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(四十)椭圆[小题对点练——点点落实]对点练一 椭圆的定义和标准方程1.若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为 A.+y2=1B.+=1C.+y2=1或+=1D.以上答案都不对解析选C 直线与坐标轴的交点为01,-20,由题意知当焦点在x轴上时,c=2,b=1,∴a2=5,所求椭圆的标准方程为+y2=
1.当焦点在y轴上时,b=2,c=1,∴a2=5,所求椭圆的标准方程为+=
1.2.已知椭圆C+=1,M,N是坐标平面内的两点,且M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= A.4B.8C.12D.16解析选B 设MN的中点为D,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,如图,连接DF1,DF2,因为F1是MA的中点,D是MN的中点,所以F1D是△MAN的中位线,则|DF1|=|AN|,同理|DF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2|DF1|+|DF2|,因为D在椭圆上,所以根据椭圆的定义知|DF1|+|DF2|=4,所以|AN|+|BN|=
8.3.已知三点P52,F1-60,F260,那么以F1,F2为焦点且经过点P的椭圆的短轴长为 A.3B.6C.9D.12解析选B 因为点P52在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=,|PF1|=5,所以2a=6,即a=3,c=6,则b=3,故椭圆的短轴长为6,故选B.
4.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F-2,0为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为 A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析选B 设椭圆的标准方程为+=1ab0,焦距为2c,右焦点为F′,连接PF′,如图所示.因为F-2,0为C的左焦点,所以c=
2.由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠FPF′=90°,即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|===
8.由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,所以a=6,a2=36,于是b2=a2-c2=36-22=16,所以椭圆C的方程为+=
1.5.已知点M,0,椭圆+y2=1与直线y=kx+交于点A,B,则△ABM的周长为________.解析M,0与F-,0是椭圆的焦点,则直线AB过椭圆的左焦点F-,0,且|AB|=|AF|+|BF|,△ABM的周长等于|AB|+|AM|+|BM|=|AF|+|AM|+|BF|+|BM|=4a=
8.答案86.若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是________.解析因为方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,所以|a|-1a+30,解得-3a-
2.答案-3,-2对点练二 椭圆的几何性质
1.如图所示,已知椭圆+=1ab0,以O为圆心,短半轴长为半径作圆O,过椭圆长轴的一端点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,若四边形PAOB为正方形,则椭圆的离心率为 A.B.C.D.解析选B 由题意知|OA|=|AP|=b,|OP|=a,OA⊥AP,所以2b2=a2,即=,故e==,故选B.2.已知F1,F2为椭圆C+=1的左、右焦点,点E是椭圆C上的动点,·的最大值、最小值分别为 A.97B.87C.98D.178解析选B 由题意知F1-10,F210,设Ex,y,则=-1-x,-y,=1-x,-y,所以·=x2-1+y2=x2-1+8-x2=x2+7-3≤x≤3,所以当x=0时,·有最小值7;当x=±3时,·有最大值
8.故选B.3.焦点在x轴上的椭圆方程为+=1ab0,短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,该三角形内切圆的半径为,则该椭圆的离心率为 A.B.C.D.解析选C 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积S=×2c×b=×2a+2c×,整理得a=2c,即e==.故选C.4.已知椭圆E+=1a>b>0的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是 A.B.C.D.解析选A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A,B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a=2|AF|+|BF|=8,所以a=
2.又d=≥,所以1≤b<2,而e===,所以0<e≤.5.已知椭圆+=10b2与y轴交于A,B两点,点F为椭圆的一个焦点,则△ABF面积的最大值为________.解析由题意可知b2+c2=4,则△ABF的面积为×2bc=bc≤=2,当且仅当b=c=时取等号.答案26.已知椭圆方程为+=1ab0,A,B分别是椭圆长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,若|k1·k2|=,则椭圆的离心率为________.解析设Mx0,y0,则Nx0,-y0,|k1·k2|=====,从而e==.答案7.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,以原点为圆心,椭圆的短轴为直径作圆.若点P是圆O上的动点,则|PF1|2+|PF2|2的值是________.解析由椭圆方程可知a2=4,b2=1,∴c2=4-1=3,∴c=,a=2,b=
1.∴F1-,0,F2,0.圆O的方程为x2+y2=
1.设Px0,y0,则x+y=
1.∴|PF1|2+|PF2|2=[x0+2+y]+[x0-2+y]=2x+y+6=
8.答案
88.如图,椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为________.解析设椭圆的方程为+=1a>b>0,∠B1PA2为钝角可转化为B2A2―→,F2B1―→所夹的角为钝角,则a,-b·-c,-b<0,即b2<ac,则a2-c2<ac,故2+-1>0,即e2+e-1>0,e>或e<,又0<e<1,所以<e<
1.答案[大题综合练——迁移贯通]1.已知椭圆+=1ab0,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.1若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;2若=2,·=,求椭圆的方程.解1若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,e==.2由题知A0,b,F1-c0,F2c0,其中c=,设Bx,y.由=2,得c,-b=2x-c,y,解得x=,y=-,即B.将B点坐标代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3c
2.
①又由·=-c,-b·=,得b2-c2=1,即有a2-2c2=
1.
②由
①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=
2.所以椭圆的方程为+=
1.2.设F1,F2分别是椭圆C+=1ab0的左、右焦点,M是C在第一象限上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.1若直线MN的斜率为,求C的离心率;2若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解1根据c=及题设知M,由kMN=kMF1=,得=,即2b2=3ac.将b2=a2-c2代入,解得=,=-2舍去.故C的离心率为.2由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D02是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.
①由|MN|=5|F1N|,得|DF1|=2|F1N|.设Nx1,y1,由题意知y10,则即代入C的方程,得+=
1.
②将
①及c=代入
②得+=1,解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=
2.3.设F1,F2分别是椭圆E+=1ab0的左、右焦点,过F1且斜率为1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.1求E的离心率;2设点P0,-1满足|PA|=|PB|,求E的方程.解1由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=a,设直线l的方程为y=x+c,其中c=.设Ax1,y1,Bx2,y2,则A,B两点的坐标满足方程组消去y,化简得a2+b2x2+2a2cx+a2c2-b2=0,则x1+x2=,x1x2=.因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=|x2-x1|=,即a=,故a2=2b2,所以E的离心率e====.2设AB的中点为Nx0,y0,由1知x0===-,y0=x0+c=.由|PA|=|PB|,得kPN=-1,即=-1,得c=3,从而a=3,b=
3.故椭圆E的方程为+=
1.。