其定义域内是偶函数,则m的值为________.解析∵幂函数fx在0,+∞上为增函数,∴-m2+2m+30,即m2-2m-30,解得-1m
3.又m∈Z,∴m=0或m=1或m=
2.当m=0或m=2时,fx=x3在其定义域内为奇函数,不满足题意;当m=1时,fx=x4在其定义域内是偶函数,满足题意.综上可知,m的值是
1.答案110.二次函数y=3x2+2m-1x+n在区间-∞,1上是减函数,在区间[1,+∞上是增函数,则实数m=________.解析二次函数y=3x2+2m-1x+n的图象的开口向上,对称轴为直线x=-,要使得函数在区间-∞,1上是减函数,在区间[1,+∞上是增函数,则x=-=1,解得m=-
2.答案-211.2018·南通一调若函数fx=ax2+20x+14a0对任意实数t,在闭区间[t-1,t+1]上总存在两实数x1,x2,使得|fx1-fx2|≥8成立,则实数a的最小值为________.解析由题意可得,当x∈[t-1,t+1]时,[fxmax-fxmin]min≥8,当[t-1,t+1]关于对称轴对称时,fxmax-fxmin取得最小值,即ft+1-ft=2at+a+20≥8,ft-1-ft=-2at+a-20≥8,两式相加,得a≥8,所以实数a的最小值为
8.答案812.设函数fx=若存在实数b,使得函数y=fx-bx恰有2个零点,则实数a的取值范围为_______.解析显然x=0是y=fx-bx的一个零点;当x≠0时,令y=fx-bx=0得b=,令gx==则b=gx存在唯一一个解.当a0时,作出函数gx的图象,如图所示,显然当aba2且b≠0时,b=gx存在唯一一个解,符合题意;当a0时,作出函数gx的图象,如图所示,若要使b=gx存在唯一一个解,则aa2,即0a1,同理,当a=0时,显然b=gx有零解或两解,不符合题意.综上,a的取值范围是-∞,0∪01.答案-∞,0∪01
三、解答题13.2018·杭州模拟已知值域为[-1,+∞的二次函数fx满足f-1+x=f-1-x,且方程fx=0的两个实根x1,x2满足|x1-x2|=
2.1求fx的表达式;2函数gx=fx-kx在区间[-12]上的最大值为f2,最小值为f-1,求实数k的取值范围.解1由f-1+x=f-1-x,可得fx的图象关于直线x=-1对称,设fx=ax+12+h=ax2+2ax+a+ha≠0,由函数fx的值域为[-1,+∞,可得h=-1,根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=1+,∴|x1-x2|===2,解得a=1,∴fx=x2+2x.2由题意得函数gx在区间[-12]上单调递增,又gx=fx-kx=x2-k-2x.∴gx的对称轴方程为x=,则≤-1,即k≤0,故k的取值范围为-∞,0].14.2018·成都诊断已知函数fx=x2+ax+3-a,若x∈[-22],fx≥0恒成立,求a的取值范围.解fx=2--a+3,令fx在[-22]上的最小值为ga.1当--2,即a4时,ga=f-2=7-3a≥0,∴a≤.又a4,∴a不存在.2当-2≤-≤2,即-4≤a≤4时,ga=f=--a+3≥0,∴-6≤a≤
2.又-4≤a≤4,∴-4≤a≤
2.3当-2,即a-4时,ga=f2=7+a≥0,∴a≥-
7.又a-4,∴-7≤a-
4.综上可知,a的取值范围为[-72].1.设函数fx=ax2+bx+cabc的图象经过点Am1,fm1和点Bm2,fm2,f1=
0.若a2+[fm1+fm2]·a+fm1·fm2=0,则 A.b≥0B.b0C.3a+c≤0D.3a-c0解析选A 由f1=0可得a+b+c=0,若a≤0,由abc,得a+b+c0,这与a+b+c=0矛盾,故a0,若c≥0,则有b0,a0,此时a+b+c0,这与a+b+c=0矛盾;所以c0成立,因为a2+[fm1+fm2]·a+fm1·fm2=0,所以a+fm1a+fm2=0,所以m1,m2是方程fx=-a的两个根,Δ=b2-4aa+c=bb+4a=b3a-c≥0,而a0,c0,所以3a-c0,所以b≥
0.2.设函数fx=2ax2+2bx,若存在实数x0∈0,t,使得对任意不为零的实数a,b,均有fx0=a+b成立,则t的取值范围是________.解析因为存在实数x0∈0,t,使得对任意不为零的实数a,b,均有fx0=a+b成立,所以2ax2+2bx=a+b等价于2x-1b=1-2x2a.当x=时,左边=0,右边≠0,即等式不成立,故x≠;当x≠时,2x-1b=1-2x2a等价于=,设2x-1=k,因为x≠,所以k≠0,则x=,则==.设gk=,则函数gk在-10,02t-1上的值域为R.又因为gk在-∞,0,0,+∞上单调递减,所以gk在-1,0,02t-1上单调递减,故当k∈-10时,gkg-1=-1;当k∈02t-1时,gkg2t-1=,故要使值域为R,则g2t-1g-1,即-2t-1-2,解得t
1.答案1,+∞高考研究课二指数函数的2类考查点——图象、性质[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度指数函数的图象5年3考指数函数图象的应用指数函数的性质5年3考比较大小、求值指数函数的图象及应用[典例] 1函数fx=的大致图象是 22018·广州模拟若存在负实数使得方程2x-a=成立,则实数a的取值范围是 A.2,+∞ B.0,+∞C.02D.01[解析] 1因为f-x===fx,所以函数fx为偶函数,所以排除A、D项.当x=0时,y=0,故排除B项,选C.2在同一坐标系内分别作出函数y=和y=2x-a的图象,则由图知,当a∈02时符合要求.[答案] 1C 2C[方法技巧]指数函数图象问题的求解策略1画指数函数y=axa0,a≠1的图象,应抓住三个关键点1,a,01,.2与指数函数有关函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.3一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. [即时演练]1.函数fx=2|x-1|的图象是 解析选B 由题意得fx=结合图象知,选B.2.2018·衡水模拟若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是________.解析曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图可知如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-11].答案[-11]指数函数的性质角度一比较大小或解不等式1.2018·滕州模拟下列各式比较大小正确的是 A.
1.
72.
51.73B.
0.6-
10.62C.
0.8-
0.
11.
250.2D.
1.
70.
30.
93.1解析选B A中,∵函数y=
1.7x在R上是增函数,
2.53,∴
1.
72.
51.73,故A错误;B中,∵y=
0.6x在R上是减函数,-12,∴
0.6-
10.62,故B正确;C中,∵
0.8-1=
1.25,∴问题转化为比较
1.
250.1与
1.
250.2的大小.∵y=
1.25x在R上是增函数,
0.
10.2,∴
1.
250.
11.
250.2,即
0.8-
0.
11.
250.2,故C错误;D中,∵
1.
70.
3100.
93.11,∴
1.
70.
30.
