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高考达标检测
(四十四)排列与组合常考3类型——排列、组合、分组分配
一、选择题1.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 A.12种 B.18种C.24种D.36种解析选A 由分步乘法计数原理,先排第一列,有A种方法,再排第二列,有2种方法,故共有A×2=12种排列方法.2.有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方法种数为 A.150B.180C.200D.280解析选A 分两类一类,3个班分派的毕业生人数分别为221,则有·A=90种分派方法;另一类,3个班分派的毕业生人数分别为113,则有C·A=60种分派方法.所以不同分派方法种数为90+60=
150.3.将A,B,C,D四个球放入编号为123的三个盒子中,每个盒子中至少放一个球,且A,B两个球不能放在同一盒子中,则不同的放法有 A.30B.36C.60D.66解析选A 由题意知有一个盒子要放入2球,先假设A,B可放入一个盒子,那么方法有C=6再减去A,B在一起的情况,就是6-1=5种.把2个球的组合考虑成一个元素,就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子,那么共有A=6种.根据分步乘法计数原理知共有5×6=30种.4.有5本不同的教科书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其并排摆放在书架的同一层上,则同一科目书都不相邻的放法种数是 A.24B.48C.72D.96解析选B 根据题意可先摆放2本语文书,当1本物理书在2本语文书之间时,只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可,此时共有AA种摆放方法;当1本物理书放在2本语文书一侧时,共有AACC种不同的摆放方法,由分类加法计数原理可得共有AA+AACC=48种摆放方法.5.现有2门不同的考试要安排在5天之内进行,每天最多进行一门考试,且不能连续两天有考试,那么不同的考试安排方案种数是 A.12B.6C.8D.16解析选A 若第一门安排在开头或结尾,则第二门有3种安排方法,这时,共有C×3=6种方法;若第一门安排在中间的3天中,则第二门有2种安排方法,这时,共有3×2=6种方法.综上可得,不同的考试安排方案共有6+6=12种.6.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验,要求2艘攻击型核潜艇一前一后,3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右,每侧3艘,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分配方案的方法种数为 A.72B.324C.648D.1296解析选D 核潜艇排列数为A,6艘舰艇任意排列的排列数为A,同侧均是同种舰艇的排列数为AA×2,则舰艇分配方案的方法种数为AA-AA×2=
1296.7.安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作,每天安排一人,甲、乙、丙每人安排一天,丁安排三天,并且丁至少要有两天连续安排,则不同的安排方法种数为 A.72B.96C.120D.156解析选B 甲、乙、丙三位教师安排星期一至星期六的任意三天,其余三天丁值日,故有A=120种,其中丁没有连续的安排,安排甲,乙、丙三位教师后形成了4个间隔,任选3个安排丁,故有AC=24种,故不同的安排方法有120-24=96种.8.有5名游客到公园坐游艇,分别坐甲、乙两个游艇,每个游艇至少安排2名游客,那么互不相同的安排种数为 A.10B.20C.30D.40解析选B 根据题意,将5名游客分别坐甲、乙两个游艇,每个游艇至少安排2名游客,先将5人分为2组,一组3人,另一组2人,有C=10种情况,再将2组对应2个游艇,有A=2种情况,则互不相同的安排种数为10×2=
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二、填空题9.2017·浙江高考从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有______种不同的选法.用数字作答解析法一分两步,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有C-C=55种不同的选法;第二步,从4人中选出队长、副队长各1人,有A=12种不同的选法.根据分步乘法计数原理知共有55×12=660种不同的选法.法二不考虑限制条件,共有AC种不同的选法,而没有女生的选法有AC种,故至少有1名女生的选法有AC-AC=840-180=660种.答案66010.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有________种.解析分两种情况
①在一个城市投资2个项目,在另一城市投资1个项目,将项目分成2个与1个,有C=3种;在4个城市当中,选择2个城市作为投资对象,有A=12种,这种情况共有3×12=36种.
②有三个城市各获得一个投资的项目,获得投资项目的城市有C=4种;安排项目与城市对应,有A=6种,这种情况共有4×6=24种.综上,该外商不同的投资方案共有36+24=60种.答案6011.若A,B,C,D,E,F六个不同元素排成一列,要求A不排在两端,且B,C相邻,则不同的排法有__________种用数字作答.解析由于B,C相邻,把B,C看做一个整体,有2种排法.这样,6个元素变成了5个.先排A,由于A不排在两端,则A在中间的3个位子中,有A=3种方法,其余的4个元素任意排,有A种不同方法,故不同的排法有2×3×A=144种.答案14412.航天员拟在太空授课,准备进行标号为012345的六项实验,向全世界人民普及太空知识,其中0号实验不能放在第一项,最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号,则实验顺序的编排方法种数为______用数字作答.解析优先安排第一项实验,再利用定序问题相除法求解.由于0号实验不能放在第一项,所以第一项实验有5种选择.最后两项实验的顺序确定,所以共有=300种不同的编排方法.答案300
三、解答题13.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.1不出现空盒时的放入方式共有多少种?2可出现空盒时的放入方式共有多少种?解1将7个相同的小球排成一排,在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份,每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式,则共有C=20种不同的放入方式.2每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列,即从10个位置中选3个位置安排隔板,故共有C=120种放入方式.14.2018·郑州检测有5名男生和3名女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,分别求符合下列条件的选法数1有女生但人数必须少于男生;2某女生一定要担任语文课代表;3某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;4某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.解1先选后排.符合条件的课代表人员的选法有CC+CC种,排列方法有A种,所以满足题意的选法有CC+CC·A=5400种.2除去该女生后,即从剩余的7名学生中挑选4名学生担任四科的课代表,有A=840种选法.3先选后排.从剩余的7名学生中选出4名有C种选法,排列方法有CA种,所以选法共有CCA=3360种.4先从除去该男生和该女生的6人中选出3人,有C种选法,该男生的安排方法有C种,其余3人全排列,有A种,因此满足题意的选法共有CCA=360种.1.现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学,其中A,B两所希望小学每个学校至少2台,其他小学允许1台也没有,则不同的分配方案共有 A.13种 B.15种 C.20种 D.30种解析选B 先给A,B两所希望小学每个学校分配2台电脑,再将剩余2台电脑随机分配给5所希望小学,共有C+C=15种情况.2.大小形状完全相同的8张卡片上分别标有数字12345678,从中任意抽取6张卡片排成3行2列,则3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的概率为________.解析根据题意,从8张卡片中任取6张,有A种不同的取法,再求出3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的情况数目.依据要求,中间行的数字只能为14或23,共有CA=4种排法,然后确定其余4个数字,其排法总数为A=360其中不合题意的有中间行数字和为5,还有一行数字和为5,有4种排法,余下两个数字有A=12种排法,所以此时余下的这4个数字共有360-4×12=312种方法;由分步乘法计数原理可知满足3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的共有4×312=1248种不同的排法,则3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5的概率为=.答案。