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第二单元函数的概念及其性质教材复习课“函数”相关基础知识一课过函数的基本概念[过双基]1.函数与映射的概念函数映射两集合A,B设A,B是非空的数集设A,B是非空的集合对应关系f A→B如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数fx与之对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y=fx,x∈A对应f A→B2.函数的定义域、值域1在函数y=fx,x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{fx|x∈A}叫做函数的值域.2函数的三要素是定义域、值域和对应关系.3.表示函数的常用方法列表法、图象法和解析法.4.分段函数在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应关系,这种函数称为分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 1.若函数y=fx的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=fx的图象可能是 答案B2.下列函数中,与函数y=x相同的函数是 A.y= B.y=C.y=lg10xD.y=2log2x解析选C A.y==xx≠0与y=x的定义域不同,故不是相同的函数;B.y==|x|与y=x的对应关系不相同,故不是相同的函数;C.y=lg10x=x与y=x的定义域、值域与对应关系均相同,故是相同的函数;D.y=2log2x与y=x的对应关系不相同,故不是相同的函数.3.已知函数fx=则f= A.-2B.4C.2D.-1解析选A 因为函数fx=所以f=2+16=4,则f=f4=log4=-
2.4.已知f=2x-5,且fa=6,则a等于 A.B.-C.D.-解析选A 令t=x-1,则x=2t+2,ft=22t+2-5=4t-1,则4a-1=6,解得a=.[清易错]1.解决函数有关问题时,易忽视“定义域优先”的原则.2.易混“函数”与“映射”的概念函数是特殊的映射,映射不一定是函数,从A到B的一个映射,A,B若不是数集,则这个映射便不是函数.1.2018·合肥八中模拟已知函数fx=2x+11≤x≤3,则 A.fx-1=2x+20≤x≤2B.fx-1=2x-12≤x≤4C.fx-1=2x-20≤x≤2D.fx-1=-2x+12≤x≤4解析选B 因为fx=2x+1,所以fx-1=2x-
1.因为函数fx的定义域为
[13],所以1≤x-1≤3,即2≤x≤4,故fx-1=2x-12≤x≤4.2.下列对应关系
①A={149},B={-3,-2,-1123},f x→x的平方根;
②A=R,B=R,f x→x的倒数;
③A=R,B=R,f x→x2-2;
④A={-101},B={-101},f A中的数平方.其中是A到B的映射的是 A.
①③B.
②④C.
③④D.
②③解析选C 由映射的概念知
①中集合B中有两个元素对应,
②中集合A中的0元素在集合B中没有对应,
③④是映射.故选C.函数定义域的求法[过双基]函数y=fx的定义域
1.函数fx=a>0且a≠1的定义域为________.解析由⇒⇒0<x≤2,故所求函数的定义域为02].答案02]2.函数y=lg1-2x+的定义域为________.解析由题意可知求解可得-3≤x0,所以函数y=lg1-2x+的定义域为[-30.答案[-30[清易错]
1.求复合型函数的定义域时,易忽视其满足内层函数有意义的条件.
2.求抽象函数的定义域时,易忽视同一个对应关系后的整体范围.1.2018·辽宁锦州模拟已知函数fx2-3=lg,则fx的定义域为________.解析设t=x2-3t≥-3,则x2=t+3,所以ft=lg=lg,由0,得t1或t-3,因为t≥-3,所以t1,即fx=lg的定义域为1,+∞.答案1,+∞2.已知函数fx的定义域为
[02],则函数gx=f2x+的定义域为________.解析因为函数fx的定义域为
[02],所以对于函数f2x,0≤2x≤2,即0≤x≤1,又因为8-2x≥0,所以x≤3,所以函数gx=f2x+的定义域为
[01].答案
[01]函数的单调性与最值[过双基]1.函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数fx的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有fx1fx2,那么就说函数fx在区间D上是增函数当x1x2时,都有fx1fx2,那么就说函数fx在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2单调区间的定义如果函数y=fx在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=fx在这一区间具有严格的单调性,区间D叫做函数y=fx的单调区间.2.函数的最值前提设函数y=fx的定义域为I,如果存在实数M满足条件1对于任意的x∈I,都有fx≤M;2存在x0∈I,使得fx0=M3对于任意的x∈I,都有fx≥M;4存在x0∈I,使得fx0=M结论M为最大值M为最小值1.2018·珠海摸底下列函数中,定义域是R且为增函数的是 A.y=2-x B.y=xC.y=log2xD.y=-解析选B 由题知,只有y=2-x与y=x的定义域为R,且只有y=x在R上是增函数.2.函数fx=|x-2|x的单调减区间是 A.
[12]B.[-10]C.
[02]D.[2,+∞解析选A 由于fx=|x-2|x=作出函数fx的图象如图,则结合图象可知函数的单调减区间是
[12].3.2018·长春质量检测已知函数fx=|x+a|在-∞,-1上是单调函数,则a的取值范围是 A.-∞,1]B.-∞,-1]C.[-1,+∞D.[1,+∞解析选A 因为函数fx在-∞,-a上是单调函数,所以-a≥-1,解得a≤
1.4.已知定义在R上的函数fx为增函数,当x1+x2=1时,不等式fx1+f0fx2+f1恒成立,则实数x1的取值范围是 A.-∞,0B.C.D.1,+∞解析选D 若fx1+f0fx2+f1,则fx1-fx2f1-f0.又由x1+x2=1,则有fx1-f1-x1f1-f0.又由函数fx为增函数,则不等式fx1+f0fx2+f1恒成立可以转化为解得x
11.5.函数fx=的最大值为________.解析当x≥1时,函数fx=为减函数,所以fx在x=1处取得最大值,为f1=1;当x1时,易知函数fx=-x2+2在x=0处取得最大值,为f0=
2.故函数fx的最大值为