93.1,故D错误.2.2018·绍兴模拟设偶函数fx满足fx=2x-4x≥0,则{x|fx-20}= A.{x|x-2或x4}B.{x|x0或x4}C.{x|x0或x6}D.{x|x-2或x2}解析选B ∵fx为偶函数,当x0时,fx=f-x=2-x-
4.∴fx=若fx-20,则有或解得x4或x
0.[方法技巧]1比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小.2有关指数不等式问题,应注意a的取值,及结合指数函数的性质求解. 角度二与指数函数有关的函数值域问题3.已知0≤x≤2,则y=4x--3·2x+5的最大值为________.解析令t=2x,∵0≤x≤2,∴1≤t≤4,又y=22x-1-3·2x+5,∴y=t2-3t+5=t-32+,∵1≤t≤4,∴t=1时,ymax=.答案[方法技巧]形如y=a2x+b·ax+ca0,且a≠1型函数最值问题多用换元法,即令t=ax转化为y=t2+bt+c的最值问题,注意根据指数函数求t的范围. 角度三与指数函数有关的单调性问题4.若函数fx=a|2x-4|a0,且a≠1,满足f1=,则fx的单调递减区间是 A.-∞,2]B.[2,+∞C.[-2,+∞D.-∞,-2]解析选B 由f1=,得a2=,解得a=或a=-舍去,即fx=|2x-4|.由于y=|2x-4|在-∞,2]上递减,在[2,+∞上递增,所以fx在-∞,2]上递增,在[2,+∞上递减,故选B.5.已知函数fx=a|x+1|a0,且a≠1的值域为[1,+∞,则f-4与f1的大小关系是________________.解析∵|x+1|≥0,函数fx=a|x+1|a0,且a≠1的值域为[1,+∞,∴a
1.由于函数fx=a|x+1|在-1,+∞上是增函数,且它的图象关于直线x=-1对称,则函数在-∞,-1上是减函数,故f1=f-3,f-4f1.答案f-4f1[方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成,要注意数形结合思想的运用. 角度四与指数函数有关的最值与参数问题6.设x,y∈R,a1,b1,若ax=by=3,a+b=2,则+的最大值为 A.2B.C.1D.解析选C 由ax=by=3,可得a=3,b=3,所以2=a+b=3+3≥2,则+≤1,当且仅当x=y时,等号成立.故+的最大值为
1.7.已知函数fx=若函数gx=fx+3m有3个零点,则实数m的取值范围是________.解析因为函数gx=fx+3m有3个零点,所以函数y=fx的图象与直线y=-3m有三个不同的交点,作出函数y=fx=的图象如图所示,则0-3m1,所以-x
0.答案1.2013·全国卷Ⅱ若存在正数x使2xx-a1成立,则a的取值范围是 A.-∞,+∞B.-2,+∞C.0,+∞D.-1,+∞解析选D 法一不等式2xx-a1可变形为x-ax.在同一平面直角坐标系内作出直线y=x-a与y=x的图象.由题意,在0,+∞上,直线有一部分在曲线的下方.观察可知,有-a1,所以a-1,选D.法二由2xx-a1得ax-.令fx=x-,即afx有解,则afxmin.又y=fx在0,+∞上递增,所以fxf0=-1,所以a-1,选D.2.2017·全国卷Ⅲ设函数fx=则满足fx+f1的x的取值范围是________.解析由题意知,可对不等式分x≤00x≤,x讨论.当x≤0时,原不等式为x+1+x+1,解得x-,∴-x≤
0.当0x≤时,原不等式为2x+x+1,显然成立.当x时,原不等式为2x+2x-1,显然成立.综上可知,x的取值范围是.答案3.2015·江苏高考不等式2x2-x<4的解集为________.解析∵2x2-x<4,∴2x2-x<22,∴x2-x<2,即x2-x-2<0,∴-1<x<
2.答案{x|-1<x<2}4.2015·山东高考已知函数fx=ax+ba0,a≠1的定义域和值域都是[-10],则a+b=________.解析当a1时,函数fx=ax+b在上为增函数,由题意得无解.当0a1时,函数fx=ax+b在[-10]上为减函数,由题意得解得所以a+b=-.答案-
一、选择题1.在同一直角坐标系中,函数fx=2x+1与gx=x-1的图象关于 A.y轴对称 B.x轴对称C.原点对称D.直线y=x对称解析选A ∵gx=21-x=f-x,∴fx与gx的图象关于y轴对称.2.若当x∈R时,函数fx=a|x|始终满足0|fx|≤1,则函数y=loga的图象大致为 解析选B 因为当x∈R时,|x|≥0,又函数fx=a|x|始终满足0|fx|≤1,所以0a
1.因为y=loga是偶函数,图象关于y轴对称,且y=在0,+∞上是减函数,y=logax在0,+∞上是减函数,所以由复合函数的单调性可知函数y=loga在0,+∞上是增函数,故选B.3.已知a=
21.2,b=-
0.2,c=2log52,则a,b,c的大小关系为 A.bacB.cabC.cbaD.bca解析选C ∵b=-
0.2=
20.
221.2=a,∴ab
1.又∵c=2log52=log541,∴cba.4.2018·东北三校联考函数fx=ax-1a0,且a≠1的图象恒过点A,下列函数中图象不经过点A的是 A.y=B.y=|x-2|C.y=2x-1D.y=log22x解析选A 由题知A11.把点A11代入四个选项,选项A,y=的图象不经过点A.5.2018·广西质量检测若xlog52≥-1,则函数fx=4x-2x+1-3的最小值为 A.-4B.-3C.-1D.0解析选A ∵xlog52≥-1,∴2x≥,则fx=4x-2x+1-3=2x2-2×2x-3=2x-12-
4.当2x=1时,fx取得最小值-
4.6.已知函数fx=|2x-1|,abc,且fafcfb,则下列结论中,一定成立的是 A.a0,b0,c0B.a0,b≥0,c0C.2-a2cD.2a+2c2解析选D 作出函数fx=|2x-1|的图象如图中实线所示,又abc,且fafcfb,结合图象知fa1,a0,c0,∴02a12c1,∴fa=|2a-1|=1-2a,fc=|2c-1|=2c-
1.又fafc,即1-2a2c-1,∴2a+2c
2.7.2018·东北三校联考若关于x的方程|ax-1|=2aa0,且a≠1有两个不等实根,则a的取值范围是 A.01∪1,+∞B.01C.1,+∞D.解析选D 方程|ax-1|=2aa0,且a≠1有两个实数根转化为函数y=|ax-1|与y=2a有两个交点.
①当0a1时,如图
①,∴02a1,即0a;
②当a1时,如图
②,而y=2a1不符合要求.∴0a.8.定义一种运算a⊗b=已知函数fx=2x⊗3-x,那么函数y=fx+1的大致图象是 解析选B 由题意可得fx=2x⊗3-x=所以fx+1=则大致图象为B.
二、填空题9.2018·济宁模拟若函数fx=axa0,且a≠1在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数gx=1-4m在[0,+∞上是增函数,则a=________.解析若a1,有a2=4,a-1=m,此时a=2,m=,此时gx=-为减函数,不合题意.若0a1,有a-1=4,a2=m,故a=,m=,检验知符合题意.答案10.已知函数fx=2|2x-m|m为常数,若fx在区间[2,+∞上是增函数,则m的取值范围是________.解析令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间上单调递增,在区间上单调递减,而y=2t为R上的增函数,所以要使函数fx=2|2x-m|在[2,+∞上单调递增,则有≤2,即m≤4,所以m的取值范围是-∞,4].答案-∞,4]11.2017·徐州二模已知函数fx=b·ax其中a,b为常数,且a0,a≠1的图象经过点A16,B324.若不等式x+x-m≥0在x∈-∞,1]上恒成立,则实数m的最大值为________.解析把A16,B324代入fx=b·ax,得结合a0,且a≠1,解得要使x+x≥m在x∈-∞,1]上恒成立,只需保证函数y=x+x在-∞,1]上的最小值不小于m即可.因为函数y=x+x在-∞,1]上为减函数,所以当x=1时,y=x+x有最小值.所以只需m≤即可.所以m的最大值为.答案12.2018·湖南八校联考对于给定的函数fx=ax-a-xx∈R,a0,且a≠1,下面给出五个命题,其中真命题是________.填序号
①函数fx的图象关于原点对称;
②函数fx在R上不具有单调性;
③函数f|x|的图象关于y轴对称;
④当0a1时,函数f|x|的最大值是0;
⑤当a1时,函数f|x|的最大值是
0.解析∵f-x=-fx,∴fx为奇函数,fx的图象关于原点对称,
①是真命题;当a1时,fx在R上为增函数,当0a1时,fx在R上为减函数,
②是假命题;y=f|x|是偶函数,其图象关于y轴对称,
③是真命题;当0a1时,y=f|x|在-∞,0上为增函数,在[0,+∞上为减函数,∴当x=0时,y=f|x|的最大值为0,
④是真命题;当a1时,f|x|在-∞,0上为减函数,在[0,+∞上为增函数,∴当x=0时,y=f|x|的最小值为0,
⑤是假命题.综上,真命题是
①③④.答案
①③④
三、解答题13.已知函数fx=是偶函数.1求实数m的值;2若关于x的不等式2k·fx3k2+1在-∞,0上恒成立,求实数k的取值范围.解1因为函数fx=是定义在R上的偶函数,所以有f-x=fx,即=,即=,故m=
1.2因为fx=03k2+10,且2k·fx3k2+1在-∞,0上恒成立,故原不等式等价于在-∞,0上恒成立,又因为x∈-∞,0,所以fx∈2,+∞,从而∈,故≥,解得≤k≤1,所以实数k的取值范围为.14.设函数fx=ax-k-1a-xa0,且a≠1是定义域为R的奇函数.1求k的值;2若f10,试判断y=fx的单调性不需证明,并求使不等式fx2+tx+f4-x0恒成立的t的取值范围;3若f1=,gx=a2x+a-2x-2fx,求gx在[1,+∞上的最小值.解1∵fx是定义域为R的奇函数,∴f0=0,∴1-k-1=0,∴k=
