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第五单元三角函数及其恒等变换教材复习课“三角函数及其恒等变换”相关基础知识一课过三角函数的有关概念[过双基]1.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+2kπ,k∈Z}.2.弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l,圆心角大小为αrad,半径为r,则l=|α|r,扇形的面积为S=lr=|α|·r
2.3.任意角的三角函数1定义设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点Px,y,那么sinα=,cosα=,tanα=x≠0.2几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是10.如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.3三角函数值在各象限的符号规律一全正、二正弦、三正切、四余弦. 1.2018·济南模拟已知sinθ-cosθ1,则角θ的终边位于 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析选B 由已知得sinθ-cosθ21,即1-2sinθcosθ1,sinθcosθ0,所以sinθ0cosθ,所以角θ的终边在第二象限.2.已知α是第二象限角,Px,为其终边上一点,且cosα=x,则x= A.B.±C.-D.-解析选D 依题意得cosα==x<0,由此解得x=-,选D.3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α0απ的弧度数为 A.B.C.D.2解析选C 设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为r,所以r=αr,故α=.4.已知扇形的半径r=10cm,圆心角α为120°,则扇形的面积为________cm
2.解析因为120°=,由扇形的面积公式可得S=αr2=××102=πcm2.答案π5.在与2010°终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为________. 解析2010°=π=12π-,∴与2010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为-.答案-[清易错]1.注意易混概念的区别象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角,第
二、第三类是区间角.2.角度制与弧度制可利用180°=πrad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.1.下列说法正确的是 A.三角形的内角必是第
一、二象限角B.第一象限角必是锐角C.不相等的角终边一定不相同D.若β=α+2kπk∈Z,则α和β终边相同答案D2.已知点P在角θ的终边上,且θ∈[02π,则θ的值为 A.B.C.D.解析选C 因为点P在角θ的终边上,所以角θ的终边在第四象限,且tanθ=-.又θ∈[02π,所以θ=.3.已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则sinα+cosα=________.解析设α终边上任一点为P-4a3a,当a>0时,r=5a,sinα=,cosα=-;当a<0时,r=-5a,sinα=-,cosα=.故sinα+cosα=或-.答案±三角变换公式[过双基]1.同角三角函数的基本关系式1平方关系sin2α+cos2α=;2商数关系tanα=.2.诱导公式组序一二三四五六角2kπ+αk∈Zπ+α-απ-α-α+α正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcos_α余弦cosα-cosαcosα-cos_αsinα-sinα正切tanαtanα-tanα-tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变,符号看象限3.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sinα±β=sin_αcos_β±cos_αsin_β;cosα∓β=cos_αcos_β±sin_αsin_β;tanα±β=.4.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α=2sin_αcos_α;cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan2α=.1.已知α∈,tanα-π=-,则sinα+cosα的值是 A.± B. C.- D.-解析选C 由α∈,tanα-π=tanα=-0,得α∈,sinα=-cosα,代入sin2α+cos2α=1,解得sinα=,cosα=-,则sinα+cosα=-.2.已知sin=,则cosπ-2α的值为 A.B.C.-D.-解析选B 由sin=,可得cosα=,则cosπ-2α=-cos2α=1-2cos2α=.3.已知cos=,则sin=________.解析因为cos=,所以sin=sin-=cos=.答案4.已知tanα=2,则=________.解析因为tanα=2,所以原式===.答案5.计算=________.解析====.答案[清易错]1.利用平方关系解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要根据角的范围进行确定.2.在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错.1.已知α∈,sinα+cosα=,则cos2018π-2α= A.±B.-C.-D.±解析选B 将sinα+cosα=两边平方,化简可得sin2α=-,因为α∈,sinα+cosα=0,所以α∈,2α∈,所以cos2α0,则cos2018π-2α=cos2α=-=-.2.若cos=,α∈,则sinα的值为 A.B.C.D.解析选A 由cos=,α∈,可得sin=,则sinα=sin=×-×=.正弦、余弦、正切函数的图象与性质[过双基]正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RRx≠kπ+,k∈Z值域[-11][-11]R单调性递增区间k∈Z递减区间k∈Z递增区间[2kπ-π,2kπ]k∈Z递减区间[2kπ,2kπ+π]k∈Z递增区间k∈Z奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心kπ,0k∈Z对称中心k∈Z对称中心k∈Z对称轴x=kπ+k∈Z对称轴x=kπk∈Z周期2π2ππ 1.函数y=1-2sin22x的最小正周期是 A.B.C.D.π解析选B 因为函数y=1-2sin22x=cos4x,所以函数的最小正周期T=.2.若函数fx=2sinωx0ω1在区间上的最大值为1,则ω= A.B.C.D.解析选C 因为x∈,所以ωx∈,又因为函数fx=2sinωx0ω1在区间上的最大值为1,所以=,则ω=.3.已知函数fx=sinω0的最小正周期为π,则f= A.1B.C.-1D.-解析选A 由题设知=π,所以ω=2,fx=sin,所以f=sin=sin=
1.4.2018·杭州模拟若函数fx=sinφ∈[02π]是偶函数,则φ= A.B.C.D.解析选C 由已知fx=sin是偶函数,可得=kπ+k∈Z,即φ=3kπ+k∈Z,又φ∈[02π],所以φ=.5.若函数fx=sinωxω0在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω等于 A.B.C.2D.3解析选B ∵fx=sinωxω0过原点,∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y=sinωx是增函数;当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sinωx是减函数.由fx=sinωxω0在上单调递增,在上单调递减知,=,∴ω=.[清易错]1.正切函数的图象是由直线x=kπ+k∈Z隔开的无穷多支曲线组成,单调增区间是,k∈Z,不能说它在整个定义域内是增函数,如,但是tantan,正切函数不存在减区间.2.三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结.3.研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件.1.2018·石家庄一模函数fx=tan的单调递增区间是 A.k∈ZB.k∈ZC.k∈ZD.k∈Z解析选B 由kπ-<2x-<kπ+k∈Z得,-<x<+k∈Z,所以函数fx=tan的单调递增区间为k∈Z.2.函数fx=sin-2x,x∈[02π]的单调递增区间是________________.解析fx=sin-2x=-sin2x,令2kπ+≤2x≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数fx在[02π]上的单调递增区间是,.答案,函数y=Asinωx+φ的图象及应用[过双基]1.用五点法画y=Asinωx+φ一个周期内的简图用五点法画y=Asinωx+φ一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示x--+-ωx+φy=Asinωx+φ0A0-A02.函数y=sinx的图象变换得到y=Asinωx+φA0,ω0的图象的步骤 法一 法二1.函数y=sin在区间上的简图是 解析选A 令x=0,得y=sin=-,排除B、D.由f=0,f=0,排除C,故选A.2.将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到的函数解析式是 A.y=sin+1B.y=sin+1C.y=sin+1D.y=sin+1解析选B 由题意可得函数的解析式为y=sin+1=sin+
1.
3.函数fx=3sinωxω0的部分图象如图所示,点A,B是图象的最高点,点C是图象的最低点,且△ABC是正三角形,则f1+f2+f3的值为 A.B.C.9+1D.解析选D 因为△ABC是正三角形,所以△ABC的高是6,则△ABC的边长是12,即函数fx=3sinωxω0的周期为12,所以ω=,fx=3sinx,所以f1+f2+f3=3sin+3sin+3sin=.
4.如图是函数y=Asinωx+φ在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将y=sinxx∈R的图象上所有的点 A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变B.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变D.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变解析选D 由图象可知,A=1,周期T=π,所以ω=2,又sin=0且0φ,所以φ=,则y=sin,由图象变换可知选D.[清易错]1.由y=Asinωx的图象得到y=Asinωx+φ的图象时,需平移的单位数应为,而不是|φ|.2.要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数.1.要得到函数y=cos2x+1的图象,只要将函数y=cos2x的图象 A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位解析选C ∵y=cos2x+1=cos,∴只要将函数y=cos2x的图象向左平移个单位即可.2.函数y=cos2x+φ-π≤φπ的图象向右平移个单位后,与函数y=sin的图象重合,则φ=________.解析将y=cos2x+φ的图象向右平移个单位后得到y=cos的图象,化简得y=-cos2x+φ,又可变形为y=sin.由题意可知φ-=+2kπk∈Z,所以φ=+2kπk∈Z,结合-π≤φπ,知φ=.答案
一、选择题
1.2018·杭州模拟如图所示,在直角坐标系xOy中,射线OP交单位圆O于点P,若∠AOP=θ,则点P的坐标是 A.cosθ,sinθ B.-cosθ,sinθC.sinθ,cosθD.-sinθ,cosθ解析选A 由三角函数的定义知xP=cosθ,yP=sinθ,故选A.2.若α=k·360°+θ,β=m·360°-θk,m∈Z,则角α与β的终边的位置关系是 A.重合 B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称解析选C 角α与θ终边相同,β与-θ终边相同.又角θ与-θ的终边关于x轴对称.∴角α与β的终边关于x轴对称.3.已知sin=,α∈,则cos的值是 A.B.C.-D.1解析选C 由已知得cosα=,sinα=-,∴cos=cosα+sinα=-.4.2018·淄博调研已知tanα=2,则sin2α-sinαcosα的值是 A.B.-C.-2D.2解析选A sin2α-sinαcosα==,把tanα=2代入,原式=.5.设函数fx=sin,x∈R,则fx是 A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数解析选B ∵fx=sin=-cos2x,∴fx是最小正周期为π的偶函数.6.已知函数fx=sinω0的最小正周期为π,则该函数的图象 A.关于直线x=对称B.关于点对称C.关于直线x=-对称D.关于点对称解析选B ∵fx=sinω0的最小正周期为π,∴ω=2,即fx=sin.经验证可知f=sin=sinπ=0,即是函数fx的一个对称点.7.将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数 A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增解析选B 平移后的函数为y=3sin=3sin,增区间-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,令k=0时,≤x≤,故所得图象对应的函数在上单调递增,在上不单调,故选B.