2.答案2[清易错]1.易混淆两个概念“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”,前者指函数具备单调性的“最大”的区间,后者是前者“最大”区间的子集.2.若函数在两个不同的区间上单调性相同,则这两个区间要分开写,不能写成并集.例如,函数fx在区间-10上是减函数,在01上是减函数,但在-10∪01上却不一定是减函数,如函数fx=.1.函数fx=在 A.-∞,1∪1,+∞上是增函数B.-∞,1∪1,+∞上是减函数C.-∞,1和1,+∞上是增函数D.-∞,1和1,+∞上是减函数解析选C 函数fx的定义域为{x|x≠1}.fx==-1,根据函数y=-的单调性及有关性质,可知fx在-∞,1和1,+∞上是增函数.2.设定义在[-17]上的函数y=fx的图象如图所示,则函数y=fx的增区间为________.答案[-11],
[57]函数的奇偶性[过双基]1.定义及图象特征奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数fx的定义域内任意一个x,都有f-x=fx,那么函数fx是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数fx的定义域内任意一个x,都有f-x=-fx,那么函数fx是奇函数关于原点对称2.函数奇偶性的重要结论1如果一个奇函数fx在原点处有定义,即f0有意义,那么一定有f0=
0.2如果函数fx是偶函数,那么fx=f|x|.3既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即fx=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.4奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.1.下列函数中的偶函数是 A.y=2x-B.y=xsinxC.y=excosxD.y=x2+sinx解析选B 因为f-x=-xsin-x=xsinx=fx,即函数fx是偶函数,故选B.2.定义在R上的奇函数fx满足fx-2=fx+2,且当x∈[-20]时,fx=3x-1,则f9= A.-2B.2C.-D.解析选D 因为fx是定义在R上的奇函数,所以当x∈
[02]时,fx=-f-x=-3-x+1;设x-2=t,则x=t+2,则fx-2=fx+2可化为ft=ft+4,即函数fx是周期为4的周期函数,则f9=f1=.3.2018·绵阳诊断已知偶函数fx在区间[0,+∞上单调递增,则满足f2x-1f的x的取值范围是 A.B.C.D.解析选A ∵fx是偶函数,∴fx=f|x|,∴f|2x-1|f,再根据fx的单调性,得|2x-1|,解得x,故选A.4.若函数fxx∈R是奇函数,函数gxx∈R是偶函数,则 A.函数fx-gx是奇函数B.函数fx·gx是奇函数C.函数f[gx]是奇函数D.函数g[fx]是奇函数解析选B 因为函数fxx∈R是奇函数,函数gxx∈R是偶函数,所以f-x=-fx,g-x=gx,所以f-x·g-x=-fx·gx,故fx·gx是奇函数.[清易错]1.判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.判断分段函数奇偶性时,误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性.1.已知函数fx=x2-m是定义在区间[-3-m,m2-m]上的奇函数,则 A.fmf1B.fmf1C.fm=f1D.fm与f1大小不能确定解析选A 由题意可知-3-m+m2-m=0,所以m=3或m=-1,又因为函数fx=x2-m是定义在区间[-3-m,m2-m]上的奇函数,所以2-m是奇数,且2-m0,所以m=-1,则fx=x3,定义域为[-22]且在[-22]上是增函数,所以fmf1.2.函数fx=的奇偶性为________.解析∵x≠0,故fx的定义域关于原点对称.当x0时,-x0,∴f-x=log2x=fx.当x0时,-x0,f-x=log2-x=fx.故f-x=fx,∴fx为偶函数.答案偶函数函数的周期性[过双基]1.周期函数对于函数y=fx,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有fx+T=fx,那么就称函数y=fx为周期函数,称T为这个函数的周期.2.最小正周期如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作fx的最小正周期.3.重要结论周期函数的定义式fx+T=fx对定义域内的x是恒成立的,若fx+a=fx+b,则函数fx的周期为T=|a-b|.若在定义域内满足fx+a=-fx,fx+a=,fx+a=-a0.则fx为周期函数,且T=2a为它的一个周期.4.对称性与周期的关系1若函数fx的图象关于直线x=a和直线x=b对称,则函数fx必为周期函数,2|a-b|是它的一个周期.2若函数fx的图象关于点a0和点b0对称,则函数fx必为周期函数,2|a-b|是它的一个周期.3若函数fx的图象关于点a0和直线x=b对称,则函数fx必为周期函数,4|a-b|是它的一个周期.1.已知函数fx=则f-5的值为 A.0B.C.1D.解析选B 由fx=可得f-5=f1=sin=.2.已知定义在R上的函数fx满足f-x=-fx,fx+1=f1-x,且当x∈
[01]时,fx=log2x+1,则f31= A.0B.1C.-1D.2解析选C 由f-x=-fx可得函数fx是奇函数,所以fx+1=f1-x=-fx-1.令x-1=t,则x=t+1,所以ft+2=-ft,则ft+4=-ft+2=ft,即函数fx的最小正周期为
4.又因为当x∈
[01]时,fx=log2x+1,所以f31=f31-4×8=-f1=-log21+1=-
1.3.2018·晋中模拟已知fx是R上的奇函数,f1=2,且对任意x∈R都有fx+6=fx+f3成立,则f2017=________.解析∵fx是R上的奇函数,∴f0=0,又对任意x∈R都有fx+6=fx+f3,∴当x=-3时,有f3=f-3+f3=0,∴f-3=0,f3=0,∴fx+6=fx,周期为
6.故f2017=f1=
2.答案2[清易错]在利用周期性定义求解问题时,易忽视定义式fx+T=fxT≠0的使用而致误. 已知fx是定义在R上的偶函数,并且fx+2=-,当2≤x≤3时,fx=x,则f
105.5=________.解析由已知,可得fx+4=f[x+2+2]=-=-=fx.故函数fx的周期为
4.∴f
105.5=f4×27-
2.5=f-
2.5=f
2.5.∵2≤
2.5≤3,∴f
2.5=
2.
5.∴f
105.5=
2.
