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高考达标检测
(三十八)圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题1.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,且点A在第一象限,若|AF|=3,则直线l的斜率为 A.1 B.C.D.2解析选D 由题意可知焦点F10,设AxA,yA,由|AF|=3=xA+1,得xA=2,又点A在第一象限,故A22,故直线l的斜率为
2.2.若直线y=kx+2与抛物线y2=x有一个公共点,则实数k的值为 A.B.0C.或0D.8或0解析选C 由得ky2-y+2=0,若k=0,直线与抛物线有一个交点,则y=2,若k≠0,则Δ=1-8k=0,∴k=,综上可知k=0或.3.已知双曲线C-=1a0,b0,过点P36的直线l与C相交于A,B两点,且AB的中点为N1215,则双曲线C的离心率为 A.2B.C.D.解析选B 设Ax1,y1,Bx2,y2,由AB的中点为N1215,得x1+x2=24,y1+y2=30,由两式相减得=,则==.由直线AB的斜率k==1,∴=1,则=,∴双曲线的离心率e===.4.已知抛物线C y2=8x与点M-22,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若·=0,则k= A.B.C.D.2解析选D 如图所示,设F为焦点,取AB的中点P,过A,B分别作准线l的垂线,垂足分别为G,H,连接MF,MP,由·=0,知MA⊥MB,则|MP|=|AB|=|AG|+|BH|,所以MP为直角梯形BHGA的中位线,所以MP∥AG∥BH,所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,又|AG|=|AF|,AM为公共边,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠AGM=90°,则MF⊥AB,所以k=-=
2.5.已知F是双曲线-=1a>0,b>0的右焦点,A,B分别为其左、右顶点.O为坐标原点,D为其上一点,DF⊥x轴.过点A的直线l与线段DF交于点E,与y轴交于点M,直线BE与y轴交于点N,若3|OM|=2|ON|,则双曲线的离心率为 A.3B.4C.5D.6解析选C 如图,设A-a0,Ba0,M0,2m,N0,-3m.则直线AM的方程为y=x+2m,直线BN的方程为y=x-3m.∵直线AM,BN的交点Dc,y0,∴+2m=-3m,则=5,∴双曲线的离心率为
5.6.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为 A.2B.C.D.解析选C 设A,B两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2,直线l的方程为y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4t2-1=
0.则x1+x2=-t,x1x2=.∴|AB|=|x1-x2|=·=·=·,故当t=0时,|AB|max=.
二、填空题7.焦点是F05,并截直线y=2x-1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为__________.解析设所求的椭圆方程为+=1ab0,直线被椭圆所截弦的端点为Ax1,y1,Bx2,y2.由题意,可得弦AB的中点坐标为,且=,=-.将A,B两点坐标代入椭圆方程中,得两式相减并化简,得=-·=-2×=3,所以a2=3b
2.又c2=a2-b2=50,所以a2=75,b2=
25.故所求椭圆的标准方程为+=
1.答案+=18.经过双曲线-=1a>0,b>0的右焦点,倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点,则该双曲线的离心率为________.解析∵经过双曲线-=1a>0,b>0的右焦点,倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点,∴根据双曲线的几何性质知所给直线应与双曲线的一条渐近线y=x平行,∴=tan60°=,即b=a,∴c==2a,故e==
2.答案29.抛物线x2=4y与直线x-2y+2=0交于A,B两点,且A,B关于直线y=-2x+m对称,则m的值为________.解析设Ax1,y1,Bx2,y2联立消去y,得x2-2x-4=
0.则x1+x2=2,=
1.∴y1+y2=x1+x2+2=3,=.∵A,B关于直线y=-2x+m对称,∴AB的中点在直线y=-2x+m上,即=-2×1+m,解得m=.答案
三、解答题10.椭圆C+=1a>b>0的离心率为,过右焦点F2c0垂直于x轴的直线与椭圆交于P,Q两点且|PQ|=,又过左焦点F1-c0作直线l交椭圆于两点.1求椭圆C的方程;2若椭圆C上两点A,B关于直线l对称,求△AOB面积的最大值.解1由题意可知|PQ|==.