8.2018·河北衡水中学调研已知函数fx=Acosωx+φA0,ω0的部分图象如图所示,下面结论错误的是 A.函数fx的最小正周期为B.函数fx的图象可由gx=Acosωx的图象向右平移个单位长度得到C.函数fx的图象关于直线x=对称D.函数fx在区间上单调递增解析选D 函数的最小正周期T=2=,选项A正确;由T=得ω=
3.又f=Acos=0,所以φ=kπ-k∈Z.又f=Acos=Asinφ=-,所以sinφ0,φ=-+2kπk∈Z,即fx=Acos,函数gx=Acos3x的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为y=g=Acos=Acos=fx,选项B正确;当x=时,fx=A,因此函数fx的图象关于直线x=对称,选项C正确;当x∈时,3x-∈,故函数fx在上不是单调递增的,选项D错误.
二、填空题9.函数fx=sinx-4sin3cos的最小正周期为________.解析fx=sinx-2sin2sinx=sinxcosx=sin2x,所以函数的最小正周期T=π.答案π10.在平面直角坐标系xOy中,以x轴为始边作锐角α,它的终边与单位圆相交于点A,且点A的横坐标为,则tan的值为________.解析由题意知cosα=,因为α为锐角,所以cos==,sin==,所以tan=-tan=-=-.答案-11.已知函数y=Asinωx+φ的部分图象如图所示,则φ=________.解析由图象知A=1,T=4=π,故ω=2,再由2×+φ=,得φ=-.答案-12.函数fx=log2的最大值为________.解析因为==sinx+cosx=sin∈0,],又因为函数y=log2x是增函数,所以,当=时,函数fx=log2取得最大值为.答案
三、解答题13.设函数fx=3sin的最小正周期为.1求fx的解析式;2利用“五点作图法”,画出fx在长度为一个周期的闭区间上的简图;3已知f=,求cosα的值.解1∵T==⇒ω=4,∴fx=3sin.2列表4x+0π2πx-fx030-30图象如图所示3∵f=3sin=3sin=3cosα=,∴cosα=.14.已知向量m=,n=,记fx=m·n.1若fx=1,求cos的值;2在锐角△ABC中,2a-ccosB=bcosC,求f2A的取值范围.解1fx=m·n=sincos+cos2=sin+cos+=sin+,由fx=1,得sin=,所以cos=1-2sin2=.2因为2a-ccosB=bcosC,由正弦定理得2sinA-sinCcosB=sinBcosC,所以2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,所以2sinAcosB=sinB+C,因为A+B+C=π,所以sinB+C=sinA,且sinA≠0,所以cosB=,又0B,所以B=.则A+C=,A=-C,又0C,0A,则A,得A+,所以sin≤1,又因为f2A=sin+,故函数f2A的取值范围是.15.2018·青岛模拟已知函数fx=4cosωx·sinωx++aω0图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.1求a和ω的值;2求函数fx在[0,π]上的单调递减区间.解1fx=4cosωx·sin+a=4cosωx·sinωx+cosωx+a=2sinωxcosωx+2cos2ωx-1+1+a=sin2ωx+cos2ωx+1+a=2sin2ωx++1+a.当sin=1时,fx取得最大值2+1+a=3+a,又fx图象上最高点的纵坐标为2,∴3+a=2,∴a=-
1.又fx图象上相邻两个最高点的距离为π,∴fx的最小正周期T=π,∴2ω==2,∴ω=
1.2由1得fx=2sin,由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.令k=0,得≤x≤,∴函数fx在[0,π]上的单调递减区间为.高考研究课一三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度三角函数的定义5年2考用三角函数的定义求值同角三角函数基本关系式5年2考求值诱导公式5年1考变角求值三角函数的定义[典例] 1点P从-10出发,沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标为________.2已知角α的终边上一点P-,mm≠0,且sinα=,求cosα,tanα的值.[解析] 1设点A-10,点P从-10出发,沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点Q,则∠AOQ=-2π=O为坐标原点,所以∠xOQ=,cos=,sin=,所以点Q的坐标为.答案2由题设知x=-,y=m,∴r2=|OP|2=2+m2O为原点,r=.∴sinα===,∴r==2,即3+m2=8,解得m=±.当m=时,r=2,x=-,y=,∴cosα==-,tanα=-;当m=-时,r=2,x=-,y=-,∴cosα==-,tanα=.[方法技巧]1已知角α的某三角函数值,可求角α终边上一点P的坐标中的参数值,可根据定义中的两个量列方程求参数值.2已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小,根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标. [即时演练]1.已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为P,则sin= A.- B.C.-D.1解析选A 因为角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为P,所以cosα=,所以sin=cos2α=2cos2α-1=-.2.在平面直角坐标系中,点M3,m在角α的终边上,点N2m,4在角α+的终边上,则m= A.-6或1B.-1或6C.6D.1解析选A 由题意得,tanα=,tan==,∴=,∴m=-6或
1.诱导公式[典例] 12018·淄博模拟已知sin=,则cos=________;2化简=________.[解析] 1cos=cos=cos=-cos,而sin=sin=cos=,所以cos=-.2原式====
1.[答案] 1- 21[方法技巧]利用诱导公式化简三角函数的思路和要求思路方法1分析结构特点,选择恰当公式;2利用公式化成单角三角函数;3整理得最简形式.化简要求1化简过程是恒等变形;2结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. [即时演练]1.已知函数fx=asinπx+α+bcosπx+β,且f4=3,则f2017的值为 A.-1B.1C.3D.-3解析选D ∵f4=asin4π+α+bcos4π+β=asinα+bcosβ=3,∴f2017=asin2017π+α+bcos2017π+β=asinπ+α+bcosπ+β=-asinα-bcosβ=-asinα+bcosβ=-
3.即f2017=-
3.2.已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,则·tan2π-α=________.解析∵方程5x2-7x-6=0的根为-或2,又α是第三象限角,∴sinα=-,∴cosα=-=-,∴tanα==,∴原式=·tan2α=-tan2α=-.答案-同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系是三角变换的基础,也是高考命题的热点,难度不大,属低档题.常见的命题角度有1知弦求弦、切问题;2知切求弦问题;3sinα±cosα,sinαcosα的关系应用问题;4已知tanα,求fsinα,cosα值问题.角度一知弦求弦、切问题1.已知cosα=k,α∈,则sinπ+α= A.-B.C.±D.-k解析选A 由cosα=k,α∈,得sinα=,∴sinπ+α=-sinα=-,故选A.2.已知sin=-,α∈0,π,则cosα= A.B.-C.D.-解析选D 因为α∈0,π,所以α+∈,又因为sin=-,所以α+=,即α=,则cosα=-.角度二知切求弦问题3.已知tanα-π=,且α∈,则sin= A.B.-C.D.-解析选B 由tanα-π=,得tanα=,又因为α∈,所以α为第三象限角,所以sinα=-,cosα=-.所以sin=cosα=-.角度三sinα±cosα,sinαcosα的关系应用问题4.2018·揭阳模拟已知sinαcosα=,且<α<,则cosα-sinα的值为 A.-B.C.-D.解析选B ∵<α<,∴cosα<0,sinα<0且|cosα|<|sinα|,∴cosα-sinα>0,又cosα-sinα2=1-2sinαcosα=1-2×=,∴cosα-sinα=.5.已知sinπ-α-cosπ+α=,则sinα-cosα=________.解析由sinπ-α-cosπ+α=,得sinα+cosα=,将式子两边平方得1+2sinαcosα=,故2sinαcosα=-.∴sinα-cosα2=1-2sinαcosα=1-=.又∵<α<π,∴sinα>0,cosα<