5.答案
2.5
一、选择题1.函数fx=lgx-1-的定义域为 A.-∞,4] B.12∪24]C.14]D.24]解析选C 由题意可得解得1x≤4,所以函数fx的定义域为14].2.2017·唐山期末已知fx=x+-1,fa=2,则f-a= A.-4B.-2C.-1D.-3解析选A ∵fa=a+-1=2,∴a+=
3.f-a=-a--1=--1=-3-1=-
4.3.设函数fx=若fa+f-1=2,则a的值为 A.-3B.±3C.-1D.±1解析选D 当a≥0时,fa=,由已知得+1=2,得a=1;当a0时,fa=,由已知得+1=2,得a=-1,综上,a=±
1.故选D.4.下列几个命题正确的个数是 1若方程x2+a-3x+a=0有一个正根,一个负根,则a0;2函数y=+是偶函数,但不是奇函数;3函数fx+1的定义域是[-13],则fx2的定义域是
[02];4若曲线y=|3-x2|和直线y=aa∈R的公共点个数是m,则m的值不可能是
1.A.1B.2C.3D.4解析选B 1由根与系数的关系可知,1正确;2函数y=+的定义域为{-11},值域为{0},显然该函数既是奇函数也是偶函数,2错误;3函数fx+1的定义域是[-13],所以0≤x+1≤4,则函数fx的定义域是
[04],对于函数fx2可得0≤x2≤4,则-2≤x≤2,即fx2的定义域是[-22],3错误;4由二次函数的图象,易知曲线y=|3-x2|和直线y=aa∈R的公共点个数可能是0234,4正确.故选B.5.如果二次函数fx=3x2+2a-1x+b在区间-∞,1上是减函数,则 A.a=-2B.a=2C.a≤-2D.a≥2解析选C 函数fx的对称轴方程为x=-,由题意知-≥1,即a≤-
2.6.2018·天津模拟若函数fx满足“对任意x1,x2∈0,+∞,当x1x2时,都有fx1fx2”,则fx的解析式可以是 A.fx=x-12B.fx=exC.fx=D.fx=lnx+1解析选C 根据条件知,fx在0,+∞上单调递减.对于A,fx=x-12在1,+∞上单调递增,排除A;对于B,fx=ex在0,+∞上单调递增,排除B;对于C,fx=在0,+∞上单调递减,C正确;对于D,fx=lnx+1在0,+∞上单调递增,排除D.7.已知函数fx=logx2-ax+3a在[1,+∞上单调递减,则实数a的取值范围是 A.-∞,2]B.[2,+∞C.D.解析选D 令t=gx=x2-ax+3a,易知y=logt在其定义域上单调递减,要使fx=logx2-ax+3a在[1,+∞上单调递减,则t=gx=x2-ax+3a在[1,+∞上单调递增,且t=gx=x2-ax+3a0,即所以即-a≤
2.8.2018·长春调研已知函数fx=,若fa=,则f-a= A.B.-C.D.-解析选C fx==1+,而hx=是奇函数,故f-a=1+h-a=1-ha=2-[1+ha]=2-fa=2-=,故选C.
二、填空题9.fx=asinx-blog3-x+1a,b∈R,若flglog310=5,则flglg3=________.解析令gx=asinx-blog3-x,因为g-x=-asinx-blog3+x=-asinx-blog3=-asinx+blog3-x=-gx,所以函数gx是奇函数,因为lglog310+lglg3=lg+lglg3=0,即lglog310与lglg3互为相反数,flglg3=glglg3+1=-glglog310+1=-[flglog310-1]+1=-
3.答案-310.设a为实常数,y=fx是定义在R上的奇函数,当x0时,fx=9x++7,若fx≥a+1对一切x≥0成立,则a的取值范围为________.解析因为y=fx是定义在R上的奇函数,所以当x=0时,f0=0,则0≥a+1,所以a≤-1,又设x0,则-x0,所以fx=-f-x=-=9x+-
7.由基本不等式得9x+-7≥2-7=-6a-7,由fx≥a+1对一切x≥0成立,只需-6a-7≥a+1,即a≤-,结合a≤-1,所求a的取值范围是.答案11.设fx=x3+log2x+,则对任意实数a,b,a+b≥0是fa+fb≥0的________条件填“充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要.解析因为f-x=-x3+log2-x+=-x3+log2=-x3-log2x+=-fx,所以函数fx是奇函数,易知函数fx在R上是增函数,因为a+b≥0,所以a≥-b,所以fa≥f-b=-fb,即fa+fb≥0,反之亦成立,因此,对任意实数a,b,a+b≥0是fa+fb≥0的充要条件.答案充要12.设定义在R上的函数fx同时满足以下条件
①fx+f-x=0;
②fx=fx+2;
③当0≤x1时,fx=2x-1,则f+f1+f+f2+f=________.解析依题意知函数fx为奇函数且周期为2,则f1+f-1=0,f-1=f1,即f1=
0.∴f+f1+f+f2+f=f+0+f+f0+f=f-f+f0+f=f+f0=2-1+20-1=-
1.答案-1
三、解答题13.设函数fx=且f-2=3,f-1=f1.1求fx的解析式;2画出fx的图象.解1由f-2=3,f-1=f1得解得a=-1,b=1,所以fx=2fx的图象如图所示14.设fx是-∞,+∞上的奇函数,fx+2=-fx,当0≤x≤1时,fx=x.1求fπ的值;2当-4≤x≤4时,求fx的图象与x轴所围成图形的面积.解1由fx+2=-fx,得fx+4=f[x+2+2]=-fx+2=fx,∴fx是以4为周期的周期函数.∴fπ=f-1×4+π=fπ-4=-f4-π=-4-π=π-
4.2由fx是奇函数与fx+2=-fx,得f[x-1+2]=-fx-1=f[-x-1],即f1+x=f1-x.从而可知函数y=fx的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,fx=x,且fx的图象关于原点成中心对称,则fx的图象如图所示.设当-4≤x≤4时,fx的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=
4.高考研究课一函数的定义域、解析式及分段函数[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度函数的概念5年1考函数定义问题分段函数5年3考分段函数求值及不等式恒成立问题函数的定义域问题[典例] 12018·长沙模拟函数y=的定义域是 A.-1,+∞ B.[-1,+∞C.-12∪2,+∞D.[-12∪2,+∞2若函数fx=的定义域为R,则a的取值范围为________.[解析] 1由题意知,要使函数有意义,需即-1x2或x2,所以函数的定义域为-12∪2,+∞.故选C.2因为函数fx的定义域为R,所以2x2+2ax-a-1≥0对x∈R恒成立,即2x2+2ax-a≥1,x2+2ax-a≥0恒成立,因此有Δ=2a2+4a≤0,解得-1≤a≤
0.[答案] 1C 2[-10][方法技巧]函数定义域问题的3种常考类型及求解策略1已知函数的解析式构建使解析式有意义的不等式组求解.2抽象函数
①若已知函数fx的定义域为[a,b],则复合函数fgx的定义域由a≤gx≤b求出.
②若已知函数fgx的定义域为[a,b],则fx的定义域为gx在x∈[a,b]时的值域.3实际问题既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题的要求. [即时演练]1.函数fx=+lg的定义域为 A.23B.24]C.23∪34]D.-13∪36]解析选C 由题意得解得2x3或3x≤4,所以函数的定义域为23∪34].2.已知函数f2-x=,则函数f的定义域为 A.[0,+∞B.
[016]C.
[04]D.
