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“三角函数及其恒等变换”双基过关检测
一、选择题
1.2018·杭州模拟如图所示,在直角坐标系xOy中,射线OP交单位圆O于点P,若∠AOP=θ,则点P的坐标是 A.cosθ,sinθ B.-cosθ,sinθC.sinθ,cosθD.-sinθ,cosθ解析选A 由三角函数的定义知xP=cosθ,yP=sinθ,故选A.2.若α=k·360°+θ,β=m·360°-θk,m∈Z,则角α与β的终边的位置关系是 A.重合 B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称解析选C 角α与θ终边相同,β与-θ终边相同.又角θ与-θ的终边关于x轴对称.∴角α与β的终边关于x轴对称.3.已知sin=,α∈,则cos的值是 A.B.C.-D.1解析选C 由已知得cosα=,sinα=-,∴cos=cosα+sinα=-.4.2018·淄博调研已知tanα=2,则sin2α-sinαcosα的值是 A.B.-C.-2D.2解析选A sin2α-sinαcosα==,把tanα=2代入,原式=.5.设函数fx=sin,x∈R,则fx是 A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数解析选B ∵fx=sin=-cos2x,∴fx是最小正周期为π的偶函数.6.已知函数fx=sinω0的最小正周期为π,则该函数的图象 A.关于直线x=对称B.关于点对称C.关于直线x=-对称D.关于点对称解析选B ∵fx=sinω0的最小正周期为π,∴ω=2,即fx=sin.经验证可知f=sin=sinπ=0,即是函数fx的一个对称点.7.将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数 A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增解析选B 平移后的函数为y=3sin=3sin,增区间-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,令k=0时,≤x≤,故所得图象对应的函数在上单调递增,在上不单调,故选B.
8.2018·河北衡水中学调研已知函数fx=Acosωx+φA0,ω0的部分图象如图所示,下面结论错误的是 A.函数fx的最小正周期为B.函数fx的图象可由gx=Acosωx的图象向右平移个单位长度得到C.函数fx的图象关于直线x=对称D.函数fx在区间上单调递增解析选D 函数的最小正周期T=2=,选项A正确;由T=得ω=
3.又f=Acos=0,所以φ=kπ-k∈Z.又f=Acos=Asinφ=-,所以sinφ0,φ=-+2kπk∈Z,即fx=Acos,函数gx=Acos3x的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为y=g=Acos=Acos=fx,选项B正确;当x=时,fx=A,因此函数fx的图象关于直线x=对称,选项C正确;当x∈时,3x-∈,故函数fx在上不是单调递增的,选项D错误.
二、填空题9.函数fx=sinx-4sin3cos的最小正周期为________.解析fx=sinx-2sin2sinx=sinxcosx=sin2x,所以函数的最小正周期T=π.答案π10.在平面直角坐标系xOy中,以x轴为始边作锐角α,它的终边与单位圆相交于点A,且点A的横坐标为,则tan的值为________.解析由题意知cosα=,因为α为锐角,所以cos==,sin==,所以tan=-tan=-=-.答案-11.已知函数y=Asinωx+φ的部分图象如图所示,则φ=________.解析由图象知A=1,T=4=π,故ω=2,再由2×+φ=,得φ=-.答案-12.函数fx=log2的最大值为________.解析因为==sinx+cosx=sin∈0,],又因为函数y=log2x是增函数,所以,当=时,函数fx=log2取得最大值为.答案
三、解答题13.设函数fx=3sin的最小正周期为.1求fx的解析式;2利用“五点作图法”,画出fx在长度为一个周期的闭区间上的简图;3已知f=,求cosα的值.解1∵T==⇒ω=4,∴fx=3sin.2列表4x+0π2πx-fx030-30图象如图所示3∵f=3sin=3sin=3cosα=,∴cosα=.14.已知向量m=,n=,记fx=m·n.1若fx=1,求cos的值;2在锐角△ABC中,2a-ccosB=bcosC,求f2A的取值范围.解1fx=m·n=sincos+cos2=sin+cos+=sin+,由fx=1,得sin=,所以cos=1-2sin2=.2因为2a-ccosB=bcosC,由正弦定理得2sinA-sinCcosB=sinBcosC,所以2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,所以2sinAcosB=sinB+C,因为A+B+C=π,所以sinB+C=sinA,且sinA≠0,所以cosB=,又0B,所以B=.则A+C=,A=-C,又0C,0A,则A,得A+,所以sin≤1,又因为f2A=sin+,故函数f2A的取值范围是.15.2018·青岛模拟已知函数fx=4cosωx·sinωx++aω0图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.1求a和ω的值;2求函数fx在[0,π]上的单调递减区间.解1fx=4cosωx·sin+a=4cosωx·sinωx+cosωx+a=2sinωxcosωx+2cos2ωx-1+1+a=sin2ωx+cos2ωx+1+a=2sin2ωx++1+a.当sin=1时,fx取得最大值2+1+a=3+a,又fx图象上最高点的纵坐标为2,∴3+a=2,∴a=-
1.又fx图象上相邻两个最高点的距离为π,∴fx的最小正周期T=π,∴2ω==2,∴ω=
1.2由1得fx=2sin,由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.令k=0,得≤x≤,∴函数fx在[0,π]上的单调递减区间为.。