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高考达标检测
（四十四）排列与组合常考3类型——排列、组合、分组分配
一、选择题1．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 A．12种 B．18种C．24种D．36种解析选A 由分步乘法计数原理，先排第一列，有A种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A×2＝12种排列方法．2．有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为 A．150B．180C．200D．280解析选A 分两类一类，3个班分派的毕业生人数分别为221，则有·A＝90种分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为113，则有C·A＝60种分派方法．所以不同分派方法种数为90＋60＝
150.3．将A，B，C，D四个球放入编号为123的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球，且A，B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 A．30B．36C．60D．66解析选A 由题意知有一个盒子要放入2球，先假设A，B可放入一个盒子，那么方法有C＝6再减去A，B在一起的情况，就是6－1＝5种.把2个球的组合考虑成一个元素，就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子，那么共有A＝6种.根据分步乘法计数原理知共有5×6＝30种.4．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是 A．24B．48C．72D．96解析选B 根据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有AA种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有AACC种不同的摆放方法，由分类加法计数原理可得共有AA＋AACC＝48种摆放方法．5．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是 A．12B．6C．8D．16解析选A 若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有C×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．6．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法种数为 A．72B．324C．648D．1296解析选D 核潜艇排列数为A，6艘舰艇任意排列的排列数为A，同侧均是同种舰艇的排列数为AA×2，则舰艇分配方案的方法种数为AA－AA×2＝
1296.7．安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为 A．72B．96C．120D．156解析选B 甲、乙、丙三位教师安排星期一至星期六的任意三天，其余三天丁值日，故有A＝120种，其中丁没有连续的安排，安排甲，乙、丙三位教师后形成了4个间隔，任选3个安排丁，故有AC＝24种，故不同的安排方法有120－24＝96种．8．有5名游客到公园坐游艇，分别坐甲、乙两个游艇，每个游艇至少安排2名游客，那么互不相同的安排种数为 A．10B．20C．30D．40解析选B 根据题意，将5名游客分别坐甲、乙两个游艇，每个游艇至少安排2名游客，先将5人分为2组，一组3人，另一组2人，有C＝10种情况，再将2组对应2个游艇，有A＝2种情况，则互不相同的安排种数为10×2＝
20.
二、填空题9．2017·浙江高考从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．用数字作答解析法一分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C－C＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．法二不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，而没有女生的选法有AC种，故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660种．答案66010．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．解析分两种情况
①在一个城市投资2个项目，在另一城市投资1个项目，将项目分成2个与1个，有C＝3种；在4个城市当中，选择2个城市作为投资对象，有A＝12种，这种情况共有3×12＝36种．
②有三个城市各获得一个投资的项目，获得投资项目的城市有C＝4种；安排项目与城市对应，有A＝6种，这种情况共有4×6＝24种．综上，该外商不同的投资方案共有36＋24＝60种．答案6011．若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B，C相邻，则不同的排法有__________种用数字作答．解析由于B，C相邻，把B，C看做一个整体，有2种排法．这样，6个元素变成了5个．先排A，由于A不排在两端，则A在中间的3个位子中，有A＝3种方法，其余的4个元素任意排，有A种不同方法，故不同的排法有2×3×A＝144种．答案14412．航天员拟在太空授课，准备进行标号为012345的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为______用数字作答．解析优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求解．由于0号实验不能放在第一项，所以第一项实验有5种选择．最后两项实验的顺序确定，所以共有＝300种不同的编排方法．答案300
三、解答题13．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．1不出现空盒时的放入方式共有多少种？2可出现空盒时的放入方式共有多少种？解1将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C＝20种不同的放入方式．2每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C＝120种放入方式．14．2018·郑州检测有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法数1有女生但人数必须少于男生；2某女生一定要担任语文课代表；3某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；4某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．解1先选后排．符合条件的课代表人员的选法有CC＋CC种，排列方法有A种，所以满足题意的选法有CC＋CC·A＝5400种．2除去该女生后，即从剩余的7名学生中挑选4名学生担任四科的课代表，有A＝840种选法．3先选后排．从剩余的7名学生中选出4名有C种选法，排列方法有CA种，所以选法共有CCA＝3360种．4先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有C种选法，该男生的安排方法有C种，其余3人全排列，有A种，因此满足题意的选法共有CCA＝360种．1．现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A，B两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有 A．13种 B．15种 C．20种 D．30种解析选B 先给A，B两所希望小学每个学校分配2台电脑，再将剩余2台电脑随机分配给5所希望小学，共有C＋C＝15种情况.2．大小形状完全相同的8张卡片上分别标有数字12345678，从中任意抽取6张卡片排成3行2列，则3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的概率为________．解析根据题意，从8张卡片中任取6张，有A种不同的取法，再求出3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的情况数目．依据要求，中间行的数字只能为14或23，共有CA＝4种排法，然后确定其余4个数字，其排法总数为A＝360其中不合题意的有中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有A＝12种排法，所以此时余下的这4个数字共有360－4×12＝312种方法；由分步乘法计数原理可知满足3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的共有4×312＝1248种不同的排法，则3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的概率为＝.答案。
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