[02]解析选B 由4-x2≥0可得-2≤x≤2,令2-x=t,则0≤t≤4,函数f2-x=可化为函数ft=,0≤t≤4,所以函数f满足0≤≤4,则0≤x≤16,即函数f的定义域为
[016].函数解析式的求法函数的解析式是函数的基础知识,高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查.题目难度不大,以选择题、填空题的形式出现.[典例] 1如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接相切.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为 A.y=x3-x2-xB.y=x3+x2-3xC.y=x3-xD.y=x3+x2-2x2定义在R上的函数fx满足fx+1=2fx.若当0≤x≤1时,fx=x1-x,则当-1≤x≤0时,fx=________.32018·合肥模拟已知fx的定义域为{x|x≠0},满足3fx+5f=+1,则函数fx的解析式为________.[解析] 1用“待定系数法”解题设所求函数解析式为fx=ax3+bx2+cx+d,则f′x=3ax2+2bx+c,由题意知解得∴fx=x3-x2-x.2用“代入法”解题∵-1≤x≤0,∴0≤x+1≤1,∴fx=fx+1=x+1[1-x+1]=-xx+1=-x2-x.3用“函数方程法”解题令代替3fx+5f=+1中的x,得3f+5fx=3x+1,∴
①×3-
②×5得fx=x-+.[答案] 1A 2-x2-x3fx=x-+[方法技巧]求函数解析式的常见方法待定系数法若已知函数的类型如一次函数、二次函数,根据函数类型设出函数解析式,根据题设条件,列出方程组,解出待定系数即可换元法已知fhx=gx,求fx时,往往可设hx=t,从中解出x,代入gx进行换元,求出ft的解析式,再将t替换为x即可构造法已知fhx=gx,求fx的问题,往往把右边的gx整理构造成只含hx的式子,用x将hx替换函数方程法已知fx满足某个等式,这个等式除fx是未知量外,还有其他未知量,如f-x,f,则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出fx[即时演练]1.如果f=,则当x≠0且x≠1时,fx等于 A.B.C.D.-1解析选B 令=t,得x=t≠1,∴ft==,∴fx=.2.已知fx是一次函数,且满足3fx+1-2fx-1=2x+17,则fx=________.解析设fx=ax+ba≠0,则3fx+1-2fx-1=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b,即ax+5a+b=2x+17不论x为何值都成立,∴解得∴fx=2x+
7.答案2x+7分段函数分段函数是一类重要的函数,是高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大,多为低档题或中档题.常见的命题角度有1分段函数求值问题;2求参数值或自变量的取值范围;3研究分段函数的性质.角度一分段函数求值问题1.已知函数fx=则f[fln2]=________.解析由题意知,fln2=eln2-1=1,所以f[fln2]=log22=
1.答案1角度二求参数或自变量的取值范围2.设函数fx=则满足fx≤2的x的取值范围是________.解析因为fx=所以fx≤2等价于或即或即0≤x≤1或x1,则满足fx≤2的x的取值范围是[0,+∞.答案[0,+∞3.已知函数fx=若ffm≥0,则实数m的取值范围是 A.[-22]B.[-22]∪[4,+∞C.[-22+]D.[-22+]∪[4,+∞解析选D 令fm=n,则ffm≥0就是fn≥
0.画出函数fx的图象可知,-1≤n≤1或n≥3,即-1≤fm≤1或fm≥
3.由1-|x|=-1得,x=2或x=-
2.由x2-4x+3=1得,x=2±,由x2-4x+3=3得,x=0或x=
4.再根据图象得到,m∈[-2,2+]∪[4,+∞.角度三研究分段函数的性质4.已知函数fx=则下列结论正确的是 A.fx是偶函数B.fx是增函数C.fx是周期函数D.fx的值域为[-1,+∞解析选D 因为fπ=π2+1,f-π=-1,所以f-π≠fπ,所以函数fx不是偶函数,排除A;因为函数fx在-2π,-π上单调递减,排除B;函数fx在0,+∞上单调递增,所以函数fx不是周期函数,排除C;因为x>0时,fx>1,x≤0时,-1≤fx≤1,所以函数fx的值域为[-1,+∞,故选D.5.已知函数fx的定义域为R,且fx=若方程fx=x+a有两个不同实根,则a的取值范围为 A.-∞,1B.-∞,1]C.01D.-∞,+∞解析选A 当x≤0时,fx=2-x-1,当0x≤1时,-1x-1≤0,fx=fx-1=2-x-1-
1.故x0时,fx是周期函数,如图所示.若方程fx=x+a有两个不同的实数根,则函数fx的图象与直线y=x+a有两个不同交点,故a1,即a的取值范围是-∞,1.[方法技巧]分段函数问题的3种类型及求解策略1根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.2已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.3研究分段函数的性质可根据分段函数逐段研究其性质,也可根据选项利用特殊值法作出判断. 1.2016·全国卷Ⅱ下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是 A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=解析选D 函数y=10lgx的定义域与值域均为0,+∞.函数y=x的定义域与值域均为-∞,+∞.函数y=lgx的定义域为0,+∞,值域为-∞,+∞.函数y=2x的定义域为-∞,+∞,值域为0,+∞.函数y=的定义域与值域均为0,+∞.故选D.2.2015·全国卷Ⅱ设函数fx=则f-2+flog212= A.3 B.6 C.9 D.12解析选C ∵-21,∴f-2=1+log22+2=1+log24=1+2=
3.∵log2121,∴flog212=2log212-1==
6.∴f-2+flog212=3+6=
9.3.2015·全国卷Ⅰ已知函数fx=且fa=-3,则f6-a= A.-B.-C.-D.-解析选A 由于fa=-3,
①若a≤1,则2a-1-2=-3,整理得2a-1=-
1.由于2x0,所以2a-1=-1无解;
②若a1,则-log2a+1=-3,解得a+1=8,a=7,所以f6-a=f-1=2-1-1-2=-.综上所述,f6-a=-.4.2013·全国卷Ⅰ已知函数fx=若|fx|≥ax,则a的取值范围是 A.-∞,0]B.-∞,1]C.[-21]D.[-20]解析选D 当x≤0时,fx=-x2+2x=-x-12+1≤0,所以|fx|≥ax化简为x2-2x≥ax,即x2≥a+2x,因为x≤0,所以a+2≥x恒成立,所以a≥-2;当x>0时,fx=lnx+1>0,所以|fx|≥ax化简为lnx+1>ax恒成立,由函数图象可知a≤0,综上,当-2≤a≤0时,不等式|fx|≥ax恒成立,故选D.