0.∴sinα-cosα=.答案角度四已知tanα,求fsinα,cosα值问题6.已知α是三角形的内角,且tanα=-,则sinα+cosα=________.解析由tanα=-,得sinα=-cosα,将其代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=1,∴cos2α=,易知cosα<0,∴cosα=-,sinα=,故sinα+cosα=-.答案-7.已知tanα+β=2,tanα-β=3,则的值为________.解析=====.答案[方法技巧]同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ=化成正弦、余弦,或者利用公式=tanθ化成正切表达式中含有sinθ,cosθ与tanθ“1”的变换1=sin2θ+cos2θ=cos2θ1+tan2θ=tan=sinθ±cosθ2∓2sinθcosθ表达式中需要利用“1”转化和积转换利用sinθ±cosθ2=1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ1.2016·全国卷Ⅲ若tanα=,则cos2α+2sin2α= A. B.C.1D.解析选A 因为tanα=,所以cos2α+2sin2α====.2.2014·大纲卷已知角α的终边经过点-43,则cosα= A.B.C.-D.-解析选D 记P-43,则x=-4,y=3,r=|OP|==5,故cosα===-.3.2014·全国卷Ⅰ若tanα0,则 A.sin2α0B.cosα0C.sinα0D.cos2α0解析选A 由tanα0,可得α的终边在第一象限或第三象限,此时sinα与cosα同号,sin2α=2sinαcosα0,故选A.4.2016·全国卷Ⅰ已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=________.解析由题意知sin=,θ是第四象限角,所以cos>0,所以cos==.tan=tan=-=-=-×=-.答案-
一、选择题
1.如图,圆O与x轴的正半轴的交点为A,点B,C在圆O上,且B,点C在第一象限,∠AOC=α,BC=1,则cos= A.- B.-C.D.解析选B 由已知可得OB=1,即圆O的半径为1,又因为BC=1,所以△OBC是等边三角形,所以cos=cos=-sin=-sin∠BOA=-.2.2018·江西六校联考点Asin2018°,cos2018°位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析选C 因为sin2018°=sin11×180°+38°=-sin38°<0,cos2018°=cos11×180°+38°=-cos38°<0,所以点Asin2018°,cos2018°位于第三象限.3.若sinθcosθ=,则tanθ+的值是 A.-2B.2C.±2D.解析选B tanθ+=+==
2.4.2018·江西五校联考= A.-B.-C.D.解析选D 原式=====.5.已知AxA,yA是单位圆圆心在坐标原点O上任意一点,将射线OA绕O点逆时针旋转30°,交单位圆于点BxB,yB,则xA-yB的取值范围是 A.[-22]B.[-,]C.[-11]D.解析选C 设沿x轴正方向逆时针旋转到射线OA的角为α,根据三角函数的定义得xA=cosα,yB=sinα+30°,所以xA-yB=cosα-sinα+30°=-sinα+cosα=sinα+150°∈[-11].6.2018·日照模拟已知-<α<0,sinα+cosα=,则的值为 A.B.C.D.解析选C ∵sinα+cosα=,∴1+sin2α=,即sin2α=-,又∵-α0,∴cosα-sinα
0.∴cosα-sinα==,∴==.
二、填空题7.若tanα=3,则=________.解析因为tanα=3,所以===
2.答案28.2018·枣庄模拟已知cos=a|a|≤1,则cos+sin的值是________.解析由题意知,cos=cos=-cos=-a.sin=sin=cos=a,∴cos+sin=
0.答案09.2018·成都一诊在直角坐标系xOy中,已知任意角θ以坐标原点O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,若其终边经过点Px0,y0,且OP=rr>0,定义sicosθ=,称“sicosθ”为“θ的正余弦函数”,若sicosθ=0,则sin=________.解析因为sicosθ=0,所以y0=x0,所以θ的终边在直线y=x上,所以当θ=2kπ+,k∈Z时,sin=sin=cos=;当θ=2kπ+,k∈Z时,sin=sin=cos=.综上得sin=.答案
三、解答题10.已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sinα+的值.解设α终边上任一点为Pk,-3k,则r==|k|.当k>0时,r=k,∴sinα==-,==,∴10sinα+=-3+3=0;当k<0时,r=-k,∴sinα==,==-,∴10sinα+=3-3=
0.综上,10sinα+=
0.11.已知cosα-7π=-,求sin3π+α·tan的值.解∵cosα-7π=cos7π-α=cosπ-α=-cosα=-,∴cosα=.∴sin3π+α·tan=sinπ+α·=sinα·tan=sinα·=sinα·=cosα=.12.已知α为第三象限角,fα=.1化简fα;2若cos=,求fα的值.解1fα===-cosα.2∵cos=,∴-sinα=,从而sinα=-.又α为第三象限角,∴cosα=-=-,∴fα=-cosα=.1.若sinα-βcosα-cosα-βsinα=m,且β为第三象限角,则cosβ的值为 A.B.-C.D.-解析选B 因为m=sinα-βcosα-cosα-βsinα=sin[α-β-α]=sin-β,所以sinβ=-m.因为β为第三象限角,所以cosβ=-=-.2.化简n∈Z的结果为________.解析当n为偶数,即n=2kk∈Z时,原式====sin2x;当n为奇数,即n=2k+1k∈Z时,原式=====sin2x,故化简的结果为sin2x.答案sin2x高考研究课二三角函数的1个常考点——图象与性质[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度三角函数的图象与性质5年4考由单调性求参数、求单调区间与周期、对称性问题,三角函数性质的综合问题三角函数的定义域、值域[典例] 1函数y=lg2sinx-1+的定义域是________.2函数y=2sin0≤x≤9的最大值与最小值之和为________.3函数fx=cos2x+sinx的值域为________.[解析] 1要使函数y=lg2sinx-1+有意义,则即解得2kπ+≤x2kπ+,k∈Z.即函数的定义域为,k∈Z.2∵0≤x≤9,∴-≤x-≤,∴-≤sin≤1,故-≤2sin≤
2.即函数y=2sin0≤x≤9的最大值为2,最小值为-.所以最大值与最小值的和为2-.3fx=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1=-2+,又∵x∈,∴sinx∈,∴fx∈.[答案] 1,k∈Z 22-3[方法技巧]1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式组,常借助三角函数图象来求解.2.三角函数最值或值域的求法1直接法直接利用sinx和cosx的值域求解.2化一法把所给三角函数化为y=Asinωx+φ+k的形式,由正弦函数单调性写出函数的值域.3换元法把sinx、cosx、sinxcosx或sinx±cosx换成t,转化为二次函数求值域. [即时演练]1.函数y=|sinx|+sinx的值域为 A.[-11] B.[-22]C.[-20]D.