2.2由1知fx=ax-a-xa0,且a≠1,∵f10,∴a-
0.又a0,且a≠1,∴0a1,∴y=ax在R上单调递减,y=-a-x在R上单调递减,故fx在R上单调递减,故不等式化为fx2+txfx-4,∴x2+txx-4,即x2+t-1x+40恒成立,∴Δ=t-12-160,解得-3t
5.∴符合题意的t的取值范围为-35.3∵f1=,∴a-=,即2a2-3a-2=0,∴a=2或a=-舍去,gx=22x+2-2x-22x-2-x=2x-2-x2-22x-2-x+2,令t=2x-2-x,∵t=2x-2-x在[1,+∞上单调递增,∴t∈.∴设ht=t2-2t+2=t-12+1,t∈,∴htmin=h=.即gx在[1,+∞上的最小值为.1.设函数fx=ax+bx-cx,其中ca0,cb
0.若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论中正确的个数是
①对于∀x∈-∞,1,都有fx0;
②存在x0,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三边长;
③若△ABC为钝角三角形,则存在x∈12,使fx=
0.A.3B.2C.1D.0解析选A
①因为a,b,c是△ABC的三条边长,所以a+bc,因为ca0,cb0,所以0101,当x∈-∞,1时,fx=ax+bx-cx=cxx+x-1cx=cx·0,故
①正确;
②令a=2,b=3,c=4,则a,b,c可以构成三角形,但a2=4,b2=9,c2=16却不能构成三角形,所以
②正确;
③已知ca0,cb0,若△ABC为钝角三角形,则a2+b2-c20,因为f1=a+b-c0,f2=a2+b2-c20,根据零点存在性定理可知在区间12上存在零点,所以存在x∈12,使fx=0,故
③正确.2.2018·广东五校联考已知e为自然对数的底数,若对任意的x1∈
[01],总存在唯一的x2∈[-11],使得x1+xex2-a=0成立,则实数a的取值范围是 A.[1,e]B.1,e]C.D.解析选C 令fx1=a-x1,则fx1=a-x1在x1∈
[01]上单调递减,且f0=a,f1=a-
1.令gx2=xex2,则g′x2=2x2ex2+xex2=x2ex2x2+2,且g0=0,g-1=,g1=e.若对任意的x1∈
[01],总存在唯一的x2∈[-11],使得x1+xex2-a=0成立,即fx1=gx2,则fx1=a-x1的最大值不能大于gx2的最大值,即f0=a≤e,因为gx2在[-10]上单调递减,在01]上单调递增,所以当gx2∈时,存在两个x2使得fx1=gx2.若只有唯一的x2∈[-11],使得fx1=gx2,则fx1的最小值要比大,所以f1=a-1,即a1+,故实数a的取值范围是,故选C.3.2018·湖南六校联考已知实数a0,函数fx=若关于x的方程f[-fx]=e-a+有三个不等的实根,则实数a的取值范围是 A.B.C.D.解析选B 当x≤0时,令fx=e-a+,即ex-1=e-a,得x=1-a;当x0时,令fx=e-a+得ex-1+x2-a+1x+=e-a+,显然方程无解,所以1-a≤0,即a≥1,因为f[-fx]=e-a+,所以-fx=1-a,即fx=a-1,所以方程fx=a-1有三解,当x≤0时,fx在-∞,0上单调递增,且当x→-∞时,fx→,当x0时,f′x=ex-1+ax-a-1,所以f′x是增函数,且f′1=0,所以fx在01上单调递减,在1,+∞上单调递增,又f1=0,当x→+∞时,fx→+∞,作出fx的大致图象如图所示,因为方程fx=a-1有三解,所以a-1+,解得2a2+.高考研究课三对数函数的2类考查点——图象、性质[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度对数函数的图象5年1考对数函数的应用对数函数的性质5年5考对数函数的单调性、大小比较对数函数的图象及应用[典例] 1函数fx=loga|x|+10a1的图象大致为 22018·成都一诊设fx=|lnx+1|,已知fa=fbab,则 A.a+b0 B.a+b1C.2a+b0D.2a+b1[解析] 1由函数fx的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于y轴对称.设gx=loga|x|,先画出x0时,gx的图象,然后根据gx的图象关于y轴对称画出x0时gx的图象,最后由函数gx的图象向上整体平移一个单位即得fx的图象,结合图象知选A.2作出函数fx=|lnx+1|的图象如图所示,由fa=fb,得-lna+1=lnb+1,即ab+a+b=
0.所以0=ab+a+b+a+b,即a+ba+b+40,显然-1a0,b0,∴a+b+
40.∴a+b
0.故选A.[答案] 1A 2A[方法技巧]应用对数型函数的图象可求解的2类问题1对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性单调区间、值域最值、零点时,常利用数形结合思想.2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. [即时演练]1.函数y=ln的图象大致为 解析选A 易知2x-3≠0,即x≠,排除C、D.当x时,函数为减函数,当x时,函数为增函数,所以选A.2.若log6a=log7b,则a,b1的大小关系可能是 A.ab1B.b1aC.a1bD.1ab解析选D 作出函数y=log6x与y=log7x的大致图象如图所示,因为log6a=log7b,所以由图象可得1ab或0ba1,故选D.3.已知fx=若a,b,c,d互不相等,且fa=fb=fc=fd,则a+b+c+d的取值范围为________.解析作出函数fx的图象,如图所示,令abcd,因为fa=fb,即|log2a|=|log2b|,则-log2a=log2b,所以ab=1,则a+b2=2,当fa=fb=1时,可得a+b=,所以2a+b;当x2时,fx=x2-x+5的对称轴为x=4,又f2=×22-×2+5=1,且fc=fd,所以c+d=8,所以a+b+c+d∈.答案对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式考查,难度低、中、高档都有.常见的命题角度有1比较大小与求值;2与对数函数有关的单调性;3由对数的单调性求参数或自变量的取值范围;4对数函数性质的综合问题.角度一比较大小与求值1.若a=
30.3,b=logπ3,c=log
0.3e,则a,b,c的大小关系为 A.abcB.bacC.cabD.bca解析选A 由指数函数的性质可得a=
30.31,由对数函数的性质可得b=logπ3∈01,c=log
0.3e0,所以abc.2.设函数fx=若fa>f-a,则实数a的取值范围是________________.解析由fa>f-a得或即或解得a>1或-1<a<
0.答案-10∪1,+∞[方法技巧]对数函数值大小比较的3种方法单调性法在同底的情况下直接得到大小关系,若不同底,先化为同底中间量过渡法寻找中间数联系要比较的两个数,一般是用“0”,“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法根据图象观察得出大小关系角度二与对数函数有关的单调性3.若函数fx=logaa0,a≠1在区间内恒有fx0,则fx的单调递增区间为 A.0,+∞B.2,+∞C.1,+∞D.解析选A 令M=x2+x,当x∈时,M∈1,+∞,因为fx0,所以a
1.所以函数y=logaM为增函数,又M=2-,因此M的单调递增区间为.又x2+x0,所以x0或x-.所以函数fx的单调递增区间为0,+∞.4.函数fx=logx2-2x的单调递减区间是________.解析由题意得,x2-2x0,则x0或x2,即函数的定义域为-∞,0∪2,+∞,令t=x2-2x,则原函数可化为y=logt,因为y=logt是减函数,t=x2-2x在2,+∞上是增函数,所以函数fx=logx2-2x的单调递减区间是2,+∞.答案2,+∞[方法技巧]解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤角度三由对数的单调性求参数或自变量的取值范围5.函数fx=logaax-3a0,且a≠1在
[13]上单调递增,则a的取值范围是 A.1,+∞B.01C.D.3,+∞解析选D 由于a0,且a≠1,∴u=ax-3为增函数,∴若函数fx为增函数,则fx=logau必为增函数,因此a
1.又u=ax-3在
[13]上恒为正,∴a-30,解得a3,∴a的取值范围为3,+∞.6.已知不等式logx2x2+1logx3x0成立,则实数x的取值范围是________.解析原不等式⇔
①或
②,解不等式组
①得x,不等式组
②无解,所以实数x的取值范围为.答案[方法技巧]解决简单的对数不等式,应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解. 角度四对数函数性质的综合问题7.已知函数fx=log2是奇函数,则使fx0的x的取值范围是 A.-10B.01C.-∞,0D.-∞,0∪1,+∞解析选A 由f-x=-fx,得log2=-log2,所以+t=,整理得1-x2=2+t2-t2x2,可得t2=1且t+22=1,所以t=-1,则fx=log20,即解得-1x