一、选择题1.2018·广东模拟设函数fx满足f=1+x,则fx的表达式为 A. B.C.D.解析选A 令=t,则x=,代入f=1+x,得ft=1+=,即fx=,故选A.2.函数fx=的定义域是 A.B.∪0,+∞C.D.[0,+∞解析选B 由题意,得解得-x0或x
0.3.2018·福建调研设函数f R→R满足f0=1,且对任意x,y∈R都有fxy+1=fxfy-fy-x+2,则f2017= A.0B.1C.2017D.2018解析选D 令x=y=0,则f1=f0f0-f0-0+2=1×1-1-0+2=2,令y=0,则f1=fxf0-f0-x+2,将f0=1,f1=2代入,可得fx=1+x,所以f2017=
2018.4.若fx对于任意实数x恒有2fx-f-x=3x+1,则f1= A.2B.0C.1D.-1解析选A 令x=1,得2f1-f-1=4,
①令x=-1,得2f-1-f1=-2,
②联立
①②得f1=
2.5.若二次函数gx满足g1=1,g-1=5,且图象过原点,则gx的解析式为 A.gx=2x2-3xB.gx=3x2-2xC.gx=3x2+2xD.gx=-3x2-2x解析选B 设gx=ax2+bx+ca≠0,∵g1=1,g-1=5,且图象过原点,∴解得∴gx=3x2-2x.6.2018·青岛模拟已知函数fx=则使fx=2的x的集合是 A.B.C.D.解析选A 由题意可知,fx=2,即或解得x=或4,故选A.7.2018·莱芜模拟已知函数fx的定义域为
[36],则函数y=的定义域为 A.B.C.D.解析选B 要使函数y=有意义,需满足⇒⇒≤x
2.故选B.8.2018·武汉调研函数fx=满足f1+fa=2,则a的所有可能取值为 A.1或-B.-C.1D.1或解析选A ∵f1=e1-1=1且f1+fa=2,∴fa=1,当-1a0时,fa=sinπa2=1,∵0a21,∴0πa2π,∴πa2=⇒a=-;当a≥0时,fa=ea-1=1⇒a=
1.故a=-或
1.
二、填空题9.已知函数y=fx2-1的定义域为[-,],则函数y=fx的定义域为________.解析∵y=fx2-1的定义域为[-,],∴x∈[-,],x2-1∈[-12],∴y=fx的定义域为[-12].答案[-12]10.已知函数y=lgkx2+4x+k+3的定义域为R,则实数k的取值范围是________.解析∵函数y=lgkx2+4x+k+3的定义域为R,∴kx2+4x+k+30对任意实数x恒成立,若k=0,不等式化为4x+30,即x-,不合题意;若k≠0,则解得k
1.∴实数k的取值范围是1,+∞.答案1,+∞11.具有性质f=-fx的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数
①fx=x-;
②fx=x+;
③fx=其中满足“倒负”变换的函数是________.填序号解析对于
①,fx=x-,f=-x=-fx,满足题意;对于
②,f=+x=fx≠-fx,不满足题意;对于
③,f=即f=故f=-fx,满足题意.答案
①③12.2016·北京高考设函数fx=
①若a=0,则fx的最大值为________;
②若fx无最大值,则实数a的取值范围是________.解析当x≤a时,由f′x=3x2-3=0,得x=±
1.如图是函数y=x3-3x与y=-2x在没有限制条件时的图象.
①若a=0,则fxmax=f-1=
2.
②当a≥-1时,fx有最大值;当a-1时,y=-2x在xa时无最大值,且-2ax3-3xmax,所以a-
1.答案
①2
②-∞,-1
三、解答题13.已知fx=x2-1,gx=1求fg2与gf2;2求fgx与gfx的表达式.解1由已知,g2=1,f2=3,因此fg2=f1=0,gf2=g3=
2.2当x0时,gx=x-1,故fgx=x-12-1=x2-2x;当x0时,gx=2-x,故fgx=2-x2-1=x2-4x+
3.所以fgx=当x1或x-1时,fx0,故gfx=fx-1=x2-2;当-1x1时,fx0,故gfx=2-fx=3-x
2.所以gfx=14.水库的储水量随时间而变化,现用t表示时间,以月为单位,以年初为起点,根据历年数据,某水库的储水量单位亿立方米关于t的近似函数关系式为vt=1该水库的储水量小于50的时期称为枯水期,问一年内哪几个月份是枯水期?2求一年内该水库的最大储水量.取的值为
4.6计算,e3的值为20计算解1当0t≤9时,vt=-t2+15t-51et+5050,即t2-15t+
510.解得t或t,从而0t≈
5.
2.当9t≤12时,vt=4t-93t-41+5050,即t-93t-410,解得9t,所以9t≤
12.综上,0t
5.2或9t≤12,故枯水期分别为1月,2月,3月,4月,5月,10月,11月,12月.2由1知,水库的最大蓄水量只能在6~9月份.v′t=-t2+13t-36et=-ett-4t-9,令v′t=0,解得t=9或t=4舍去,又当t∈69时,v′t0,vt单调递增;当t∈910时,v′t0,vt单调递减.所以当t=9时,vt的最大值v9=×3×e9+50=150亿立方米,故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米.1.已知函数fx=在定义域[0,+∞上单调递增,且对于任意a≥0,方程fx=a有且只有一个实数解,则函数gx=fx-x在区间[02n]n∈N*上的所有零点的和为 A.B.22n-1+2n-1C.D.2n-1解析选B 因为函数fx=在定义域[0,+∞上单调递增,所以m≥
1.又因为对于任意a≥0,方程fx=a有且只有一个实数解,且函数fx=在定义域[0,+∞上单调递增,且图象连续,所以m=
1.如图所示,函数gx=fx-x在区间[02n]n∈N*上的所有零点分别为0123,…,2n,所以所有的零点的和等于=22n-1+2n-
1.2.设函数fx=其中[x]表示不超过x的最大整数,如[-
1.5]=-2,[
2.5]=2,若直线y=kx-1k0与函数y=fx的图象只有三个不同的交点,则k的取值范围为 A.B.C.D.解析选C 作出函数fx=的图象如图所示.因为直线y=kx-1k0与函数y=fx的图象只有三个不同的交点,所以解得-1k≤-.高考研究课二函数的单调性、奇偶性及周期性[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度函数的单调性5年4考利用单调性解不等式、比较大小、求最值函数的奇偶性5年5考奇偶性的判断及应用求值函数的周期性未考查函数的单调性高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现,有时也应用于解答题中的某一问中.常见的命题角度有1确定函数的单调性;2求函数的值域或最值;3比较两个函数值;4解函数不等式;5利用单调性求参数的取值范围.角度一确定函数的单调性1.2018·昆明调研下列函数中,在区间0,+∞内单调递减的是 A.y=-x B.y=x2-xC.y=lnx-xD.y=ex-x解析选A 对于选项A,y=在0,+∞内是减函数,y=x在0,+∞内是增函数,则y=-x在0,+∞内是减函数;B、C选项中的函数在0,+∞内的单调性不确定;对于选项D,y′=ex-10在0,+∞内恒成立,故y=ex-x在0,+∞上单调递增,故选A.2.下列函数中,在区间0,+∞上为增函数的是 A.y=B.y=x-12C.y=2-xD.y=log