[02]解析选D ∵y=|sinx|+sinx=又∵-1≤sinx≤1,∴y∈
[02],即函数的值域为
[02].2.在△ABC中,sinAcosB=-2sinC+sinBcosA,则函数fx=2sin2x+sin2x-A在区间上的最大值为________.解析由sinAcosB=-2sinC+sinBcosA,可得sinA+B=-2sinCcosA,即sinC=-2sinCcosA.因为sinC≠0,所以cosA=-,则A=,所以fx=2sin2x+sin=sin2x-cos2x=sin.因为x∈,所以2x-∈,所以fxmax=f=.答案3.求函数y=sinx+cosx+3cosxsinx的最值.解令t=sinx+cosx,则t∈[-,].∵sinx+cosx2-2sinxcosx=1,∴sinxcosx=,∴y=t2+t-,t∈[-,],∵对称轴t=-∈[-,],∴ymin=f=×--=-,ymax=f=+.三角函数的单调性[典例] 2017·浙江高考已知函数fx=sin2x-cos2x-2sinxcosxx∈R.1求f的值;2求fx的最小正周期及单调递增区间.[思路点拨] 1欲求f的值,把x=直接代入fx的解析式求解;2欲求函数fx的性质问题,应把fx的解析式化为fx=Asinωx+φ的形式,再求其最小正周期及单调增区间.[解] 1由sin=,cos=-,得f=2-2-2××=
2.2由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx,得fx=-cos2x-sin2x=-2sin.所以fx的最小正周期是π.由正弦函数的性质,令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以fx的单调递增区间是k∈Z.[方法技巧]1.求三角函数单调区间的2种方法代换法就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u或t,利用基本三角函数的单调性列不等式求解图象法画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间2.已知三角函数的单调区间求参数取值范围的3种方法子集法求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式组求解反子集法由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式组求解周期性由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式组求解[即时演练]1.已知ω0,函数fx=sin在上是减函数,则ω的取值范围是________.解析由<x<π,得ω+<ωx+<πω+,由题意知⊆+2kπ,+2kπk∈Z且≥2×,则且0<ω≤2,故≤ω≤.答案2.函数fx=sinxcosx+cos2x的递减区间是________.解析fx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+1=sin+,由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,可得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数fx的递减区间是,k∈Z.答案,k∈Z三角函数的周期性、奇偶性及对称性 正、余弦函数的图象即是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形,应把三角函数的对称性与奇偶性结合,体会二者的统一.常见的考查角度有1三角函数的周期性;2三角函数的奇偶性;3三角函数的对称性;4三角函数性质的综合应用.角度一三角函数的周期性1.2016·山东高考函数fx=sinx+cosxcosx-sinx的最小正周期是 A.B.πC.D.2π解析选B 法一∵fx=sinx+cosxcosx-sinx=4=4sincos=2sin,∴T==π.法二∵fx=sinx+cosxcosx-sinx=3sinxcosx+cos2x-sin2x-sinxcosx=sin2x+cos2x=2sin,∴T==π.故选B.2.已知函数fx=3sinωxcosωx-4cos2ωxω0的最小正周期为π,且fθ=,则f= A.-B.-C.-D.-解析选B fx=sin2ωx-2cos2ωx-2,因为函数fx的最小正周期为π,所以ω=1,又fθ=sin2θ-2cos2θ-2=,即sin2θ-2cos2θ=,则f=sin2θ+π-2cos2θ+π-2=-sin2θ+2cos2θ-2=-.角度二三角函数的奇偶性3.已知函数fx=sinx+θ+cosx+θ是偶函数,则θ的值为 A.0B.C.D.解析选B 据已知可得fx=2sin,若函数为偶函数,则必有θ+=kπ+k∈Z,又由于θ∈,故有θ+=,解得θ=,经代入检验符合题意.[方法技巧]若fx=Asinωx+φ为偶函数,则φ=kπ+k∈Z,同时,当x=0时,fx取得最大或最小值;若fx=Asinωx+φ为奇函数,则φ=kπk∈Z,同时,当x=0时,fx=
0. 角度三三角函数的对称性4.若函数fx=sin2x+θ+cos2x+θ0θπ的图象关于对称,则函数fx在上的最小值是 A.-1B.-C.-D.-解析选B fx=sin2x+θ+cos2x+θ=2sin,则由题意,知f=2sin=0,又0θπ,所以θ=,所以fx=-2sin2x,fx在上是减函数,所以函数fx在上的最小值为f=-2sin=-,故选B.5.设函数fx=sin-1ω0的导数f′x的最大值为3,则fx的图象的一条对称轴的方程是 A.x=B.x=C.x=D.x=解析选A f′x=ωcos,因为导数f′x的最大值为3,所以ω=3,则fx=sin-1,令3x+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,令k=0,可得x=,故选A.[方法技巧]对于函数y=Asinωx+φ,其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点x00是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验fx0的值进行判断. 角度四三角函数性质的综合应用6.已知函数fx=cosx∈R,下列结论错误的是 A.函数fx的最小正周期为πB.函数fx图象关于点对称C.函数fx在区间上是减函数D.函数fx的图象关于直线x=对称解析选C 函数fx=cos的最小正周期为π,且f=0,f=,则函数fx图象关于点对称,函数fx的图象关于直线x=对称,因此A、B、D正确,令2kπ≤2x-≤π+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以fx在区间上不单调,故C错误.7.2018·福建连城模拟已知函数fx=2sin2-cos2x.1求fx的最小正周期和单调递增区间;2若当x∈时,关于x的方程fx-m=2有解,求实数m的取值范围.解1fx=2sin2-cos2x=1-cos-cos2x=2sin+1,则函数fx的最小正周期为π.令2kπ-≤2x-≤2kπ+k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+k∈Z,所以fx的单调递增区间为k∈Z.2当x∈时,2x-∈,sin∈,所以fx∈
[23],而fx=m+2,所以m+2∈
[23],即m∈
[01].1.2017·全国卷Ⅲ设函数fx=cos,则下列结论错误的是 A.fx的一个周期为-2πB.y=fx的图象关于直线x=对称C.fx+π的一个零点为x=D.fx在单调递减解析选D 根据函数解析式可知函数fx的最小正周期为2π,所以函数的一个周期为-2π,A正确;当x=时,x+=3π,所以cos=-1,所以B正确;fx+π=cos=cos,当x=时,x+=,所以fx+π=0,所以C正确;函数fx=cos在上单调递减,在上单调递增,故D不正确.2.2017·全国卷Ⅲ函数fx=sin+cos的最大值为 A.B.1C.D.解析选A 因为cos=cos=sin,所以fx=sin,于是fx的最大值为.3.2017·全国卷Ⅱ函数fx=sin的最小正周期为 A.4πB.2πC.πD.解析选C 函数fx=sin的最小正周期T==π.4.2016·全国卷Ⅰ已知函数fx=sinωx+φ,x=-为fx的零点,x=为y=fx图象的对称轴,且fx在上单调,则ω的最大值为 A.11B.9C.7D.5解析选B 由题意得则ω=2k+1,k∈Z,φ=或φ=-.若ω=11,则φ=-,此时fx=sin,fx在区间上单调递增,在区间上单调递减,不满足fx在区间上单调;若ω=9,则φ=,此时fx=sin,满足fx在区间上单调递减,故选B.5.2014·全国卷Ⅰ在函数
①y=cos|2x|,
②y=|cosx|,
③y=cos2x+,
④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为 A.
②④B.
①③④C.
①②③D.
①③解析选C 对
①,∵y=cos|2x|=cos2x,T==π,∴y=cos|2x|的最小正周期为π;对于
②,∵y=cosx的最小正周期为2π,∴y=|cosx|的最小正周期为π;对于
③,y=cos的最小正周期为T==π;对于
④,y=tan的最小正周期为T=.综上,
①②③的最小正周期为π,故选C.
一、选择题1.函数fx=1-cos2xcos2x,x∈R,设fx的最大值是A,最小正周期为T,则fAT的值为 A. B.C.1D.0解析选B fx=1-cos2xcos2x=1-cos2x·==,则A=,T=,则fAT==.2.2018·广东七校联考已知函数y=sin2x+φ在x=处取得最大值,则函数y=cos2x+φ的图象 A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称解析选A 因为函数y=sin2x+φ在x=处取得最大值,所以sin=1,则φ=2kπ+,k∈Z,则y=cos=cos,当x=时,y=0,故A正确.3.下列函数同时具有性质“1最小正周期是π;2图象关于直线x=对称;3在上是减函数”的是 A.y=sinB.y=sinC.y=cosD.y=sin解析选D 易知函数y=sin的最小正周期为4π,故排除A;当x=时,y=sin=0,故排除B;当x∈时,2x+∈,函数y=cos在x∈上单调递增,故排除C;对于函数y=sin,可知其最小正周期T==π,将x=代入得,y=sin=1,是最大值,可知该函数的图象关于直线x=对称,令+2kπ≤2x+≤+2kπk∈Z,化简整理可得+kπ≤x≤+kπk∈Z,可知函数y=sin在上是减函数,故选D.4.若函数fx=cosω0在[0,π]内的值域为,则ω的取值范围是 A.B.C.D.解析选D 因为0≤x≤π,所以≤ωx+≤ωπ+,又因为函数fx=cosω0在[0,π]内的值域为,所以π≤ωπ+≤,即≤ω≤,则ω的取值范围是.5.已知函数fx=Acos2ωx+φ+1A0,ω0,0φ的最大值为3,fx的图象与y轴的交点坐标为02,其相邻两条对称轴间的距离为2,则f1+f2+…+f2017+f2018= A.4033B.4034C.4035D.4036解析选C ∵函数fx=Acos2ωx+φ+1=A·+1=cos2ωx+2φ+1+A0,ω00φ的最大值为3,∴+1+=3,∴A=
2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2,可得函数的最小正周期为4,即=4,∴ω=.再根据fx的图象与y轴的交点坐标为02,可得cos2φ+1+1=2,∴cos2φ=0,又0φ,∴2φ=,φ=.故函数fx的解析式为fx=cosx++2=-sinx+2,∴f1+f2+…+f2017+f2018=-sin+sin+sin+…+sin+sin+2×2018=-504×0-sin-sinπ+4036=-1+4036=
4035.6.2018·洛阳统考已知fx=asin2x+bcos2x,其中a,b∈R,ab≠
0.若fx≤对一切x∈R恒成立,且f>0,则fx的单调递增区间是 A.k∈ZB.k∈ZC.k∈ZD.k∈Z解析选B fx=asin2x+bcos2x=sin2x+φ,其中tanφ=.∵fx≤,∴x=是函数fx的图象的一条对称轴,即+φ=+kπk∈Z,φ=+kπk∈Z.又f>0,∴φ的取值可以是-,∴fx=sin,由2kπ-≤2x-≤2kπ+k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+k∈Z,故选B.