0.8.2018·盐城中学月考已知函数fx=loga0a1为奇函数,当x∈-1,a]时,函数fx的值域是-∞,1],则a+b的值为________.解析由0,解得-bx1b0.又奇函数定义域关于原点对称,故b=
1.所以fx=loga0a1.又gx==-1+在-1,a]上单调递减,0a1,所以fx在-1,a]上单调递增.又因为函数fx的值域是-∞,1],故fa=1,此时ga=a,即=a,解得a=-1负根舍去,所以a+b=.答案[方法技巧]解决对数函数综合问题的3个注意点1要分清函数的底数是a∈01,还是a∈1,+∞;2确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义域上进行;3转化时一定要注意对数问题转化的等价性. 1.2017·全国卷Ⅰ设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则 A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x5z解析选D 设2x=3y=5z=k1,∴x=log2k,y=log3k,z=log5k.∵2x-3y=2log2k-3log3k=-===0,∴2x3y;∵3y-5z=3log3k-5log5k=-===0,∴3y5z;∵2x-5z=2log2k-5log5k=-===0,∴5z2x.∴5z2x3y.2.2016·全国卷Ⅰ若ab10c1,则 A.acbcB.abcbacC.alogbcblogacD.logaclogbc解析选C 对于选项A,考虑幂函数y=xc,因为c0,所以y=xc为增函数,又ab1,所以acbc,A错.对于选项B,abcbac⇔c,又y=x是减函数,所以B错.对于选项D,由对数函数的性质可知D错,故选C.3.2015·全国卷Ⅱ设函数fx=ln1+|x|-,则使得fxf2x-1成立的x的取值范围是 A.B.∪1,+∞C.D.∪解析选A ∵f-x=ln1+|-x|-=fx,∴函数fx为偶函数.∵当x≥0时,fx=ln1+x-,在0,+∞上y=ln1+x递增,y=-也递增,根据单调性的性质知,fx在0,+∞上单调递增.综上可知fxf2x-1⇔f|x|f|2x-1|⇔|x||2x-1|⇔x22x-12⇔3x2-4x+10⇔x
1.故选A.4.2013·全国卷Ⅱ设a=log36,b=log510,c=log714,则 A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c解析选D a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,则只要比较log32,log52,log72的大小即可,在同一坐标系中作出函数y=log3x,y=log5x,y=log7x的图象,由三个图象的相对位置关系,可知a>b>c,故选D.
一、选择题1.已知lga+lgb=0a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,则函数fx=ax与gx=-logbx的图象可能是 解析选B 因为lga+lgb=0,所以lgab=0,所以ab=1,即b=,故gx=-logbx=-logx=logax,则fx与gx互为反函数,其图象关于直线y=x对称,结合图象知B正确.故选B.2.2017·西安二模若函数y=log2mx2-2mx+3的定义域为R,则实数m的取值范围是 A.03 B.[03C.03]D.
[03]解析选B 由题意知mx2-2mx+30恒成立.当m=0时,30,符合题意;当m≠0时,只需解得0m
3.综上0≤m3,故选B.3.若偶函数fx在-∞,0]上单调递减,a=flog23,b=flog45,c=f2,则a,b,c满足 A.abcB.bacC.cabD.cba解析选B 由偶函数fx在-∞,0]上单调递减,得fx在0,+∞上单调递增,又22log23log450,所以bac.
4.2018·张家界模拟已知函数fx=loga2x+b-1a0,且a≠1的图象如图所示,则a,b满足的关系是 A.0a-1b1 B.0ba-11C.0b-1a1D.0a-1b-11解析选A 令gx=2x+b-1,这是一个增函数,而由图象可知函数fx=logagx是单调递增的,所以必有a
1.又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于-1和0之间,即-1f00,所以-1logab0,故a-1b1,因此0a-1b
1.故选A.5.2018·济宁质检设函数fx=loga|x|在-∞,0上单调递增,则fa+1与f2的大小关系是 A.fa+1f2 B.fa+1f2C.fa+1=f2D.不能确定解析选A 因为fx=loga|x|在-∞,0上单调递增,所以0a1,所以1a+12,而fx在0,+∞上单调递减,所以有fa+1f2.6.已知ab0,a+b=1,x=-b,y=logab,z=logb,则x,y,z的大小关系为 A.xzyB.xyzC.zyxD.x=yz解析选B 因为ab0,a+b=1,所以1ab0,所以10ab,+=4,所以x=-b-1,y=logab=-1,z=logb∈-10,所以xyz.7.2017·深圳二模已知函数fx=|lgx|.若0ab,且fa=fb,则a+2b的取值范围是 A.2,+∞B.[2,+∞C.3,+∞D.[3,+∞解析选C fx=|lgx|的图象如图所示,由题知fa=fb,则有0a1b,∴fa=|lga|=-lga,fb=|lgb|=lgb,即-lga=lgb,则a=,∴a+2b=2b+.令gb=2b+,g′b=2-,显然当b∈1,+∞时,g′b0,∴gb在1,+∞上为增函数,∴gb=2b+3,故选C.8.设a,b,c∈R且c≠0,x
1.53567891427lgx2a+ba+ba-c+1b+ca+2b+c3c-a2a+bb-a3a+b若上表中的对数值恰有两个是错误的,则a的值为 A.lgB.lgC.lgD.lg解析选B 由题意可得lg3=a+b,lg9=2a+b,lg27=3a+b正确,lg5=a-c+1⇒lg2=c-a,lg6=b+c⇒lg2=c-a,lg8=3c-a⇒lg2=c-a,故这三个都正确;此时,lg
1.5=lg3-lg2=2a+b-c≠2a+b,所以表中lg
1.5错误;lg7=a+2b+c=a+b+b+c=lg3+lg6=lg18,显然错误;故表中lg14=b-a是正确的.综上,lg2=c-a,lg3=a+b,lg14=b-a,所以a=lg3-lg14=lg.
二、填空题9.若log2x=-log22y,则x+2y的最小值是________.解析由log2x=-log22y,可得2xy=1,且x,y均为正数,则x+2y≥2=2,当且仅当x=2y,即x=1,y=时,等号成立,故x+2y的最小值是
2.答案210.2017·湛江一模已知函数fx=logaa0,且a≠1是奇函数,则函数fx的定义域为________.解析因为fx为奇函数,所以fx+f-x=0,即loga+loga=0,化简得m2-1x2=4mm-1对定义域上的每一个x都成立,所以m=1,此时fx=loga.由0,解得-1x
1.答案-1111.2018·武汉模拟若函数fx=logax2-ax+5a0,且a≠1满足对任意的x1,x2,当x1x2≤时,fx2-fx10,则实数a的取值范围为________.解析当x1x2≤时,fx2-fx10,即函数fx在区间上为减函数,设gx=x2-ax+5,则解得1a
2.答案1212.已知fx是定义在R上的偶函数,且当x0时,fx=lg,若对任意实数t∈,都有ft+a-ft-1≥0恒成立,则实数a的取值范围为________.解析设u==1-,其在0,+∞上是增函数,则fu=lgu在0,+∞上是增函数,所以复合函数fx=lg在0,+∞上是增函数.又因为fx是定义在R上的偶函数,所以ft+a-ft-1≥0等价于ft+a≥ft-1,即|t+a|≥|t-1|,对任意实数t∈恒成立,两边平方化简可得2a+1t+a2-1≥0恒成立,令gt=2a+1t+a2-1,则解得a≤-3或a≥
0.答案-∞,-3]∪[0,+∞
三、解答题13.2018·枣庄模拟设x∈
[28]时,函数fx=logaax·logaa2xa0,且a≠1的最大值是1,最小值是-,求实数a的值.解fx=logax+1logax+2=[logax2+3logax+2]=2-.当fx取最小值-时,logax=-.∵x∈
[28],∴a∈01.∵fx是关于logax的二次函数,∴fx的最大值必在x=2或x=8处取得.若2-=1,则a=2-,此时fx取得最小值时,x=-=∉
[28],舍去;若2-=1,则a=,此时fx取得最小值时,x=-=2∈
[28],符合题意.∴a=.14.已知flog2x=ax2-2x+1-a,a∈R.1求fx;2解关于x的方程fx=a-1·4x;3设hx=2-xfx,a≥时,对任意x1,x2∈[-11]总有|hx1-hx2|≤成立,求实数a的取值范围.解1令log2x=t,即x=2t,则ft=a·2t2-2·2t+1-a,即fx=a·22x-2·2x+1-a.2由fx=a-1·4x,化简得22x-2·2x+1-a=0,即2x-12=a,当a0时,方程无解,当a≥0时,解得2x=1±,若0≤a1,则x=log21±,若a≥1,则x=log21+.3对任意x1,x2∈[-11]总有|hx1-hx2|≤成立,等价于当x∈[-11]时,hmax-hmin≤,由已知得,hx=a·2x+-2,令2x=t,则y=at+-2,t∈,令gt=at+-2,t∈,
①当a≥1时,gt=at+-2,t∈单调递增,此时gtmax=g2=,gtmin=g=-,gtmax-gtmin=≤,解得a≤舍去.