0.5x解析选A y=在区间0,+∞上为增函数,A项符合题意;y=x-12在01上为减函数,y=2-x,y=log
0.5x在0,+∞上都是减函数,故B、C、D选项都不符合题意.3.2018·广东佛山联考讨论函数fx=a0在-11上的单调性.解法一定义法设-1x1x21,则fx1-fx2=-==.∵-1x1x21,∴x2-x10,x1x2+10,x-1x-
10.又a0,∴fx1-fx20,故函数fx在-11上为减函数.法二导数法f′x====-.∵a0,x∈-11,∴f′x
0.∴fx在-11上是减函数.[方法技巧]确定函数单调性的常用方法定义法先确定定义域,再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论图象法若函数是以图象形式给出的,或者函数的图象可作出,可由图象的升、降写出它的单调性导数法先求导,再确定导数值的正负,由导数的正负得函数的单调性[提醒] 复合函数y=fφx的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断,即内外函数的单调性相同时,为增函数;单调性不同时为减函数.角度二求函数的值域或最值4.函数y=2x2+2x的值域为 A.B.[2,+∞C.D.02]解析选A 因为x2+2x≥-1,且y=2t是增函数,所以y=2x2+2x≥,因此函数y=2x2+2x的值域是.5.2016·北京高考函数fx=x≥2的最大值为________.解析f′x==-,当x≥2时,f′x<0,所以fx在[2,+∞上是减函数,故fxmax=f2==
2.答案2[方法技巧]利用单调性求函数的最值的关键是准确判断其单调性,而判断方法常用定义法及导数法. 角度三比较两个函数值6.2017·天津高考已知奇函数fx在R上是增函数,gx=xfx.若a=g-log
25.1,b=g
20.8,c=g3,则a,b,c的大小关系为 A.abcB.cbaC.bacD.bca解析选C 由fx为奇函数,知gx=xfx为偶函数.因为fx在R上单调递增,f0=0,所以当x0时,fx0,所以gx在0,+∞上单调递增,且gx
0.又a=g-log
25.1=glog
25.1,b=g
20.8,c=g3,20.82=log24log
25.1log28=3,所以bac.7.2018·哈尔滨联考已知函数fx的图象关于直线x=1对称,当x2x11时,[fx2-fx1]x2-x10恒成立,设a=f,b=f2,c=fe,则a,b,c的大小关系为 A.cabB.cbaC.acbD.bac解析选D 由fx的图象关于直线x=1对称,可得f=f.由x2x11时,[fx2-fx1]·x2-x10恒成立,知fx在1,+∞上单调递减.∵12e,∴f2ffe,∴bac.[方法技巧]比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. 角度四解函数不等式8.已知偶函数fx在区间[0,+∞上单调递减,则满足f2x-1f5的x的取值范围是 A.-23B.-∞,-2∪3,+∞C.[-23]D.-∞,-3∪2,+∞解析选B 因为偶函数fx在区间[0,+∞上单调递减,且f2x-1f5,所以|2x-1|5,即x-2或x
3.9.已知函数fx=若faf2-a,则a的取值范围是________.解析作出函数fx=的图象,如图所示,显然函数fx是增函数,所以不等式faf2-a等价于a2-a,则a
1.答案1,+∞[方法技巧]在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. 角度五利用单调性求参数的取值范围10.2018·济宁模拟函数fx=满足对任意的实数x1≠x2都有0成立,则实数a的取值范围为____________.解析由题意,函数fx在-∞,1]和1,+∞上都是增函数,且fx在-∞,1]上的最高点不高于其在1,+∞上的最低点,即解得a∈[48.答案[48[方法技巧]利用函数单调性求参数的策略1视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;2需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. 函数的奇偶性[典例] 12018·重庆适应性测试下列函数为奇函数的是 A.y=x3+3x2B.y=C.y=xsinxD.y=log222018·湖北武汉十校联考若定义在R上的偶函数fx和奇函数gx满足fx+gx=ex,则gx= A.ex-e-xB.ex+e-xC.e-x-exD.ex-e-x3若fx=lne3x+1+ax是偶函数,则a=________.[解析] 1依题意,对于选项A,注意到当x=-1时,y=2;当x=1时,y=4,因此函数y=x3+3x2不是奇函数.对于选项B,注意到当x=0时,y=1≠0,因此函数y=不是奇函数.对于选项C,注意到当x=-时,y=;当x=时,y=,因此函数y=xsinx不是奇函数.对于选项D,由0得-3x3,即函数y=log2的定义域是-3,3,关于原点对称,且log2+log2=log21=0,即log2=-log2,因此函数y=log2是奇函数.综上所述,选D.2∵fx+gx=ex,
①∴f-x+g-x=e-x,又f-x=fx,g-x=-gx,所以fx-gx=e-x,
②由
①②可解得gx=.故选D.3函数fx=lne3x+1+ax为偶函数,故f-x=fx,即lne-3x+1-ax=lne3x+1+ax,化简得ln=2ax=lne2ax,即=e2ax,整理得e2ax+3x=1,所以2ax+3x=0,解得a=-.[答案] 1D 2D 3-[方法技巧]应用函数奇偶性可解决的4类问题1判定函数奇偶性
①定义法
②图象法
③性质法设fx,gx的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于fx的方程组,从而得到fx的解析式.3求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解,根据fx±f-x=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程组,进而得出参数的值.4利用函数的奇偶性求值首先判断函数解析式或解析式的一部分的奇偶性,然后结合已知条件通过化简、转换求值.[即时演练]1.若函数fx=是奇函数,则使fx3成立的x的取值范围为 A.-∞,-1B.-10C.01D.1,+∞解析选C ∵fx为奇函数,∴f-x=-fx,即=-,化简可得a=1,则3,即0,∴0,∴12x2,解得0x
1.2.已知函数fx=asinx-btanx+4cos,且f-1=1,则f1= A.3B.-3C.0D.4-1解析选A fx=asinx-btanx+2,易知函数gx=asinx-btanx是奇函数,因为f-1=asin-1-btan-1+2=1,所以asin1-btan1=1,则f1=asin1-btan1+2=
