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高考达标检测
（四十五）二项式定理命题3角度——求系数、定特项、会赋值
一、选择题
1.3展开式的常数项为 A．120 B．160C．200D．240解析选B 因为3＝6，其展开式的通项为Tr＋1＝C·6－r·2xr＝C2rx2r－6，令2r－6＝0，可得r＝3，故展开式的常数项为C·23＝
160.2．在1－x5＋1－x6＋1－x7＋1－x8的展开式中，含x3的项的系数是 A．74B．121C．－74D．－121解析选D 展开式中含x3项的系数为C－13＋C－13＋C－13＋C－13＝－
121.3．x＋221－x5中x7的系数与常数项之差的绝对值为 A．5B．3C．2D．0解析选A 常数项为C×22×C＝4，x7的系数为C×C－15＝－1，因此x7的系数与常数项之差的绝对值为
5.4．若m的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是 A．21B．－21C．7D．－7解析选A 由题意可知2m＝128，∴m＝7，∴展开式的通项Tr＋1＝C3x7－r·r＝C37－r－1rx，令7－r＝－3，解得r＝6，∴的系数为C37－6－16＝
21.5．在1＋x61＋y4的展开式中，记xmyn项的系数fm，n，则f30＋f21＋f12＋f03＝ A．45B．60C．120D．210解析选C 在1＋x6的展开式中，xm的系数为C，在1＋y4的展开式中，yn的系数为C，故fm，n＝C·C.从而f30＝C＝20，f21＝C·C＝60，f12＝C·C＝36，f03＝C＝4，所以f30＋f21＋f12＋f03＝20＋60＋36＋4＝
120.6．若x－18＝1＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a5＝ A．56B．－56C．35D．－35解析选B x－18展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－r－1r，令r＝3，得a5＝C－13＝－
56.7．设1＋xn＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是 A．15x2B．20x3C．21x3D．35x3解析选B ∵1＋xn＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝0，得a0＝
1.令x＝1，得1＋1n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝
6.又1＋x6的展开式二项式系数最大的项的系数最大，∴1＋x6的展开式系数最大的项为T4＝Cx3＝20x
3.8．2018·河北衡水中学调研若5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 A．10B．20C．30D．40解析选D 令x＝1，得1＋a2－15＝1＋a＝2，所以a＝
1.因此5的展开式中的常数项为5的展开式中x的系数与的系数的和.5的展开式的通项Tr＋1＝C2x5－rr＝C25－rx5－2r·－1r.令5－2r＝1，得r＝2，因此5的展开式中x的系数为C25－2×－12＝80；令5－2r＝－1，得r＝3，因此5的展开式中的系数为C25－3×－13＝－40，所以5的展开式中的常数项为80－40＝
40.
二、填空题9．若a1x－14＋a2x－13＋a3x－12＋a4x－1＋a5＝x4，则a2＋a3＋a4＝________.解析x4＝[x－1＋1]4＝Cx－14＋Cx－13＋Cx－12＋Cx－1＋C，对照a1x－14＋a2x－13＋a3x－12＋a4x－1＋a5＝x4，得a2＝C，a3＝C，a4＝C，所以a2＋a3＋a4＝C＋C＋C＝
14.答案1410．已知a＝sinx＋cosxdx，则二项式6的展开式中，含x2项的系数是________．解析a＝sinx＋cosxdx＝－cosx＋sinx＝2，则6＝6，展开式的通项为Tr＋1＝C26－rr＝－1rC·26－r·x3－r，令3－r＝2，得r＝
1.故含x2项的系数是－11·C·26－1＝－
192.答案－19211．已知x＋12n的展开式中没有x2项，n∈N*，且5≤n≤8，则n＝________.解析因为x＋12n＝x2＋2x＋1n，则当第1个括号取x2时，第2个括号不能有常数项，而当n＝8时，展开式中含有常数项C；当第1个括号取2x时，第2个括号不能含有x项，而当n＝5时，展开式中含有x项Cx；当第1个括号取1时，第2个括号不能含有x2项，而当n＝6时，展开式中含有x2项Cx
2.由上可知n＝
7.答案712．若ax－16的展开式中含x3的项的系数为30，则a的值为______，展开式中所有项的系数之和为______．解析因为6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx－6＋2r，所以ax－16的展开式中含x3的项为a·Cx－5＋2r，令－5＋2r＝3，解得r＝4，故a·C＝30，解得a＝
2.令x＝1，得2－1×6＝
64.答案2 64
三、解答题13．已知在n的展开式中，只有第5项二项式系数最大.1判断展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项；若不存在，说明理由；2求展开式的所有有理项.解1∵二项式系数最大的只有第5项，即C最大，∴n＝8，∴Tr＋1＝C8－rr＝－1r2－rCx.若存在常数项，则＝0即3r＝16，r＝，又r∈N，矛盾，∴不存在常数项．2若Tr＋1为有理项，当且仅当为整数，因为0≤r≤8，r∈N，所以r＝048，时，Tr＋1为有理项，即展开式中的有理项有3项，它们是T1＝x4，T5＝x，T9＝x－
2.14．已知n的展开式中前3项的系数成等差数列，设n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.1求a0的值；2求系数最大的项．解1n的展开式中前3项的系数分别为1，C×，C×2，∵它们成等差数列，∴2C×＝1＋C×2，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1舍去，由n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn令x＝0，可得a0＝8＝.28的展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－r·r＝rCx8－r，由解得2≤r≤3∴r＝2或3，∴系数最大的项是7x5或7x
6.1．x－2y＋16的展开式中含x3y项的系数为 A．15B．60C．－60D．－120解析选D 法一由于x－2y＋1中含有三项，可以看成[x＋1－2y]6，要得到含x3y的项，由T2＝Cx＋15·－2y＝－12x＋15y可得，要含有x3，则对于x＋15，T3′＝Cx3＝10x3，即含x3y的项为－120x3y.法二由二项式定理可知，含x3y的项即Cx3C－2y·C12＝－120x3y，故含x3y项的系数为－
120.2．1＋x＋x26的展开式中的常数项为________．解析6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r·r＝－1rCx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，则T4＝C·－13＝－C；令6－2r＝－1，得r＝舍去；令6－2r＝－2，得r＝4，则T5＝C－14x－2，∴1＋x＋x26的展开式中的常数项为C－C＝15－20＝－
5.答案－5。
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