二、填空题7.函数fx=+tan的定义域是________.解析依题意得∴0x≤2,且x≠kπ+k∈Z,∴函数fx的定义域是.答案8.函数y=tan的图象与x轴交点的坐标是________________.解析由2x+=kπk∈Z得,x=-k∈Z.∴函数y=tan的图象与x轴交点的坐标是k∈Z. 答案k∈Z9.已知函数fx=|cosx|sinx,给出下列五个说法
①f=-;
②若|fx1|=|fx2|,则x1=x2+kπk∈Z;
③fx在区间上单调递增;
④函数fx的周期为π;
⑤fx的图象关于点成中心对称.其中正确说法的序号是________.解析
①f=sin=-sin=-,
①正确;
②令x1=0,x2=,则|fx1|=|fx2|=0,而x1=x2+kπk∈Z不成立,故
②错误;
③在区间上,fx=|cosx|sinx=cosxsinx=sin2x是增函数,故
③正确;
④因为fx+π=|cosx+π|sinx+π=-|cosx|sinx≠fx,故
④错误;
⑤设x,y在函数fx的图象上,则关于对称的点为π-x,-y,因为fπ-x=|cosπ-x|sinπ-x=|cosx|sinx=y≠-y,即点π-x,-y不在函数fx的图象上,故
⑤错误.因此正确的序号是
①③.答案
①③
三、解答题10.设函数fx=sin-2cos2+
1.1求fx的最小正周期;2若函数y=gx与y=fx的图象关于直线x=1对称,求当x∈时,y=gx的最大值.解1fx=sin-cos-cos=sin-cos=sin,所以函数fx的最小正周期为T==
6.2因为函数y=gx与y=fx的图象关于直线x=1对称,所以gx=f2-x=sin.因为x∈,所以-∈,所以sin∈,gx∈.故当x=0时,函数gx取得最大值.11.已知函数fx=a+b.1若a=-1,求函数fx的单调增区间;2若x∈[0,π]时,函数fx的值域是
[58],求a,b的值.解fx=a1+cosx+sinx+b=asin+a+b.1当a=-1时,fx=-sin+b-1,由2kπ+≤x+≤2kπ+k∈Z,得2kπ+≤x≤2kπ+k∈Z,∴fx的单调增区间为,k∈Z.2∵0≤x≤π,∴≤x+≤,∴-≤sin≤1,依题意知a≠
0.
①当a0时,∴a=3-3,b=
5.
②当a0时,∴a=3-3,b=
8.综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=
8.12.2017·江苏高考已知向量a=cosx,sinx,b=3,-,x∈[0,π].1若a∥b,求x的值;2记fx=a·b,求fx的最大值和最小值以及对应的x的值.解1因为a=cosx,sinx,b=3,-,a∥b,所以-cosx=3sinx.则tanx=-.又x∈[0,π],所以x=.2fx=a·b=cosx,sinx·3,-=3cosx-sinx=2cos.因为x∈[0,π],所以x+∈,从而-1≤cos≤.于是,当x+=,即x=0时,fx取到最大值3;当x+=π,即x=时,fx取到最小值-
2.1.已知函数fx=2sinωx+φ的图象过点B0,-1,且在上单调,同时fx的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合.当x1,x2∈,且x1≠x2时,fx1=fx2,则fx1+x2= A.-B.-1C.1D.解析选B 由题意知,2sinφ=-1,∴sinφ=-,∵|φ|,∴φ=-,∴fx=2sin,平移后的函数解析式为gx=2sin=2sin,∴ωπ=2kπ,k∈Z,∴ω=2k,k∈Z.又-≤=,∴ω≤,故ω=2,∴fx=2sin,故其图象的对称轴为x=+,k∈Z,借助题设可知x1+x2=2×=-,从而可求得fx1+x2=f=-
1.2.已知函数fx=4cosωxsinω0的最小正周期是π.1求函数fx在区间0,π上的单调递增区间;2求fx在上的最大值和最小值.解1fx=4cosωxsin=4cosωx=2sinωxcosωx-2cos2ωx+1-1=sin2ωx-cos2ωx-1=2sin-
1.且fx的最小正周期是=π,所以ω=1,从而fx=2sin-
1.令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数fx在0,π上的单调递增区间为和.2当x∈时,2x-∈,所以2sin∈.所以当2x-=,即x=时,fx取得最小值-
1.当2x-=,即x=时,fx取得最大值
1.故fx在上的最大值和最小值分别为1,-
1.高考研究课三三角函数的1个必考点——函数y=Asinωx+φ的图象和性质[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度y=Asinωx+φ图象变换5年3考图象变换及求平移单位由图象求解析式5年1考已知图象求解析式y=Asinωx+φ的性质5年3考已知图象或图象变换后研究单调性、对称性函数y=Asinωx+φ的图象及变换[典例] 1要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin4x的图象 A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位22018·景德镇测试已知函数fx=4cosx·sin+a的最大值为
2.
①求a的值及fx的最小正周期;
②在坐标系上作出fx在[0,π]上的图象.[解析] 1∵y=sin=sin,∴要得到y=sin的图象,只需将函数y=sin4x的图象向右平移个单位.答案B2
①fx=4cosxsin+a=4cosx·+a=sin2x+2cos2x+a=sin2x+cos2x+1+a=2sin+1+a,∵fx的最大值为
2.∴a=-1,最小正周期T==π.
②由
①知fx=2sin,列表x0π2x+π2πfx=2sin120-201画出函数图象如图所示[方法技巧]1.三角函数图象变换的2要点1常规方法主要有两种先平移后伸缩;先伸缩后平移.值得注意的是,对于三角函数图象的平移变换问题,其平移变换规则是“左加、右减”,并且在变换过程中只变换其自变量x,如果x的系数不是1,则需把x的系数提取后再确定平移的单位长度和方向.2方程思想可以把判断的两函数变为同名的函数,且x的系数变为一致,通过列方程求解,如y=sin2x变为y=sin,可设平移φ个单位长度,即2x+φ=2x+⇒φ=,向左平移,若φ<0说明向右平移|φ|个单位长度.2.用“五点法”作图的注意点1将原函数化为y=Asinωx+φA>0,ω>0或y=Acosωx+φA>0,ω>0的形式.2求出周期T=.3求出振幅A.4列出一个周期内的五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间内的特殊点和区间端点. [即时演练]1.2018·湖南常德质检函数fx=Asinωx+φ的图象如图,为了得到fx的图象,则只需将gx=sin2x的图象 A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度解析选C 由图象知A=1,=-=,所以T=π=,ω=2,此时函数fx=sin,代入得sin=-1,∴sin=1,∴+φ=+2kπ,k∈Z.解得φ=+2kπ,k∈Z,又因为|φ|<,所以φ=,fx=sin=sin,∴gx=sin2x向左平移个单位长度得到fx的图象.2.要得到函数y=sinx+cosx的图象,可以由函数y=sinx-cosx的图象向左平移得到,则平移的最短长度为________.解析易知y=fx=sinx+cosx==sin,同理可得y=gx=sinx-cosx=sin,根据“左加右减”的方法知,gx的图象向左至少平移个单位与fx的图象重合,所以由函数y=sinx-cosx的图象向左平移得到y=sinx+cosx的图象,则平移的最短长度为.答案由图象求y=Asinωx+φ的解析式[典例] 1函数fx=Asinωx+φA0,ω0的部分图象如图所示,则f1+f2+f3+…+f2018= A.0B.C.+2D.12如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asinωx+φ+bω>00≤φ<2π,则温度变化曲线的函数解析式为________.[解析] 1由图象可知,A=2,周期T=8,故ω=,又三角函数的图象过原点,所以φ=0,所以fx=2sinx,所以f1+f2+f3+…+f8=0,即每一个周期内的三角函数值之和为0,因此,f1+f2+f3+…+f2018=f1+f2=+
2.2由图象可知b=20,A==10,=14-6=8,T=16=,解得ω=.将610代入y=10sin+20,可得sin=-1,由0≤φ<2π可得φ=,∴y=10sin+
20.[答案] 1C 2y=10sin+20 [方法技巧]求函数y=Asinωx+φ+bA0,ω0中参数的方法1求A,b先确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=.2求ω先确定函数的周期T,则可得ω=.3求φ常用方法有
①代入法.把图象上的一个已知点代入此时A,ω,b已知或代入图象与直线y=b的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.