②当≤a1时,gt=at+-2,t∈单调递增,此时gtmax=g2=,gtmin=g=-,gtmax-gtmin=≤,解得a≤,∴a=.
③当≤a时,gt=at+-2,t∈,在上单调递减,在上单调递增,且g2≥g,∴gtmax=g2=,gtmin=g=2-2,∴gtmax-gtmin=-2-2≤即a≤,∴≤a.综上,实数a的取值范围为.1.已知函数fx=若存在三个不同的实数a,b,c,使得fa=fb=fc,则a+b+c的取值范围为________.解析当x∈[0,π时,fx=cos=sinx,∴fx在0,π上关于x=对称,且fxmax=1;又当x∈[π,+∞时,fx=log2017是增函数,作出y=fx的函数图象如图所示.令log2017=1得x=2017π,∵fa=fb=fc,∴a+b=π,c∈π,2017π,∴a+b+c=π+c∈2π,2018π.答案2π,2018π2.2017·江苏高考设fx是定义在R上且周期为1的函数,在区间[01上,fx=其中集合D=,则方程fx-lgx=0的解的个数是________.解析由于fx∈[01,因此只需考虑1≤x10的情况,在此范围内,当x∈Q且x∉Z时,设x=,q,p∈N*,p≥2且p,q互质.若lgx∈Q,则由lgx∈01,可设lgx=,m,n∈N*,m≥2且m,n互质,因此10=,则10n=m,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾,因此lgx∉Q,故lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等,只需考虑lgx与每个周期内x∉D部分的交点.画出函数草图如图,图中交点除10外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期x∉D的部分,且x=1处lgx′==1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程fx-lgx=0的解的个数为
8.答案8高考研究课四函数图象的3个常考方式——作图、识图、用图[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度作图未考查识图5年5考图的识别与判断用图5年4考函数图象的应用作图[典例] 分别作出下列函数的图象1y=|lgx|;2y=2x+2;3y=x2-2|x|-
1.[解] 1y=图象如图1所示.2将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图2所示.3y=图象如图3所示. [方法技巧]作函数图象的2种常用方法1直接法当函数表达式或变形后的表达式是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征直接作出.2图象变换法若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序. [即时演练]作出下列函数的图象1y=|x|;2y=|log2x+1|;3y=.解1作出y=x的图象,保留y=x图象中x≥0的部分,加上y=x的图象中x≥0部分关于y轴的对称部分,即得y=|x|的图象,如图实线部分.2将函数y=log2x的图象向左平移1个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2x+1|的图象,如图所示.3∵y==2+,故函数图象可由y=的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位而得,如图.识图[典例] 1函数y=sinx-的图象大致为 22018·安庆模拟如图,已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1m的圆O沿l1以1m/s的速度匀速竖直向上移动,且在t=0时,圆O与l2相切于点A,圆O被直线l2所截得到的两段圆弧中,位于l2上方的圆弧的长记为x,令y=cosx,则y与时间t0≤t≤1,单位s的函数y=ft的图象大致为 [解析] 1易得函数y=sinx-是奇函数,即图象关于原点对称,故排除D;令x=,则y=1-0,故排除C;y′=cosx+,显然,当x∈时,y′0,即函数y=sinx-在上是增函数,因此,排除A,故选B.2法一如图,设∠MON=α,由弧长公式知x=α,在Rt△AOM中,|AO|=1-t,cos==1-t,∴y=cosx=2cos2-1=2t-12-10≤t≤1.故其对应的大致图象应为B.法二由题意可知,当t=1时,圆O在直线l2上方的部分为半圆,所对应的弧长为π×1=π,所以cosπ=-1,排除A,D;当t=时,如图所示,易知∠BOC=,所以cos=-0,排除C,故选B.[答案] 1B 2B[方法技巧]识别函数图象的策略1从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;2从函数的单调性,判断图象的变化趋势;3从函数的奇偶性,判断图象的对称性;4从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项. [即时演练]1.函数y=x5-xex的图象大致为 解析选B 令x=2,可得y=32-2e20,故选B.2.函数y=的图象大致为 解析选A 由y==-1,可知x≠1,y≠-1,故选A.3.现有四个函数
①y=x·sinx,
②y=x·cosx,
③y=x·|cosx|,
④y=x·2x的部分图象如图,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号正确的排列是________.解析由函数的奇偶性可知,
①y=x·sinx是偶函数,对应第一个图;
④y=x·2x既不是奇函数也不是偶函数,是第二个图;
③y=x·|cosx|是奇函数,当x0时,y=x·|cosx|≥0,故图象是第四个图,因此
②y=x·cosx的图象是第三个图,故正确的排列为
①④②③.答案
①④②③图象的应用函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.常见的命题角度有1确定方程根的个数;2求参数的取值范围;3求不等式的解集;4研究函数的性质;5利用函数对称性求值.角度一确定方程根的个数1.已知fx=则方程2f2x-3fx+1=0解的个数是________.解析方程2f2x-3fx+1=0的解为fx=或
1.作出y=fx的图象,由图象知方程解的个数为
5.答案5角度二求参数的取值范围2.已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________.解析由题意,y=fx=作出函数fx的图象如图所示,结合图象知,若函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则0k1,或1k
2.答案01∪12角度三求不等式的解集3.2018·成都模拟设奇函数fx在0,+∞上为增函数且f1=0,则不等式0的解集为 A.-10∪1,+∞ B.-∞,-1∪01C.-∞,-1∪1,+∞D.-10∪01解析选D 因为fx为奇函数,所以不等式0化为0,即xfx0,fx的大致图象如图所示.所以xfx0的解集为-10∪01.角度四研究函数的性质4.设函数fx是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有fx+1=fx-1,已知当x∈
[01]时,fx=1-x,则有下列命题
①2是函数fx的周期;
②函数fx在12上递减,在23上递增;
③函数fx的最大值是1,最小值是0;
④当x∈34时,fx=x-
3.其中所有正确命题的序号是________.解析由已知条件得fx+2=fx,则y=fx是以2为周期的周期函数,
①正确;当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,fx=f-x=1+x,函数y=fx的部分图象如图所示.结合图象知
②正确,
③不正确.当3x4时,-1x-40,fx=fx-4=x-3,因此
④正确.答案
①②④角度五利用函数对称性求值5.已知函数fx=cosx+2x-x0与gx=cosx+log2x+a图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是 A.-∞,-B.C.D.-∞,解析选D 由题意可知,函数fx=cosx+2x-x0关于y对称的函数y=cosx+2-x-x0的图象与gx=cosx+log2x+a的图象有交点,则方程2-x-=log2x+ax0有解,令y=2-x-,y=log2x+a,则这两个函数的图象有交点,分别作出两个函数的图象如图所示,由图象可知当a≤0时,两函数在0,+∞上必有一个交点,当a0时,要满足题意,则log2a,解得0a,故a的取值范围为-∞,.[方法技巧]1研究函数性质时一般要借助于函数图象,体现了数形结合思想;2有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解决;3方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解决. 1.2016·全国卷Ⅰ函数y=2x2-e|x|在[-22]的图象大致为 解析选D ∵fx=2x2-e|x|,x∈[-22]是偶函数,又f2=8-e2∈01,故排除A,B.设gx=2x2-ex,则g′x=4x-ex.又g′00,g′20,∴gx在02内至少存在一个极值点,∴fx=2x2-e|x|在02内至少存在一个极值点,排除C.故选D.2.2015·全国卷Ⅰ设函数y=fx的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f-2+f-4=1,则a= A.-1B.1C.2D.4解析选C 设x,y为y=fx图象上任意一点,则-y,-x在y=2x+a的图象上,所以有-x=2-y+a,从而有-y+a=log2-x指数式与对数式的互化,所以y=a-log2-x,即fx=a-log2-x,所以f-2+f-4=a-log22+a-log24=a-1+a-2=1,解得a=
2.