3.3.已知fx=3ax2+bx-5a+b是偶函数,且其定义域为[6a-1,a],则a+b= A.B.-1C.1D.7解析选A 因为偶函数的定义域关于原点对称,所以6a-1+a=0,所以a=.又fx为偶函数,所以3a-x2-bx-5a+b=3ax2+bx-5a+b,解得b=0,所以a+b=.函数的周期性[典例] 1设定义在R上的函数fx满足fx+2=fx,且当x∈[02时,fx=2x-x2,则f0+f1+f2+…+f2018=________.22018·烟台模拟若函数fxx∈R是周期为4的奇函数,且在
[02]上的解析式为fx=则f+f=________.[解析] 1∵fx+2=fx,∴函数fx的周期T=
2.又当x∈[02时,fx=2x-x2,∴f0=0,f1=1,∴f0=f2=f4=…=f2016=f2018=0,f1=f3=f5=…=f2015=f2017=
1.故f0+f1+f2+…+f2018=
1009.2由于函数fx是周期为4的奇函数,所以f+f=f+f=f+f=-f-f=-+=.[答案] 11009 2[方法技巧]函数周期性问题的求解策略1判断函数的周期只需证明fx+T=fxT≠0便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.2根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论若T是函数的周期,则kTk∈Z且k≠0也是函数的周期. [即时演练]1.已知函数fx的定义域为R,且满足fx-1=fx+1=f1-x,当x∈[-10]时,fx=e-x,设a=f-,b=f3,c=f8,则a,b,c的大小关系为 A.abcB.acbC.bacD.cba解析选C 由fx-1=fx+1可知,函数的最小正周期为2,由fx+1=f1-x可知,函数的图象关于直线x=1对称,又因为当x∈[-10]时,fx=e-x,所以a=f-=f2+=f-2=e2-,b=f3=f-1=e,c=f8=f0=1,则bac.2.2016·江苏高考设fx是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-11上,fx=其中a∈R.若f=f,则f5a的值是________.解析因为函数fx的周期为2,结合在[-11上fx的解析式,得f=f=f=-+a,f=f=f==.由f=f,得-+a=,解得a=.所以f5a=f3=f4-1=f-1=-1+=-.答案-函数性质的综合应用高考对于函数性质的考查,一般不会单纯地考查某一个性质,而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查.常见的命题角度有1单调性与奇偶性结合;2周期性与奇偶性结合;3单调性、奇偶性与周期性结合.角度一单调性与奇偶性结合1.定义在R上的奇函数fx满足fx-2=-fx,且在
[01]上是增函数,则有 A.fffB.fffC.fffD.fff解析选B 由题设知fx=-fx-2=f2-x,所以函数fx的图象关于直线x=1对称.又函数fx是奇函数,其图象关于坐标原点对称,由于函数fx在
[01]上是增函数,故fx在[-10]上也是增函数,综上函数fx在[-11]上是增函数,在
[13]上是减函数.又f=f=f,所以fff=f.2.已知奇函数fx的定义域为[-22],且在区间[-20]上递减,则满足f1-m+f1-m20的实数m的取值范围为________.解析∵fx的定义域为[-22],∴解得-1≤m≤.
①又fx为奇函数,且在[-20]上递减,∴fx在[-22]上递减,∴f1-m-f1-m2=fm2-1⇒1-mm2-1,解得-2m
1.
②综合
①②可知,-1≤m
1.即实数m的取值范围是[-11.答案[-11角度二周期性与奇偶性结合3.设fx是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,fx=2x1-x,则f= A.B.-C.D.-解析选D 因为fx是周期为2的奇函数,且当0≤x≤1时,fx=2x1-x,所以f=f=f=-f=-.角度三单调性、奇偶性与周期性结合4.已知定义在R上的奇函数fx满足fx-4=-fx,且在区间
[02]上是增函数,则 A.f-25<f11<f80B.f80<f11<f-25C.f11<f80<f-25D.f-25<f80f11解析选D ∵fx满足fx-4=-fx,∴fx-8=fx,∴函数fx是以8为周期的周期函数,则f-25=f-1,f80=f0,f11=f3.由fx是定义在R上的奇函数,且满足fx-4=-fx,得f11=f3=-f-1=f1.∵fx在区间
[02]上是增函数,fx在R上是奇函数,∴fx在区间[-22]上是增函数,∴f-1<f0<f1,即f-25<f80<f11.[方法技巧]函数性质综合应用问题的3种常见类型及求解策略1单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.2周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.3周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解. 1.2017·全国卷Ⅰ函数fx在-∞,+∞单调递减,且为奇函数.若f1=-1,则满足-1≤fx-2≤1的x的取值范围是 A.[-22]B.[-11]C.
[04]D.
[13]解析选D ∵fx为奇函数,∴f-x=-fx.∵f1=-1,∴f-1=-f1=
1.故由-1≤fx-2≤1,得f1≤fx-2≤f-1.又fx在-∞,+∞单调递减,∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤
3.2.2014·全国卷Ⅰ设函数fx,gx的定义域都为R,且fx是奇函数,gx是偶函数,则下列结论中正确的是 A.fxgx是偶函数B.|fx|gx是奇函数C.fx|gx|是奇函数D.|fxgx|是奇函数解析选C fx为奇函数,gx为偶函数,故fxgx为奇函数,|fx|gx为偶函数,fx|gx|为奇函数,|fxgx|为偶函数,故选C.3.2015·全国卷Ⅰ若函数fx=xlnx+为偶函数,则a=________.解析∵fx为偶函数,∴f-x-fx=0恒成立,∴-xln-x+-xlnx+=0恒成立,∴xlna=0恒成立,∴lna=0,即a=
1.答案14.2014·全国卷Ⅱ已知偶函数fx在[0,+∞单调递减,f2=
0.若fx-10,则x的取值范围是________.解析由题可知,当-2x2时,fx
0.fx-1的图象是由fx的图象向右平移1个单位长度得到的,若fx-10,则-1x
3.答案-135.2014·全国卷Ⅱ偶函数y=fx的图象关于直线x=2对称,f3=3,则f-1=________.解析因为fx的图象关于直线x=2对称,所以fx=f4-x,f-x=f4+x,又f-x=fx,所以fx=f4+x,则f-1=f4-1=f3=
3.答案3