②五点法.确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口,具体如下选“第一点”即图象上升时与x轴的交点时,令ωx+φ=0;选“第二点”即图象的“峰点”时,令ωx+φ=;选“第三点”即图象下降时与x轴的交点时,令ωx+φ=π;选“第四点”即图象的“谷点”时,令ωx+φ=;选“第五点”时,令ωx+φ=2π. [即时演练]
1.函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,若x1,x2∈,且fx1=fx2,则fx1+x2= A.1B.C.D.解析选D 观察图象可知,A=1,T=π,∴ω=2,fx=sin2x+φ.将代入上式得sin=0,由|φ|<,得φ=,则fx=sin.函数fx图象的对称轴为x==.又x1,x2∈,且fx1=fx2,∴=,∴x1+x2=,∴fx1+x2=sin=.2.2017·天津高考设函数fx=2sinωx+φ,x∈R,其中ω0,|φ|π.若f=2,f=0,且fx的最小正周期大于2π,则 A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=解析选A 法一由f=2,得ω+φ=+2kπk∈Z,
①由f=0,得ω+φ=k′πk′∈Z,
②由
①②得ω=-+k′-2k.又最小正周期T=2π,所以0ω1,ω=.又|φ|π,将ω=代入
①得φ=.选项A符合.法二∵f=2,f=0,且fx的最小正周期大于2π,∴-=2m+1,m∈N,∴T=,m∈N,∵fx的最小正周期大于2π,∴T=3π,∴ω==,∴fx=2sin.由2sin=2,得φ=2kπ+,k∈Z.又|φ|π,∴取k=0,得φ=.故选A.y=Asinωx+φ的图象与性质 函数y=Asinωx+φ的图象与性质是命题的热点,多将图象变换、解析式求法与性质综合一起考查,属中低档题.常见的命题角度有1图象变换与性质的综合;2解析式的求法与性质的综合;3图象与性质的综合问题.角度一图象变换与性质的综合1.定义行列式运算=a1b2-a2b1,将函数fx=的图象向左平移tt0个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则t的最小值为 A.B.C.D.解析选C 由题意可得fx=cosx-sinx=2cos,则平移后所得图象对应函数的解析式gx=2cos,因为gx是偶函数,所以t+=kπ,k∈Z,t=kπ-,k∈Z,由题意可知,当k=1时,t取得最小值为.角度二解析式的求法与性质的综合2.已知函数fx=3sinωx+φ的部分图象如图所示,A,B两点之间的距离为10,且f2=0,若将函数fx的图象向右平移tt>0个单位长度后所得函数图象关于y轴对称,则t的最小值为 A.1B.2C.3D.4解析选B 由题图可设Ax13,Bx2,-3,所以|AB|==10,解得|x1-x2|=8,所以T=2|x1-x2|=16,故=16,解得ω=.所以fx=3sin,由f2=0,得3sin=0,又-≤φ≤,所以φ=-.故fx=3sin,将fx的图象向右平移tt>0个单位长度,所得图象对应的函数解析式为gx=fx-t=3sin=3sin.由题意得,函数gx的图象关于y轴对称,所以t+=kπ+k∈Z,解得t=8k+2k∈Z,故正数t的最小值为2,选B.角度三图象与性质的综合问题3.2018·江西联考已知函数fx=2sinωx+φ-1ω0,|φ|π的一个零点是,函数y=fx图象的一条对称轴是直线x=-,则当ω取得最小值时,函数fx的单调递增区间是 A.k∈ZB.k∈ZC.k∈ZD.k∈Z解析选B 依题意得,f=2sin-1=0,即sin=,得+φ=2k1π+或+φ=2k2π+其中k1,k2∈Z
①.又sin=±1,即-+φ=k3π+其中k3∈Z
②.由
①-
②得=2k1-k3π-或=2k2-k3π+,即ω=22k1-k3-或ω=22k2-k3+其中k1,k2,k3∈Z,因此ω的最小值为.因为sin=sin=±1,所以-+φ=+kπk∈Z,又|φ|π,所以φ=+,所以当ω=时,fx=2sin-1=2cos-1,当2kπ-π≤x+≤2kπk∈Z,即3kπ-≤x≤3kπ-k∈Z时,函数fx单调递增.因此,当ω取得最小值时,fx的单调递增区间是k∈Z,选B.4.已知函数fx=cos+2sinsin.1求函数fx的单调递增区间;2先将y=fx的图象向左平移个单位长度,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍纵坐标不变,得到函数y=gx的图象,若函数y=gx在区间上的图象与直线y=a有三个交点,求实数a的取值范围.解1因为sin=sin=cos,所以fx=cos+2sincos=cos+sin=cos2x+sin2x-cos2x=sin2x-cos2x=sin,由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以函数fx的单调递增区间为k∈Z.2将y=fx的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin=sin=cos2x,所以函数gx=cosx,作出函数gx=cosx,x∈的图象与直线y=a,如图所示,由图易知a∈.[方法技巧]解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y=fx化为y=asinx+bcosx的形式,然后用辅助角公式化为y=Asinωx+φ的形式,再借助y=Asinωx+φ的性质如周期性、对称性、单调性等解决相关问题. 1.2017·全国卷Ⅰ已知曲线C1y=cosx,C2y=sin,则下面结论正确的是 A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2解析选D 易知C1y=cosx=sin,把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=sin的图象,再把所得函数的图象向左平移个单位长度,可得函数y=sin=sin的图象,即曲线C
2.2.2016·全国卷Ⅱ函数y=Asinωx+φ的部分图象如图所示,则 A.y=2sinB.y=2sinC.y=2sinD.y=2sin解析选A 由图象知=-=,故T=π,因此ω==
2.又图象的一个最高点坐标为,所以A=2,且2×+φ=2kπ+k∈Z,故φ=2kπ-k∈Z,结合选项可知y=2sin.故选A.3.2016·全国卷Ⅰ将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为 A.y=2sinB.y=2sinC.y=2sinD.y=2sin解析选D 函数y=2sin的周期为π,将函数y=2sin的图象向右平移个周期即个单位长度,所得图象对应的函数为y=2sin=2sin,故选D.4.2016·全国卷Ⅱ若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为 A.x=-k∈ZB.x=+k∈ZC.x=-k∈ZD.x=+k∈Z解析选B 将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=2sin=2sin的图象.由2x+=kπ+k∈Z,得x=+k∈Z,即平移后图象的对称轴为x=+k∈Z.5.2015·全国卷Ⅰ函数fx=cosωx+φ的部分图象如图所示,则fx的单调递减区间为 A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z解析选D 由图象知,周期T=2=2,∴=2,∴ω=π.由π×+φ=+2kπ,得φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,∴fx=cos.由2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,得2k-<x<2k+,k∈Z,∴fx的单调递减区间为,k∈Z,故选D.6.2016·全国卷Ⅲ函数y=sinx-cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到.解析因为y=sinx+cosx=2sin,y=sinx-cosx=2sin,所以把y=2sin的图象至少向右平移个单位长度可得y=2sin的图象.答案
一、选择题1.2018·长沙质检将函数y=cos2x的图象先向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得图象对应的函数解析式是 A.y=-sin2x B.y=-cos2xC.y=2sin2xD.y=-2cos2x解析选C y=cos2xy=cos2x+y=cos+1,即y=cos2x+π+1=1-cos2x=2sin2x.2.已知曲线C1y=sinx,曲线C2y=cos,则下面结论正确的是 A.曲线C1横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位,得到C2B.曲线C1横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位,得到C2C.曲线C1横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位,得到C2D.曲线C1横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位,得到C2解析选D 因为曲线C1y=sinx=cos,所以将曲线C1横坐标缩短到原来的倍得函数y=cos的图象,再向左平移个单位可得到曲线C2y=cos.3.已知函数y=Asinωx+φ+m的最大值为4,最小值为
0.函数图象的两个对称轴间最短距离为,直线x=是其图象的一条对称轴,则符合条件的解析式为 A.y=-2sin+2B.y=2sin+2C.y=-2sinD.y=4sin解析选A 由函数的最大值与最小值可得A=2或-2,m=
2.由函数图象的两个对称轴间最短距离为,可知函数的最小正周期为π,则ω=
2.又直线x=是其图象的一条对称轴,所以×2+φ=kπ+,k∈Z,则φ=kπ+,k∈Z,令k=0,得φ=,故选A.4.2018·河南六市联考将奇函数fx=Asinωx+φ的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称,则ω的值可以为 A.6B.3C.4D.2解析选A 由函数为奇函数得φ=kπk∈Z,又-<φ<,∴φ=0,y=Asinωx.由函数图象向左平移个单位得到函数y=Asin=Asin,其图象关于原点对称,∴有ω=kπk∈Z,即ω=6kk∈Z,故选A.5.已知函数fx=sinωx+φ的最小正周期为π,且其图象向左平移个单位后得到函数gx=cosωx的图象,则函数fx的图象 A.关于直线x=对称B.关于直线x=对称C.关于点对称D.关于点对称解析选C 由函数fx的最小正周期为π,可得ω=2,所以函数fx=sin2x+φ的图象向左平移个单位后得到函数gx=cos2x=sin=sin2x++φ的图象,所以+φ=,即φ=-,所以fx=sin2x-,因为f=sin=0,所以函数fx的图象关于点对称.6.已知函数fx=sinωx+cosωxω0,f+f=0,且fx在区间上单调递减,则ω= A.3B.2C.6D.5解析选B ∵fx在上单调递减,且f+f=0,∴f=0,∵fx=sinωx+·cosωx=2sin,∴f=f=2sin=0,∴ω+=kπk∈Z,即ω=3k-1k∈Z.又·≥-,ω0,∴0ω≤3,∴ω=
2.