3.2015·全国卷Ⅱ如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数fx,则y=fx的图象大致为 解析选B 当x∈时,fx=tanx+,图象不会是直线段,从而排除A、C.当x∈时,f=f=1+,f=
2.∵21+,∴ff=f,从而排除D,故选B.4.2014·全国卷Ⅰ如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数fx,则y=fx在[0,π]的图象大致为 解析选B 由题意知,fx=|cosx|·sinx,当x∈时,fx=cosx·sinx=sin2x;当x∈时,fx=-cosx·sinx=-sin2x,故选B.
一、选择题1.函数fx=x2-sin|x|在[-22]上的图象大致为 解析选B 函数fx=x2-sin|x|在[-22]上显然是偶函数,令x=2,可得f2=4-sin23,故排除C、D;当x0时,f′x=2x-cosx,显然存在t∈,使f′t=0,则函数fx上0,t是减函数,在t2上是增函数,故排除A,故选B.
2.已知函数y=fx的图象如图所示,若fx2+2x+1·f[lgx2+10]≤0,则实数x的取值范围是 A.[-20]B.[1,+∞C.-∞,1]D.-∞,-2]∪[0,+∞解析选A 由题意,fx2+2x+1·f[lgx2+10]≤0等价于或即或解得-2≤x≤
0.3.函数fx是周期为4的偶函数,当x∈
[02]时,fx=x-1,则不等式xfx0在-13上的解集为 A.13 B.-11C.-10∪13D.-10∪01解析选C 作出函数fx的图象如图所示.当x∈-10时,由xfx0得x∈-10;当x∈01时,由xfx0得x∈∅;当x∈13时,由xfx0得x∈13.故x∈-10∪13.
4.若函数fx=的图象如图所示,则f-3等于 A.-B.-C.-1D.-2解析选C 由图象可得-a+b=3,ln-1+a=0,得a=2,b=5,∴fx=故f-3=2×-3+5=-1,故选C.5.2018·齐鲁名校模拟已知函数fx=4-x2,函数gxx∈R且x≠0是奇函数,当x0时,gx=log2x,则函数fx·gx的大致图象为 解析选D 易证函数fx=4-x2为偶函数,又gx是奇函数,所以函数fx·gx为奇函数,其图象关于原点对称,排除A、B.又当x0时,gx=log2x,当x1时,gx0,当0x1时,gx0;fx=4-x2,当x2时,fx0,当0x2时,fx0,所以排除C,故选D.6.已知函数fx=a-x21≤x≤2与gx=x+2的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是 A.B.C.[-20]D.
[24]解析选D 因为函数fx=a-x21≤x≤2与gx=x+2的图象上存在关于x轴对称的点,所以函数fx=a-x21≤x≤2与y=-x+2的图象存在交点,所以a-x2=-x+21≤x≤2有解,令hx=a-x2+x-21≤x≤2,则解得2≤a≤4,故选D.7.2017·山东高考已知当x∈
[01]时,函数y=mx-12的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是 A.01]∪[2,+∞B.01]∪[3,+∞C.0,]∪[2,+∞D.0,]∪[3,+∞解析选B 法一在同一直角坐标系中,分别作出函数fx=mx-12=m22与gx=+m的大致图象.分两种情形1当0m≤1时,≥1,如图
①,当x∈
[01]时,fx与gx的图象有一个交点,符合题意;2当m1时,01,如图
②,要使fx与gx的图象在
[01]上只有一个交点,只需g1≤f1,即1+m≤m-12,解得m≥3或m≤0舍去.综上所述,m∈01]∪[3,+∞.法二若m=,则y=x-12,x∈
[01]的值域为
[01],y=+,x∈
[01]的值域为[,1+,所以两个函数图象无交点,故排除C、D;若m=3,则点14是两个函数的公共点,故选B.8.已知函数fx=的图象恰有三对点关于原点成中心对称,则a的取值范围是 A.B.C.D.解析选D 由题意,问题转化为函数y=-3|x+a|+ax0与y=2-x2x0的图象恰有三个公共点,显然a≤0时,不满足条件,当a0时,画出草图如图,方程2-x2=3x+4a,即x2+3x+4a-2=0有两个小于-a的实数根.结合图形,有∴1a.
二、填空题9.2018·绵阳二诊已知函数y=fx及y=gx的图象分别如图所示,方程fgx=0和gfx=0的实根个数分别为a和b,则a+b=____________.解析由图象知fx=0有3个根,分别为0,±mm0,其中1m2,gx=0有2个根,设为n,p,则-2n-1,0p1,由fgx=0,得gx=0或±m,由图象可知当gx所对应的值为0,±m时,其都有2个根,因而a=6;由gfx=0,知fx=n或p,由图象可以看出当fx=n时,有1个根,而当fx=p时,有3个根,即b=1+3=
4.所以a+b=6+4=
10.答案1010.若函数fx=的图象关于点11对称,则实数a=________.解析函数fx==a+x≠1,当a=2时,fx=2,函数fx的图象不关于点11对称,故a≠2,其图象的对称中心为1,a,即a=
1.答案111.设函数fx=|x+a|,gx=x-1,对于任意的x∈R,不等式fx≥gx恒成立,则实数a的取值范围是________.解析作出函数fx与函数gx的图象,如图,要使fx≥gx恒成立,则-a≤1,∴a≥-
1.答案[-1,+∞12.若fx是定义在R上的偶函数,当x≥0时,fx=若方程fx=kx恰有3个不同的根,则实数k的取值范围是________.解析由题意,作出函数fx的图象,如图所示,因为方程fx=kx恰有3个不同的根,所以y=fx与y=kx的图象有3个不同的交点,因此-k≤-或≤k.答案∪
三、解答题13.已知函数fx=x|m-x|x∈R,且f4=
0.1求实数m的值;2作出函数fx的图象并判断其零点个数;3根据图象指出fx的单调递减区间;4根据图象写出不等式fx0的解集.解1∵f4=0,∴4|m-4|=0,即m=
4.2∵fx=x|m-x|=x|4-x|=∴函数fx的图象如图所示.由图象知,函数fx有两个零点.3从图象上观察可知fx的单调递减区间为
[24].4从图象上观察可知不等式fx0的解集为{x|0x4或x4}.14.当x∈12时,不等式x-12logaxa0,且a≠1恒成立,求实数a的取值范围.解设fx=x-12,gx=logaxa0,且a≠1,要使x∈12时,不等式x-12logax恒成立,只需函数fx的图象在gx的图象下方即可.当0a1时,由两函数的图象知,显然不成立;当a1时,如图所示,使x∈12时,不等式x-12logax恒成立,只需f2≤g2,即2-12≤loga2,解得1a≤
2.综上可知,实数a的取值范围为12].1.设函数fx=若fa=fb=fc=fd,其中a,b,c,d互不相等,则对于命题p abcd∈01和命题q a+b+c+d∈[e+e-1-2,e2+e-2-2真假的判断,正确的是 A.p假q真B.p假q假C.p真q真D.p真q假解析选A 不妨设abcd,作出函数fx的图象如图所示,观察图象可得,-2a-1b0,c,ede2,由二次函数的对称性可知,a+b=-2,ab=-1,由fc=fd,即-lnc=lnd,则cd=1,所以abcd=-1,且e+e-1-2a+b+c+de2+e-2-2,因此命题p是假命题,命题q是真命题,故选A.2.已知关于x的二次函数fx=ax2-2bx+1,设点a,b是区域内的随机点,则函数fx在区间[1,+∞上是增函数的概率是 A.B.C.D.解析选C 因为点a,b是区域内的随机点,所以作出可行域如图中三角形ABC所示,面积为
8.因为函数fx在区间[1,+∞上是增函数,所以≤1,且a0,即a≥b,且a0,表示的平面区域为图中阴影部分所示,面积S=×3×3-×2×1=,所以函数fx在区间[1,+∞上是增函数的概率P==.高考研究课五函数零点的命题3角度——求个数、定区间、求参数[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度函数零点的个数未考查函数零点定区间未考查已知函数零点求参数值或范围5年2考已知零点求参数值或范围判断函数零点的个数[典例] 1函数fx=的零点个数为 A.3 B.2C.7D.022018·郑州质量预测已知函数fx=x-cosx,则fx在[02π]上的零点个数为 A.1B.2C.3D.4[解析] 1用“直接法”解题由fx=0得或解得x=-2或x=e.因此函数fx共有2个零点.2用图象法解题作出gx=x与hx=cosx的图象,可以看到其在[02π]上的交点个数为3,所以函数fx在[02π]上的零点个数为3,故选C.[答案] 1B 2C[方法技巧]函数零点个数的3种判断方法直接求零点令fx=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点零点存在性定理利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且fa·fb<0,还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性才能确定函数有多少个零点利用图象交点的个数画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点[即时演练]1.函数fx=sinπcosx在区间[02π]上的零点个数是 A.3B.4C.5D.6解析选C 令fx=0,得πcosx=kπk∈Z⇒cosx=kk∈Z,所以k=01,-
