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高考达标检测
（五十五）推理3方法——类比、归纳、演绎
一、选择题1．下面几种推理是合情推理的是
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是n－2·180°.A．
①②④ B．
①③④C．
②③④D．
①②③④解析选A 根据题意，依次分析4个推理对于
①，在推理过程中由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理；对于
②，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；对于
③，不是合情推理，对于
④，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理，所以是合情推理的是
①②④.2．已知
①正方形的对角线相等；
②平行四边形的对角线相等；
③正方形是平行四边形．由
①②③组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 A．正方形是平行四边形B．平行四边形的对角线相等C．正方形的对角线相等D．以上均不正确解析选C 由演绎推理三段论可得，“平行四边形的对角线相等”为大前提，“正方形是平行四边形”为小前提，则结论为“正方形的对角线相等”．3．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为 A．731B．809C．852D．891解析选B 由题意知，前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝
809.4．某校高二1班每周都会选出两位“迟到之星”，在“迟到之星”人选揭晓之前，小马说“两个人选应该在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说“小赵说的对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是 A．小赵、小谭B．小马、小宋C．小马、小谭D．小赵、小宋解析选A 小马说“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，是真话；小谭说“小赵说的对”，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“迟到之星”是小赵和小谭．5．将正整数排列如下12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则图中数2018出现在 A．第44行第83列B．第45行第83列C．第44行第82列D．第45行第82列解析选D 由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，因为442＝1936452＝2025，且1936＜2018＜2025，所以2018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2018－1936＝82，故2018在第45行第82列，选D.6．单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以fn表示第n幅图的蜂巢总数，则fn＝ A．3n2－3n＋1B．3n2－3n＋2C．3n2－3nD．3n2－3n－1解析选A 由于f2－f1＝7－1＝6，f3－f2＝19－7＝2×6，f4－f3＝37－19＝3×6，f5－f4＝61－37＝4×6，…因此，当n≥2时，有fn－fn－1＝6n－1，所以fn＝[fn－fn－1]＋[fn－1－fn－2]＋…＋[f2－f1]＋f1＝6[n－1＋n－2＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋
1.又f1＝3×12－3×1＋1＝1，所以fn＝3n2－3n＋
1.7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5…2015 2016 2017 20183 5 7 9…………4031 4033 40358 12 16………………8064 8068 20 28……………………16132 ……………………………… 该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 A．2019×22015B．2019×22016C．2018×22017D．2018×22016解析选B 当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23；归纳推理得，当第一行为2018个数时，最后一行仅一个数，为2019×
22016.8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中在四面体OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为 A．S2＝S＋S＋SB．S2＝＋＋C．S＝S1＋S2＋S3D．S＝＋＋解析选A 如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·OA2＋OD2＝OB2＋OC2·OA2＋BC2·OD2＝2＋2＋2＝S＋S＋S.
二、填空题9．如果函数fx在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sinx在区间0，π上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析由题意知，凸函数满足≤f，又y＝sinx在区间0，π上是凸函数，则sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝.答案10．2018·湛江一模如图，已知点O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1，C1则＋＋＝1，类比猜想点O是空间四面体ABCD内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1，D1，则有____________．解析猜想若O为四面体ABCD内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1，D1，则＋＋＋＝
1.用等体积法证明如下＋＋＋＝＋＋＋＝
1.答案＋＋＋＝111．2017·北京高考某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件ⅰ男学生人数多于女学生人数；ⅱ女学生人数多于教师人数；ⅲ教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．解析令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，则z＜y＜x＜2z.
①若教师人数为4，则4＜y＜x＜8，当x＝7时，y取得最大值
6.
②当z＝1时，1＝z＜y＜x＜2，不满足条件；当z＝2时，2＝z＜y＜x＜4，不满足条件；当z＝3时，3＝z＜y＜x＜6，y＝4，x＝5，满足条件．所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝
12.答案6 1212．已知cos＝，coscos＝，coscoscos＝，……1根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；2若数列{an}中，a1＝cos，a2＝coscos，a3＝coscoscos，…，前n项和Sn＝，则n＝________.解析1从题中所给的几个等式可知，第n个等式的左边应有n个余弦相乘，且分母均为2n＋1，分子分别为π，2π，…，nπ，右边应为，故可以猜想出结论为coscos·…·cos＝n∈N*．2由1可知an＝，故Sn＝＝1－＝＝，解得n＝
10.答案1coscos·…·cos＝n∈N*210
三、解答题13．在锐角三角形ABC中，求证sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.证明∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＞，∴A＞－B，∵y＝sinx在上是增函数，∴sinA＞sin＝cosB，同理可得sinB＞cosC，sinC＞cosA，∴sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中
1、
2、
3、4为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，向按同样的规律刺绣小正方形的摆放规律相同，设第n个图形包含fn个小正方形．1求f6的值；2求fn的表达式；3求证当n≥2时，＋＋＋…＋＜.解1f1＝1，f2＝1＋4＝5，f3＝1＋4＋8＝13，f4＝1＋4＋8＋12＝25，f5＝1＋4＋8＋12＋16＝41，f6＝1＋4＋8＋12＋16＋20＝
61.2∵f2－f1＝4＝4×1，f3－f2＝8＝4×2，f4－f3＝12＝4×3，f5－f4＝16＝4×4，由上式规律得出fn＋1－fn＝4n.∴fn－fn－1＝4×n－1，fn－1－fn－2＝4×n－2，fn－2－fn－3＝4×n－3，……f2－f1＝4×1，∴fn－f1＝4[n－1＋n－2＋…＋2＋1]＝2n－1·n，∴fn＝2n2－2n＋
1.3证明当n≥2时，＝＝，∴＋＋＋…＋＝1＋＝1＋＝－.由于gn＝－为递增数列，即有gn≥g1＝1，且gn＜，故＋＋＋…＋＜.1．为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团“楹联社”“书法社”“汉服社”，还满足如下条件1甲同学没有加入“楹联社”；2乙同学没有加入“汉服社”；3加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；4加入“汉服社”的那名同学在高一年级；5乙同学不在高三年级．则甲同学所在的社团是 A．楹联社B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断解析选C 假设乙在高一，则由4知乙加入“汉服社”，与2矛盾，结合5知，乙在高二年级．根据3，可得乙加入“书法社”．根据1可知甲同学没有加入“楹联社”，可得甲同学所在的社团是汉服社.2．已知13＋23＝3213＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，则n＝ A．8B．9C．10D．11解析选C ∵13＋23＝32＝1＋22，13＋23＋33＝62＝1＋2＋32，13＋23＋33＋43＝102＝1＋2＋3＋42，……∴13＋23＋33＋…＋n3＝1＋2＋3＋…＋n2＝.∵13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，∴＝3025，∴n2n＋12＝2×552，∴nn＋1＝110，解得n＝
10.。
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