二、填空题7.已知函数fx=3sinω>0和gx=3cos2x+φ的图象完全相同,若x∈,则fx的值域是________.解析fx=3sin=3cos=3cos,易知ω=2,则fx=3sin,∵x∈,∴-≤2x-≤,∴-≤fx≤
3.答案
8.已知函数fx=Mcosωx+φM>0,ω>00<φ<π为奇函数,该函数的部分图象如图所示,AC=BC=,C=90°,则f=________.解析依题意知,△ABC是直角边长为的等腰直角三角形,因此其边AB上的高是,函数fx的最小正周期是2,故M=,=2,ω=π,fx=cosπx+φ.又函数fx是奇函数,于是有φ=kπ+,其中k∈Z.由0<φ<π,得φ=,故fx=-sinπx,f=-sin=-.答案-
9.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A3,-3出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为x,y,其纵坐标满足y=ft=Rsinωt+φ.则下列叙述正确的是________.
①R=6,ω=,φ=-;
②当t∈
[3555]时,点P到x轴的距离的最大值为6;
③当t∈
[1025]时,函数y=ft单调递减;
④当t=20时,|PA|=
6.解析
①由点A3,-3,可得R=6,由旋转一周用时60秒,可得T==60,则ω=,由点A3,-3,可得∠AOx=,则φ=-,故
①正确;
②由
①知,ft=6sin,当t∈
[3555]时,t-∈,即当t-=时,点P0,-6,点P到x轴的距离的最大值为6,故
②正确;
③当t∈
[1025]时,t-∈,由正弦函数的单调性可知,函数y=ft在
[1025]上有增有减,故
③错误;
④ft=6sin,当t=20时,水车旋转了三分之一周期,则∠AOP=,所以|PA|=6,故
④正确.答案
①②④
三、解答题10.2017·山东高考设函数fx=sin+sinωx-,其中0ω
3.已知f=
0.1求ω;2将函数y=fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变,再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=gx的图象,求gx在上的最小值.解1因为fx=sin+sin,所以fx=sinωx-cosωx-cosωx=sinωx-cosωx==sin.因为f=0,所以-=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z.又0ω3,所以ω=
2.2由1得fx=sin,所以gx=sin=sin.因为x∈,所以x-∈,当x-=-,即x=-时,gx取得最小值-.11.已知向量m=sinx,-1,n=,函数fx=m+n·m.1求函数fx的单调递增区间;2将函数fx的图象向左平移个单位得到函数gx的图象,在△ABC中,角A,B,C所对边分别a,b,c,若a=3,g=,sinB=cosA,求b的值.解1因为m=sinx,-1,n=,所以fx=m+n·m=·sinx,-1=sin2x+sinxcosx-=sin2x-1-2sin2x=sin2x-cos2x=sin.由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数fx的单调递增区间为,k∈Z.2由1得gx=sin=sin2x,因为g=sinA=,所以sinA=,在△ABC中,sinB=cosA0,可得sinB=cosA==,由正弦定理=,可得b===
3.12.2018·山东师大附中模拟已知函数fx=Asinωx+φ的部分图象如图所示.1求函数y=fx的解析式;2说明函数y=fx的图象可由函数y=sin2x-cos2x的图象经过怎样的平移变换得到;3若方程fx=m在上有两个不相等的实数根,求m的取值范围.解1由题图可知,A=2,T=4=π,∴=π,ω=2,∴fx=2sin2x+φ,∵f=0,∴sin=0,∴φ+=kπ,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,∴fx=2sin.2y=sin2x-cos2x=2sin=2sin,故将函数y=sin2x-cos2x的图象向左平移个单位就得到函数y=fx的图象.3当-≤x≤0时,-≤2x+≤,故-2≤fx≤,若方程fx=m在上有两个不相等的实数根,则曲线y=fx与直线y=m在上有2个交点,结合图形,易知-2<m≤-.故m的取值范围为-2,-].1.将函数y=sin的图象上的点P向左平移ss0个单位长度得到点P′,若P′位于函数y=sin2x的图象上,则 A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为解析选A 因为点P在函数y=sin的图象上,所以t=sin=,将点P向左平移ss0个单位长度得到点P′,因为P′位于函数y=sin2x的图象上,所以sin=,即cos2s=,所以s=kπ±,k∈Z,所以当k=0时,可得s的最小值为.
2.函数fx=6cos2+sinωx-3ω0在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B,C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形.1求ω的值及函数fx的值域;2若fx0=,且x0∈,求fx0+1的值.解1由已知可得fx=6cos2+sinωx-3=sinωx+3cosωx=2=2sin,由正三角形ABC的高为2,得|BC|=4,所以fx的周期为8,故ω=,fx的值域为[-2,2].2由1知fx=
2.所以由fx0=,得sin=.又x0∈,知x0+∈,故cos=,所以fx0+1=2sin=2sin=2=.高考研究课四三角恒等变换的3个考查点——化简、求值和应用[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度三角变换求最值5年2考三角变换与最值三角变换求值5年7考给角求值、给值求值三角函数式的化简[典例] 1化简0<α<π=________.22018·滕州一中模拟计算-sin10°·=________.[解析] 1原式===.因为0<α<π,所以0<<,所以cos>0,所以原式=cosα.2原式=-sin10°·=-====.[答案] 1cosα 2[方法技巧]三角函数式的化简方法及基本思路1化简方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂,“1”的代换,辅助角公式等. 2化简基本思路“一角二名三结构”,即一看“角”,这是最重要的一环,通过角之间的差别与联系,把角进行合理地拆分,从而正确使用公式;二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”,关于sinα·cosα的齐次分式化切等;三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”,“遇根式化被开方式为完全平方式”等.[即时演练]
1.的值为________.解析原式=====
1.答案12.化简sin2+sin2-sin2α的结果是________.解析原式=+-sin2α=1--sin2α=1-cos2α·cos-sin2α=1--=.答案3.2017·江苏高考若tan=,则tanα=________.解析tanα=tan===.答案条件求值问题三角函数条件求值问题是高考命题的热点.常见的命题角度有1给角求值;2变角求值;3给值求角.角度一给角求值1.计算-tan20°= A. B.C.1D.解析选A -tan20°=-===.2.1+tan17°1+tan28°1+tan27°1+tan18°的值是 A.2B.4C.8D.16解析选B ∵1+tan17°1+tan28°=1+tan17°+tan28°+tan17°tan28°,tan45°==1,∴1+tan17°1+tan28°=2,同理1+tan27°1+tan18°=2,∴1+tan17°1+tan28°1+tan27°1+tan18°=
4.[方法技巧]求解给角求值问题的3个注意点1观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.2观察名,尽可能使函数统一名称.3观察结构,利用公式,整体化简. 角度二变角求值3.2018·深圳调研若α,β都是锐角,且cosα=,sinα-β=,则cosβ= A.B.C.或-D.或解析选A ∵α,β都是锐角,且cosα=,sinα-β=,∴sinα=,cosα-β=,从而cosβ=cos[α-α-β]=cosαcosα-β+sinαsinα-β=,故选A.4.设tanα+β=,tan=-,则tan的值是 A.B.C.D.解析选B 因为tanα+β=,tan=-,所以tan=tan==.[方法技巧]在求值的过程中“拼凑角”对求值往往起到“峰回路转”的效果.通过适当地拆角、凑角来利用所给条件.常见的变角技巧有=-,α=α-β+β,+α=-,15°=45°-30°等. 角度三给值求角5.2018·成都一诊若sin2α=,sinβ-α=,且α∈,β∈,则α+β的值是 A.B.C.或D.或解析选A 因为α∈,所以2α∈,又sin2α=,所以2α∈,α∈,故cos2α=-.又β∈,所以β-α∈,故cosβ-α=-.所以cosα+β=cos[2α+β-α]=cos2αcosβ-α-sin2αsinβ-α=-×-×=,且α+β∈,故α+β=.6.在△ABC中,若4sinA+2cosB=4,sinB+cosA=,则角C=________.解析由题意可得sinA+cosB=1,sinB+cosA=,将两式平方相加可得1++sinAcosB+sinBcosA=1+,所以sinC=sinA+B=,则C=或.若C=,A+B=,则cosA,所以sinB+cosA=不成立,故C=.答案[方法技巧]“给值求角”的解题策略1求角的某一三角函数值;2讨论角的范围;3根据角的范围写出要求的角. 