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(四十一)双曲线[小题对点练——点点落实]对点练一 双曲线的定义和标准方程1.若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等解析选D 由0k9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上,由=,得两双曲线的焦距相等.2.已知双曲线C的渐近线方程为y=±2x,且经过点22,则C的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析选A 由题意,设双曲线C的方程为-x2=λλ≠0,因为双曲线C过点22,则-22=λ,解得λ=-3,所以双曲线C的方程为-x2=-3,即-=
1.3.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上一点P使=e,则·的值为 A.3B.2C.-3D.-2解析选B 由题意得,在△PF1F2中,由正弦定理得,==e=2,又因为|PF1|-|PF2|=2,结合这两个条件得,|PF1|=4,|PF2|=2,由余弦定理可得cos∠F1F2P=,则·=2,故选B.4.2018·河南新乡模拟已知双曲线C-=1a0,b0的右焦点为F,点B是虚轴的一个端点,线段BF与双曲线C的右支交于点A,若=2,且||=4,则双曲线C的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析选D 不妨设B0,b,由=2,Fc0,可得A,代入双曲线C的方程可得×-=1,即·=,∴=,
①又||==4,c2=a2+b2,∴a2+2b2=16,
②由
①②可得,a2=4,b2=6,∴双曲线C的方程为-=1,故选D.5.设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|BF2|+|AF2|的最小值为 A.B.11C.12D.16解析选B 由题意,得所以|BF2|+|AF2|=8+|AF1|+|BF1|=8+|AB|,显然,当AB垂直于x轴时其长度最短,|AB|min=2·=3,故|BF2|+|AF2|min=
11.6.2018·河北武邑中学月考实轴长为2,虚轴长为4的双曲线的标准方程为____________________.解析2a=22b=
4.当焦点在x轴时,双曲线的标准方程为x2-=1;当焦点在y轴时,双曲线的标准方程为y2-=
1.答案x2-=1或y2-=17.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°,延长AF2交双曲线右支于点B,则△F1AB的面积等于________.解析由题意可得|AF2|=2,|AF1|=4,则|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|=|BF1|.又∠F1AF2=45°,所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形,则|AB|=|BF1|=2,所以其面积为×2×2=
4.答案4对点练二 双曲线的几何性质1.2018·广州模拟已知双曲线C-=1a0,b0的渐近线方程为y=±2x,则双曲线C的离心率为 A.B.C.D.解析选B 依题意知=2,∴双曲线C的离心率e====.故选B.2.2018·安徽黄山模拟若圆x-32+y2=1上只有一点到双曲线-=1a0,b0的一条渐近线的距离为1,则该双曲线的离心率为 A.B.C.D.解析选A 不妨取渐近线为bx+ay=0,由题意得圆心到渐近线bx+ay=0的距离d==2,化简得b=c,∴b2=c2,∴c2=a2,∴e==,故选A.3.2018·湖北四地七校联考双曲线-=1a0,b0的左、右焦点分别为F1,F2,直线l经过点F1及虚轴的一个端点,且点F2到直线l的距离等于实半轴的长,则双曲线的离心率为 A.B.C.D.解析选D 设虚轴的一个端点为B,则S△F1BF2=b×2c=a×,即b×2c=a×,∴4c2c2-a2=a2-a2+2c2,∴4e4-6e2+1=0,解得e2=,∴e=舍负.故选D.4.设双曲线-=1a0,b0的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于BC两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为 A.±B.±C.±1D.±解析选C 由题设易知A1-a0,A2a0,B,C.∵A1B⊥A2C,∴·=-1,整理得a=b.∵渐近线方程为y=±x,即y=±x,∴渐近线的斜率为±