一、选择题1.2017·北京高考已知函数fx=3x-x,则fx A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数解析选A 因为fx=3x-x,且定义域为R,所以f-x=3-x--x=x-3x=-=-fx,即函数fx是奇函数.又y=3x在R上是增函数,y=x在R上是减函数,所以fx=3x-x在R上是增函数.2.2018·辽宁阶段测试设函数fx=ln1+x+mln1-x是偶函数,则 A.m=1,且fx在01上是增函数B.m=1,且fx在01上是减函数C.m=-1,且fx在01上是增函数D.m=-1,且fx在01上是减函数解析选B 因为函数fx=ln1+x+mln1-x是偶函数,所以f=f,则m-1ln3=0,即m=1,则fx=ln1+x+ln1-x=ln1-x2,因为x∈01时,y=1-x2是减函数,故fx在01上是减函数,故选B.3.已知x,y∈R,且xy0,则 A.-0 B.sinx-siny0C.x-y0D.lnx+lny0解析选C A项,考查的是反比例函数y=在0,+∞上单调递减,因为xy0,所以-0,所以A错误;B项,考查的是三角函数y=sinx在0,+∞上的单调性,y=sinx在0,+∞上不单调,所以不一定有sinxsiny,所以B错误;C项,考查的是指数函数y=x在0,+∞上单调递减,因为xy0,所以有xy,即x-y0,所以C正确;D项,考查的是对数函数y=lnx的性质,lnx+lny=lnxy,当xy0时,xy0,不一定有lnxy0,所以D错误.4.2016·山东高考已知函数fx的定义域为R.当x<0时,fx=x3-1;当-1≤x≤1时,f-x=-fx;当x>时,f=f,则f6= A.-2B.-1C.0D.2解析选D 由题意可知,当-1≤x≤1时,fx为奇函数,且当x时,fx+1=fx,所以f6=f5×1+1=f1.而f1=-f-1=-[-13-1]=2,所以f6=
2.故选D.5.2018·湖南联考已知函数fx是R上的奇函数,且在区间[0,+∞上单调递增,若a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系为 A.bacB.cbaC.bcaD.abc解析选B ∵,∴tan-1cos0,又sin0,∴tancossin.∵函数fx是R上的奇函数,且在区间[0,+∞上单调递增,∴函数fx是R上的增函数,∴cba,故选B.6.若函数fx=x2+a|x|+2,x∈R在区间[3,+∞和[-2,-1]上均为增函数,则实数a的取值范围是 A.B.[-6,-4]C.[-3,-2]D.[-4,-3]解析选B 由函数fx为R上的偶函数知,只需考虑fx在0,+∞上的单调性,由题意可知fx在[3,+∞上为增函数,在
[12]上为减函数,则只需函数y=x2+ax+2的对称轴x=-∈
[23]即可,故a∈[-6,-4],选B.7.设函数fx=ln1+|x|-,则使fxf2x-1成立的x的取值范围是 A.B.∪1,+∞C.D.∪解析选A 由题意知,f-x=fx,所以函数fx是偶函数,当x≥0时,易得函数fx=ln1+x-是增函数,所以不等式fxf2x-1等价于|2x-1||x|,解得x1,则x的取值范围是.8.2018·广州模拟定义在R上的函数fx满足f-x=-fx,fx=fx+4,且当x∈-10时,fx=2x+,则flog220= A.1B.C.-1D.-解析选C 因为x∈R,且f-x=-fx,所以函数为奇函数,因为fx=fx+4,所以函数的周期为
4.所以flog220=flog220-4=f=-f=-f=-=-=-1,故选C.
二、填空题9.2016·天津高考已知fx是定义在R上的偶函数,且在区间-∞,0上单调递增.若实数a满足f2|a-1|>f-,则a的取值范围是________.解析∵fx是偶函数,且在-∞,0上单调递增,∴fx在0,+∞上单调递减,f-=f,∴f2|a-1|>f,∴2|a-1|<=2,∴|a-1|<,即-<a-1<,即<a<.答案10.2016·四川高考已知函数fx是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,fx=4x,则f+f1=________.解析∵fx为奇函数,周期为2,∴f1=f1-2=f-1=-f1,∴f1=
0.∵fx=4x,x∈01,∴f=f=f=-f=-4=-
2.∴f+f1=-
2.答案-211.已知定义在R上的函数fx满足f-x=fx,且对于任意x1,x2∈[0,+∞,x1≠x2,均有
0.若f=,2f1,则x的取值范围为________.解析由f-x=fx可知,函数fx是偶函数,因为对于任意x1,x2∈[0,+∞,x1≠x2,均有0,即0,所以函数fx在[0,+∞上是减函数.又因为f=,所以2f1=2f,所以|logx|,即logx或logx-,所以0x或x2,即x的取值范围为∪2,+∞.答案∪2,+∞12.2017·江苏高考已知函数fx=x3-2x+ex-,其中e是自然对数的底数.若fa-1+f2a2≤0,则实数a的取值范围是________.解析由fx=x3-2x+ex-,得f-x=-x3+2x+-ex=-fx,所以fx是R上的奇函数.又f′x=3x2-2+ex+≥3x2-2+2=3x2≥0,当且仅当x=0时取等号,所以fx在其定义域内单调递增.因为fa-1+f2a2≤0,所以fa-1≤-f2a2=f-2a2,所以a-1≤-2a2,解得-1≤a≤,故实数a的取值范围是.答案
三、解答题13.已知函数fx是定义在R上的偶函数,f0=0,当x0时,fx=logx.1求函数fx的解析式;2解不等式fx2-1-
2.解1当x0时,-x0,则f-x=log-x.因为函数fx是偶函数,所以f-x=fx.所以函数fx的解析式为fx=2因为f4=log4=-2,fx是偶函数,所以不等式fx2-1-2可化为f|x2-1|f4.又因为函数fx在0,+∞上是减函数,所以|x2-1|4,解得-x,即不等式的解集为-,.14.2018·湖南长郡中学测试已知定义在R上的奇函数fx有最小正周期2,且当x∈01时,fx=.1求fx在[-11]上的解析式;2证明fx在01上是减函数.解1当x∈-10时,-x∈01.∵fx是奇函数,∴fx=-f-x=-=-.由f0=f-0=-f0,且f1=-f-1=-f-1+2=-f1,得f0=f1=f-1=
0.∴在区间[-11]上,有fx=2证明当x∈01时,fx=,设0x1x21,则fx1-fx2=-=,∵0x1x21,∴2x2-2x102x1+x2-10,∴fx1-fx20,即fx1fx2,故fx在01上是减函数.1.已知奇函数fxx∈D,当x0时,fx≤f1=
2.给出下列命题
①D=[-11];
②对∀x∈D,|fx|≤2;
③∃x0∈D,使得fx0=0;
④∃x1∈D,使得fx1=
1.其中所有正确命题的个数是 A.0B.1C.2D.3解析选A 由奇函数fxx∈D,当x0时,fx≤f1=2,只说明函数有最值,与定义域无关,故
①错误;对于
②,可能f3=-3,|f3|=32,故
②错误;对于
③,当0不在D中,且x轴为渐近线时,则不满足
③;当y=1为渐近线时,不满足
④,因此选A.2.已知函数fx是定义在R上的奇函数,当x≥0时,fx=|x-a2|+|x-2a2|-3a2,若∀x∈R,fx-1≤fx,则实数a的取值范围为 A.B.C.D.解析选D 当x≥0时,fx=作出函数图象,再根据函数为奇函数画出x0时的图象如图所示,由题意,要满足∀x∈R,fx-1≤fx恒成立,所以应满足2a2--4a2≤1,解得a∈.。