三角恒等变换与向量的综合应用[典例] 已知向量a=sinx,cosx,b=,函数fx=a·b.1求fx的单调递增区间;2若α∈且cos=,求fα.[思路点拨] 1先化简函数fx,再利用三角函数的单调性求解即可;2利用二倍角公式化简求解即可.[解] 1fx=sinxcos+1=sinxcosx-sin2x+1=sin2x+cos2x+=sin+,令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故fx的单调递增区间为,k∈Z.2fα=sin+=sincos+,∵cos=且α∈,∴sin=,∴fα=+.[方法技巧]向量与三角函数综合问题的特点与解题思路1以向量为载体考查三角函数的综合应用题目,通过向量的坐标运算构建出三角函数,然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题,有时还融入参数,考查分类讨论的思想方法.2对于三角函数求最值问题,一般有两种形式一种是化成y=Asinωx+φ或y=Acosωx+φ的形式,另一种是化成y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的形式. [即时演练]1.2018·湖南联考设向量a=cosα,-1,b=2,sinα,若a⊥b,则tan= A.-B.C.-1D.0解析选B 由已知可得,a·b=2cosα-sinα=0,∴tanα=2,tan==.2.已知△ABC为锐角三角形,若向量p=2-2sinA,cosA+sinA与向量q=sinA-cosA1+sinA是共线向量.1求角A的大小;2求函数y=2sin2B+cos的最大值.解1因为p,q共线,所以2-2sinA1+sinA=cosA+sinAsinA-cosA,即2-2sin2A=sin2A-cos2A,化简得sin2A=.又A为锐角,所以sinA=,则A=.2y=2sin2B+cos=2sin2B+cos=2sin2B+cos=1-cos2B+cos2B+sin2B=sin2B-cos2B+1=sin+
1.因为△ABC为锐角三角形且A=,所以B∈,所以2B-∈,所以当2B-=,即B=时,函数y取得最大值
2.1.2017·全国卷Ⅲ已知sinα-cosα=,则sin2α= A.-B.-C.D.解析选A 将sinα-cosα=的两边进行平方,得sin2α-2sinαcosα+cos2α=,即sin2α=-.2.2016·全国卷Ⅱ函数fx=cos2x+6cos的最大值为 A.4B.5C.6D.7解选B ∵fx=cos2x+6cos=cos2x+6sinx=1-2sin2x+6sinx=-22+,又sinx∈[-11],∴当sinx=1时,fx取得最大值
5.3.2016·全国卷Ⅱ若cos=,则sin2α= A.B.C.-D.-解析选D 因为cos=,所以sin2α=cos=cos=2cos2-1=2×-1=-.4.2015·全国卷Ⅰsin20°cos10°-cos160°sin10°= A.- B.C.-D.解析选D sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin20°+10°=sin30°=,故选D.5.2014·全国卷Ⅰ设α∈,β∈,且tanα=,则 A.3α-β=B.2α-β=C.3α+β=D.2α+β=解析选B 由条件得=,即sinαcosβ=cosα1+sinβ,sinα-β=cosα=sin,因为-α-β,0-α,所以α-β=-α,所以2α-β=,故选B.6.2013·全国卷Ⅱ已知sin2α=,则cos2= A.B.C.D.解析选A 法一cos2==1-sin2α=.法二cos=cosα-sinα,所以cos2=cosα-sinα2=1-2sinαcosα=1-sin2α=.7.2017·全国卷Ⅱ函数fx=sin2x+cosx-的最大值是________.解析依题意,fx=sin2x+cosx-=-cos2x+cosx+=-2+1,因为x∈,所以cosx∈
[01],因此当cosx=时,fxmax=
1.答案18.2017·全国卷Ⅰ已知α∈,tanα=2,则cos=________.解析∵α∈,tanα=2,∴sinα=,cosα=,∴cos=cosαcos+sinαsin=×=.答案9.2014·全国卷Ⅱ函数fx=sinx+2φ-2sinφcosx+φ的最大值为________.解析fx=sin[x+φ+φ]-2sinφcosx+φ=sinx+φcosφ-cosx+φsinφ=sinx+φ-φ=sinx,因为x∈R,所以fx的最大值为
1.答案1
一、选择题1.2016·全国卷Ⅲ若tanθ=-,则cos2θ= A.- B.-C.D.解析选D ∵cos2θ==,又∵tanθ=-,∴cos2θ==.2.已知tan=,且-<α<0,则等于 A.-B.-C.-D.解析选A 由tan==,得tanα=-.又-α0,所以sinα=-.故==2sinα=-.3.2018·温州测试已知sinx+cosx=,则cos= A.-B.C.-D.解析选B ∵sinx+cosx=2=2=2cos=,∴cos=.4.2018·东北三省模拟已知sin=cos,则cos2α= A.1B.-1C.D.0解析选D ∵sin=cos,∴cosα-sinα=cosα-sinα,即sinα=-cosα,∴tanα==-1,∴cos2α=cos2α-sin2α===
0.5.2018·南宁调研若θ∈[0,π],cosθ=,则tan= A.B.C.7D.解析选D 法一因为θ∈[0,π],所以∈,所以cos==,所以sin=,所以tan=.法二由题意得sinθ=,所以tanθ=.因为θ∈[0,π],所以∈,所以由tanθ==,解得tan=或tan=-舍去,故选D.6.2018·吉林大学附中检测若α∈,且3cos2α=sin,则sin2α的值为 A.-B.-C.-D.-解析选D ∵3cos2α=sin,∴3cos2α-sin2α=cosα-sinα,易知sinα≠cosα,故cosα+sinα=,两边平方得1+sin2α=,解得sin2α=-.7.已知sin+sinα=,则sin的值是 A.-B.-C.-D.-解析选A 因为sin+sinα=cosα+sinα=sin=,所以sin=,所以sin=-sin=-.8.2018·长沙模拟在△ABC中,若tanB+tanC=tanB·tanC-1,则sin2A= A.-B.C.-D.解析选D 由两角和的正切公式知tanB+tanC=tanB+C1-tanB·tanC,所以tanB+tanC=tanB·tanC-1=tanB+C1-tanB·tanC,所以tanB+C=-,所以tanA=,又A∈0,π,所以A=,所以sin2A=,故选D.
二、填空题9.化简sin50°1+tan10°=________.解析sin50°1+tan10°=sin50°=sin50°·=sin50°·====
1.答案110.2017·北京高考在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则cosα-β=________.解析因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以α+β=2kπ+π,k∈Z,所以cosα-β=cos2α-2kπ-π=-cos2α=-1-2sin2α=-=-.答案-11.2018·东北三省四市联考已知tan3π-x=2,则=________.解析由诱导公式得tan3π-x=-tanx=2,即tanx=-2,故===-
3.答案-312.2018·珠海六校联考已知tanα+β=,tanβ=,则tan的值为________.解析∵tanα+β=,tanβ=,∴tanα=tan[α+β-β]===,∴tan===.答案
三、解答题13.已知函数fx=sinsinx-cos2x+.1求fx的最大值及取得最大值时x的取值集合;2若方程fx=在0,π上的解为x1,x2,求cosx1-x2的值.解1fx=sinxcosx-2cos2x-1=sin2x-cos2x=sin,故当2x-=+2kπ,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z时,fx取得最大值1,故当fx取得最大值1时,x的取值集合为.2由1可知fx的图象关于直线x=对称,且f=1,∴x1+x2=,即x1=-x2,∴cosx1-x2=cos=cos=sin=fx2=.14.已知函数fx=sin2x-sin2,x∈R.1求fx的最小正周期;2求fx在区间上的最大值和最小值.解1由已知,有fx=-=-cos2x=sin2x-cos2x=sin.所以fx的最小正周期T==π.2因为fx在区间上是减函数,在区间上是增函数,且f=-,f=-,f=,所以fx在区间上的最大值为,最小值为-.1.已知函数fx=sin2+sinωx-ω0,x∈R,若fx在区间π,2π内没有零点,则ω的取值范围是 A.B.∪C.D.∪解析选D fx=sin2+sinωx-=sinωx-cosωx=sin,因为πx2π,所以ωπ-ωx-2ωπ-,因为函数fx在区间π,2π内没有零点,所以或则k∈Z或k∈Z,又因为ω0,所以0ω≤或≤ω≤.2.已知函数fx=sinωx+φ+2sin2-1ω0,0φπ为奇函数,且相邻两对称轴间的距离为.1当x∈时,求fx的单调递减区间;2将函数y=fx的图象沿x轴方向向右平移个单位长度,再把横坐标缩短到原来的纵坐标不变,得到函数y=gx的图象.当x∈时,求函数gx的值域.解1由题意得,fx=sinωx+φ-cosωx+φ=2sin,因为相邻两对称轴间的距离为,所以T==π,ω=
2.又因为函数fx为奇函数,所以φ-=kπ,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z.因为0φπ,所以φ=,故函数fx=2sin2x.令+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,令k=-1,得-≤x≤-,因为x∈,所以函数fx的单调递减区间为.2由题意可得,gx=2sin,因为x∈,所以-≤4x-≤,所以-1≤sin≤,gx∈[-2,],即函数gx的值域为[-2,].。