1.若k=0,则x=或x=;若k=1,则x=0或x=2π;若k=-1,则x=π,故零点个数为
5.2.若偶函数fx的图象关于x=1对称,且当x∈
[01]时,fx=x,则函数gx=fx-lg|x|的零点个数为 A.14B.16C.18D.20解析选C 函数gx=fx-lg|x|的零点个数,即为函数y=fx的图象与y=lg|x|的图象的交点个数,由偶函数fx的图象关于x=1对称,且当x∈
[01]时,fx=x,作出函数y=fx的图象与y=lg|x|的图象如图所示,由图象可知,交点个数为
18.3.函数fx=ex+x-2的零点个数为________.解析∵f′x=ex+0,∴fx在R上单调递增,又f0=1-20,f1=e-0,∴函数fx在定义域内有零点且只有一个.答案1确定零点所在区间[典例] 2018·温州十校联考设fx=lnx+x-2,则函数fx的零点所在的区间为 A.01B.12C.23D.34[解析] 法一用“零点存在性定理”解题∵f1=ln1+1-2=-10,f2=ln20,∴f1·f20,∵函数fx=lnx+x-2的图象是连续的,∴函数fx的零点所在的区间是12.法二用“数形结合法”解题函数fx的零点所在的区间转化为函数gx=lnx,hx=-x+2图象交点的横坐标所在的范围,如图所示,可知fx的零点所在的区间为12.[答案] B[方法技巧]确定函数fx的零点所在区间的2种常用方法零点存在性定理首先看函数y=fx在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有fa·fb
0.若有,则函数y=fx在区间a,b内必有零点数形结合法通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断[即时演练]1.二次函数fx=ax2+bx+cx∈R的部分对应值如下表x-3-2-101234y6m-4-6-6-4n6可以判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是 A.-3,-1和24B.-3,-1和-11C.-11和12D.-13和4,+∞解析选A 由表格可得二次函数fx的对称轴为x=,a>
0.又∵f-3·f-1<0,f2·f4<0可得fx的零点所在区间为-3,-1和24,即方程ax2+bx+c=0的两个根所在区间是-3,-1和24.2.下列函数中,在定义域内单调递增,且在区间-11内有零点的函数是 A.y=-x3B.y=2x-1C.y=x2-D.y=log2x+2解析选B 由函数在定义域内是增函数,排除A、C;y=log2x+2,当x=-1时,y=0,所以函数在区间-11内没有零点,排除D,故选B.已知函数零点求参数值或范围 已知函数零点求参数值或范围是常考内容,主要考查零点的应用及数形结合思想与等价转化思想的应用.常见的命题角度有1已知零点求参数值;2已知零点个数求参数范围;3二次函数的零点应用问题.角度一已知零点求参数值1.2018·吉林模拟函数fx=3x-7+lnx的零点位于区间n,n+1n∈N内,则n=________.解析求函数fx=3x-7+lnx的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数值,因为f2=-1+ln2,由于ln2lne=1,所以f20,f3=2+ln3,由于ln31,所以f30,所以函数fx的零点位于区间23内,故n=
2.答案2角度二已知零点个数求参数范围2.已知函数fx=其中e为自然对数的底数,若关于x的方程ffx=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为 A.-∞,0B.-∞,0∪01C.01D.01∪1,+∞解析选B 由ffx=0得fx=1,作出函数fx的图象,如图所示,当a00a1时,直线y=1与函数fx的图象有且只有一个交点,所以实数a的取值范围是-∞,0∪01,故选B.3.已知函数fx=函数gx=2-fx,若函数y=fx-gx恰有4个零点,则实数a的取值范围是________.解析作出函数fx的图象,如图所示,因为gx=2-fx,所以fx-gx=2fx-1=0,所以y=fx-gx恰有4个零点,即函数fx的图象与直线y=1有4个不同的交点,所以观察图象可得解得2a≤
3.答案23]4.2016·山东高考已知函数fx=其中m>
0.若存在实数b,使得关于x的方程fx=b有三个不同的根,则m的取值范围是________.解析作出fx的图象如图所示.当x>m时,x2-2mx+4m=x-m2+4m-m2,∴要使方程fx=b有三个不同的根,则4m-m2<m,即m2-3m>
0.又m>0,解得m>
3.答案3,+∞[方法技巧]由函数零点情况求参数的常用方法1直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.2分离参数法先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.3数形结合法先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 角度三二次函数的零点应用问题5.已知fx=x2+a2-1x+a-2的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a的取值范围.解法一设方程x2+a2-1x+a-2=0的两根分别为x1,x2x1x2,则x1-1x2-10,∴x1x2-x1+x2+10,由根与系数的关系,得a-2+a2-1+10,即a2+a-20,∴-2a
1.故实数a的取值范围为-21.法二函数fx的大致图象如图所示,则有f10,即1+a2-1+a-20,得a2+a-20,∴-2a
1.故实数a的取值范围是-21.[方法技巧]解决与二次函数有关的零点问题的3种方法1利用一元二次方程的求根公式;2利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系;3利用二次函数的图象列不等式组. 1.2017·全国卷Ⅲ已知函数fx=x2-2x+aex-1+e-x+1有唯一零点,则a= A.-B.C.D.1解析选C 法一由fx=x2-2x+aex-1+e-x+1,得f2-x=2-x2-22-x+a[e2-x-1+e-2-x+1]=x2-4x+4-4+2x+ae1-x+ex-1=x2-2x+aex-1+e-x+1,所以f2-x=fx,即x=1为fx图象的对称轴.由题意,fx有唯一零点,所以fx的零点只能为x=1,即f1=12-2×1+ae1-1+e-1+1=0,解得a=.法二由fx=0⇔aex-1+e-x+1=-x2+2x.ex-1+e-x+1≥2=2,当且仅当x=1时取“=”.-x2+2x=-x-12+1≤1,当且仅当x=1时取“=”.若a0,则aex-1+e-x+1≥2a,要使fx有唯一零点,则必有2a=1,即a=.若a≤0,则fx的零点不唯一.综上所述,a=.2.2014·全国卷Ⅰ已知函数fx=ax3-3x2+1,若fx存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围为 A.2,+∞B.-∞,-2C.1,+∞D.-∞,-1解析选B 当a=0时,fx=-3x2+1有两个零点,不符合题意,故a≠
0.f′x=3ax2-6x=3xax-2,令f′x=0,得x=0或x=,由题意得a0且f0,解得a-2,选B.3.2014·山东高考已知函数fx=|x-2|+1,gx=kx,若方程fx=gx有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是 A.B.C.12D.2,+∞解析选B 在同一坐标系中分别画出函数fx,gx的图象如图所示,方程fx=gx有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点,结合图象可知,当直线y=kx的斜率大于坐标原点与点21连线的斜率且小于直线y=x-1的斜率时符合题意,故k
1.