1.5.2018·江西五市部分学校联考已知双曲线-=1a0,b0的一个焦点为10,若双曲线上存在点P,使得P到y轴与到x轴的距离的比值为2,则实数a的取值范围为 A.B.C.D.解析选D 法一由双曲线的焦点为10,可知c=
1.由双曲线上存在点P,使得P到y轴与到x轴的距离的比值为2,可知,所以8b2a2,即81-a2a2,所以0a.法二由双曲线的焦点为10,可知c=
1.由双曲线上存在点P,使得P到y轴与到x轴的距离的比值为2,不妨设P在第一象限,且Px0,y0,则y0=x0,代入双曲线方程得x=a2,可知8b2a2,即81-a2a2,所以0a.6.2018·山西重点中学联考已知F1,F2分别是双曲线C-=1a0,b0的两个焦点,若在双曲线上存在点P满足2|+|≤||,则双曲线C的离心率的取值范围是 A.1,]B.12]C.[,+∞D.[2,+∞解析选D 设O为坐标原点,由2|+|≤||,得4||≤2c2c为双曲线的焦距,∴||≤c,又由双曲线的性质可得||≥a,于是a≤c,∴e≥
2.故选D.7.过双曲线-=1a>0,b>0的左焦点F1作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A,B,若=,则双曲线的渐近线方程为________________.解析由得x=-,由解得x=,不妨设xA=-,xB=,由=可得-+c=+,整理得b=3a.所以双曲线的渐近线方程为3x±y=
0.答案3x±y=08.2018·安徽池州模拟已知椭圆+=1的右焦点F到双曲线E-=1a0,b0的渐近线的距离小于,则双曲线E的离心率的取值范围是________.解析椭圆+=1的右焦点F为20,不妨取双曲线E-=1a0,b0的一条渐近线为bx+ay=0,则焦点F到渐近线bx+ay=0的距离d=,即有2bc,∴4b23c2,∴4c2-a23c2,∴e2,∵e1,∴1e
2.答案12[大题综合练——迁移贯通]1.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点4,-.点M3,m在双曲线上.1求双曲线的方程;2求证·=0;3求△F1MF2的面积.解1∵e=,∴双曲线的实轴、虚轴相等.则可设双曲线方程为x2-y2=λ.∵双曲线过点4,-,∴16-10=λ,即λ=
6.∴双曲线方程为-=
1.2证明不妨设F1,F2分别为左、右焦点,则=-2-3,-m,=2-3,-m.∴·=3+2×3-2+m2=-3+m2,∵M点在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,∴·=
0.3△F1MF2的底|F1F2|=
4.由2知m=±.∴△F1MF2的高h=|m|=,∴S△F1MF2=×4×=
6.2.2018·湛江模拟已知双曲线-=1a0,b0的右焦点为Fc0.1若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;2以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-,求双曲线的离心率.解1因为双曲线的渐近线方程为y=±x,所以a=b,所以c2=a2+b2=2a2=4,所以a2=b2=2,所以双曲线方程为-=
1.2设点A的坐标为x0,y0,所以直线AO的斜率满足·-=-1,所以x0=y0,
①依题意,圆的方程为x2+y2=c2,将
①代入圆的方程得3y+y=c2,即y0=c,所以x0=c,所以点A的坐标为,代入双曲线方程得-=1,即b2c2-a2c2=a2b2,
②又因为a2+b2=c2,所以将b2=c2-a2代入
②式,整理得c4-2a2c2+a4=0,所以34-82+4=0,所以3e2-2e2-2=0,因为e1,所以e=,所以双曲线的离心率为.3.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点,O为坐标原点.1求双曲线C2的方程;2若直线l y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2,求k的取值范围.解1设双曲线C2的方程为-=1a>0,b>0,则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故双曲线C2的方程为-y2=
1.2将y=kx+代入-y2=1,得1-3k2x2-6kx-9=
0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得∴k2<1且k2≠.
①设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=,x1x2=.∴x1x2+y1y2=x1x2+kx1+kx2+=k2+1x1x2+kx1+x2+2=.又∵·>2,即x1x2+y1y2>2,∴>2,即>0,解得<k2<
3.
②由
①②得<k2<1,故k的取值范围为∪.。