一、选择题1.函数fx=x-的零点所在的区间是 A. B.C.D.解析选C 由fx=x-=0,则x=,得x=x,令gx=x-x,则gx在R上单调递增,可得g=-0,g=-0,因此fx零点所在的区间是.2.2018·吉林白山模拟已知函数fx=则函数gx=fx-x的零点为 A.0B.-1,-2C.-10D.-2,-10解析选B 当x1时,gx=fx-x=0,则2x-x=
0.∵x1,∴此时方程无解;当x≤1时,gx=fx-x=x2+3x+2=0,则x1=-1或x2=-
2.综上,函数gx的零点为-1,-
2.3.已知函数fx=x-log3x,若x0是函数y=fx的零点,且0x1x0,则fx1的值 A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于0解析选A 因为函数fx=x-log3x在0,+∞上是减函数,所以当0x1x0时,有fx1fx0.又x0是函数fx的零点,因此fx0=0,所以fx10,即此时fx1的值恒为正值,选A.4.2018·玉溪统考已知函数fx=函数gx=fx-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是 A.[-11B.
[02]C.[-22D.[-12解析选D 由题意知gx=因为gx有三个不同的零点,所以2-x=0在xa时有一个解,由x=2得a2;由x2+3x+2=0得x=-1或x=-2,则由x≤a得a≥-
1.综上,a的取值范围为[-12,所以选D.5.若y=fx是定义在R上的函数,且满足
①fx是偶函数;
②fx+2是偶函数;
③当0x≤2时,fx=log2017x,当x=0时,fx=0,则方程fx=-2017在区间110内的所有实数根之和为 A.0B.10C.12D.24解析选D 由fx+2是偶函数,得fx+2=f-x+2,则fx的图象关于x=2对称.又因为fx是偶函数,所以fx的图象关于x=0对称,所以x=2nn是整数是函数fx的对称轴.当0x≤2时,由fx=log2017x,当x=0时,fx=0,所以在区间110内,方程fx=-2017有4个根,关于x=4对称的两个根之和为8,关于x=8对称的两个根之和为16,所以方程fx=-2017在区间110内的所有实数根之和为
24.6.设函数fx=ex+2x-4,gx=lnx+2x2-5,若实数a,b分别是fx,gx的零点,则 A.ga0fbB.fb0gaC.0gafbD.fbga0解析选A 依题意,f0=-30,f1=e-20,且函数fx是增函数,因此函数fx的零点在区间01内,即0a
1.g1=-30,g2=ln2+30,且函数gx在0,+∞上是增函数,因此函数gx的零点在区间12内,即1b2,于是有fbf10,gag10,ga0fb,选A.7.2018·安徽六安模拟已知函数fx=2mx2-x-1在区间-22上恰有一个零点,则实数m的取值范围是 A.B.C.D.解析选D 当m=0时,函数fx=-x-1有一个零点x=-1,满足条件.当m≠0时,函数fx=2mx2-x-1在区间-22上恰有一个零点,需满足
①f-2·f20或
②或
③解
①得-m0或0m;解
②得m∈∅,解
③得m=.综上可知-m≤,故选D.8.定义域为R的函数fx=若关于x的方程f2x+bfx+c=0恰有5个不同的实数解x1,x2,x3,x4,x5,则fx1+x2+x3+x4+x5= A.1B.3lg2C.2lg2D.0解析选B 由函数fx的解析式可知,函数fx的图象关于x=2对称,因为关于x的方程f2x+bfx+c=0恰有5个不同的实数解x1,x2,x3,x4,x5,所以方程一定有一个根为fx=1,而另一个根fx≠
1.根据fx的解析式可知,fx=1有3个解,一个是2,另外两个关于x=2对称,其和为4;而另一个根fx≠1,它有两个解关于x=2对称,则这两个根的和为4,所以这5个根的和为x1+x2+x3+x4+x5=10,所以fx1+x2+x3+x4+x5=f10=lg|10-2|=3lg
2.
二、填空题9.已知fx=则函数gx=fx-ex的零点个数为________.解析函数gx=fx-ex的零点个数即为函数y=fx与y=ex的图象的交点个数.作出函数图象可知有2个交点,即函数gx=fx-ex有2个零点.答案210.函数fx=ax+1-2a在区间-11上存在一个零点,则实数a的取值范围是________.解析当a=0时,函数fx=1在-11上没有零点,所以a≠
0.因为函数fx是单调函数,要满足题意,只需f-1·f10,即-3a+1·1-a0,所以a-1·3a-10,解得a1,所以实数a的取值范围是.答案11.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0有两根,其中一根在区间-10内,另一根在区间12内,则m的取值范围为________.解析由条件,抛物线fx=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间-10和12内,如图所示,得解得即-m-.故m的取值范围是.答案12.已知函数fx=|x-a|-+a-2有且仅有三个零点,且它们成等差数列,则实数a的取值集合为________.解析fx=当x≥a时,由x--2=0,得x1=-1,x2=3,结合图形知,
①当a-1时,x3,-13成等差数列,则x3=-5,代入-x-+2a-2=0得,a=-;
②当-1≤a≤3时,方程-x-+2a-2=0,即x2+21-ax+3=0,设方程的两根为x3,x4,且x3x4,则x3x4=3,且x3+3=2x4,解得x4=,又x3+x4=2a-1,所以a=.
③当a3时,显然不符合.所以a的取值集合为.答案
三、解答题13.2018·信阳模拟已知函数fx=log22x+1.1求证函数fx在-∞,+∞上单调递增;2若gx=log22x-1x0,且关于x的方程gx=m+fx在
[12]上有解,求m的取值范围.解1证明∵函数fx=log22x+1,任取x1x2,则fx1-fx2=log22x1+1-log22x2+1=log2,∵x1x2,∴01,∴log20,∴fx1fx2,∴函数fx在-∞,+∞上单调递增.2∵gx=m+fx,∴m=gx-fx=log22x-1-log22x+1=log2=log
2.∵1≤x≤2,∴2≤2x≤4,∴log2≤log2≤log2,故m的取值范围为.14.已知函数fx=ax2+bx+ca≠0,满足f0=2,fx+1-fx=2x-
1.1求函数fx的解析式;2当x∈[-12]时,求函数的最大值和最小值;3若函数gx=fx-mx的两个零点分别在区间-1,2和24内,求m的取值范围.解1由f0=2,得c=2,又fx+1-fx=2x-1,得2ax+a+b=2x-1,故解得a=1,b=-2,所以fx=x2-2x+
2.2fx=x2-2x+2=x-12+1,对称轴为x=1∈[-1,2],故fxmin=f1=1,又f-1=5,f2=2,所以fxmax=f-1=
5.3gx=x2-2+mx+2,若gx的两个零点分别在区间-12和24内,则满足⇒解得1m.所以m的取值范围为.1.已知函数fx满足fx=f,当x∈
[13],fx=lnx,若在区间内,曲线gx=fx-ax与x轴有三个不同的交点,则实数a的取值范围为 A.B.C.D.解析选C 令x∈,则∈
[13],所以fx=f=ln=-lnx,因为在区间内,曲线gx=fx-ax与x轴有三个不同的交点,所以在区间内,曲线y=fx与y=ax有三个不同的交点,作出两个函数的图象如图所示,当直线y=ax过点3,ln3时,a=,两条曲线有三个交点;当直线y=ax与曲线y=fx相切于点P时,设Ps,t,则f′s=,则切线方程为y-lns=x-s,又因为切线过原点,所以0-lns=0-s,则s=e,则a=,所以实数a的取值范围为.2.已知函数gx=若方程gx-mx-m=0有且仅有两个不等的实根,则实数m的取值范围是 A.∪
[02]B.∪
[02]C.∪[02D.∪[02解析选C 由gx-mx-m=0可得gx=mx+m,原方程有两个相异的实根等价于两个函数y=gx与y=mx+m的图象有两个不同的交点,易知y=mx+m过定点-10,作出两函数大致图象如图所示.当m0时,因为临界位置为y=mx+1过点02和10,分别求出这两个位置的斜率k1=2和k2=0,此时m∈[02;当m0时,过点-10向函数gx=-3,-1x≤0的图象作切线,设切点为x0,y0,则有g′x=-,得解得得切线的斜率为k1=-,而过点-10,0,-2的斜率为k2=-2,所以m∈,即m∈∪[02.故选C.。