①又椭圆的离心率e===,则=,
②由
①②解得a2=3,b2=2,∴椭圆的方程为+=
1.2由1可知左焦点F1-10依题意,直线l不垂直x轴,当直线l的斜率k≠0时,可设直线l的方程为y=kx+1k≠0,则直线AB的方程可设为y=-x+m,Ax1,y1,Bx2,y2,联立整理得2k2+3x2-6kmx+3k2m2-6k2=0,Δ=-6km2-4×2k2+33k2m2-6k2>0,则m2k2-2k2-3<0,
③x1+x2=,x1x2=.设AB的中点为CxC,yC,则xC==,yC=.∵点C在直线l上,∴=k,则m=-2k-,
④此时m2-2-=4k2++10>0与
③矛盾,故k≠0时不成立.当直线l的斜率k=0时,Ax0,y0,Bx0,-y0x0>0,y0>0,∴△AOB的面积S=·2y0·x0=x0y
0.∵+=1≥2=x0y0,∴x0y0≤.当且仅当==时取等号.∴△AOB的面积的最大值为.11.已知抛物线E y2=2pxp>0的焦点F,E上一点3,m到焦点的距离为
4.1求抛物线E的方程;2过F作直线l,交抛物线E于A,B两点,若直线AB中点的纵坐标为-1,求直线l的方程.解1抛物线E y2=2pxp>0的准线方程为x=-,由抛物线的定义可知3-=4,解得p=2,∴抛物线E的方程为y2=4x.2法一由1得抛物线E的方程为y2=4x,焦点F10,设A,B两点的坐标分别为Ax1,y1,Bx2,y2,则两式相减,整理得=x1≠x2.∵线段AB中点的纵坐标为-1,∴直线l的斜率kAB===-2,∴直线l的方程为y-0=-2x-1,即2x+y-2=
0.法二由1得抛物线E的方程为y2=4x,焦点F10,设直线l的方程为x=my+1,由消去x,得y2-4my-4=
0.设A,B两点的坐标分别为Ax1,y1,Bx2,y2,∵线段AB中点的纵坐标为-1,∴==-1,解得m=-,∴直线l的方程为x=-y+1,即2x+y-2=
0.12.2018·海口调研已知椭圆C+=1ab0的左,右顶点分别为A,B,其离心率e=,点M为椭圆上的一个动点,△MAB面积的最大值是
2.1求椭圆C的方程;2若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D,线段BD的垂直平分线与y轴交于点P,当·=0时,求点P的坐标.解1由题意可知解得a=2,b=,所以椭圆方程为+=
1.2由1知B20,设直线BD的方程为y=kx-2,Dx1,y1,把y=kx-2代入椭圆方程+=1,整理得3+4k2x2-16k2x+16k2-12=0,所以2+x1=⇒x1=,则D,所以BD中点的坐标为,则直线BD的垂直平分线方程为y-=-,得P.又·=0,即·=0,化简得=0⇒64k4+28k2-36=0,解得k=±.故P或.1.已知椭圆C+=1ab0的短轴长为2,离心率为,设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,过A,B作直线x=2的垂线AP,BQ,垂足分别为P,Q.记λ=,若直线l的斜率k≥,则λ的取值范围为__________.解析∵椭圆C+=1ab0的短轴长为2,离心率为,∴解得a=,b=c=1,∴椭圆C的方程为+y2=
1.∵过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,∴设直线l的方程为y=kx-1,联立得2k2+1x2-4k2x+2k2-2=0设Ax1,y1,Bx2,y2,y1>y2,则x1+x2=,x1x2=,∴λ=======.∵k≥,∴当k=时,λmax==,当k→+∞时,λmin→,∴λ的取值范围是.答案2.已知动点M到定点F10的距离比M到定直线x=-2的距离小
1.1求点M的轨迹C的方程;2过点F任意作互相垂直的两条直线l1,l2,分别交曲线C于点A,B和M,N.设线段AB,MN的中点分别为P,Q,求证直线PQ恒过一个定点;3在2的条件下,求△FPQ面积的最小值.解1由题意可知,动点M到定点F10的距离等于M到定直线x=-1的距离,根据抛物线的定义可知,点M的轨迹C是抛物线,所以点M的轨迹C的方程为y2=4x.2证明设A,B两点坐标分别为x1,y1,x2,y2,则点P的坐标为.由题意可设直线l1的方程为y=kx-1,k≠0,由得k2x2-2k2+4x+k2=
0.Δ=2k2+42-4k4=16k2+
160.因为直线l1与曲线C交于A,B两点,所以x1+x2=2+,y1+y2=kx1+x2-2=.所以点P的坐标为.由题知,直线l2的斜率为-,同理可得点Q的坐标为1+2k2,-2k.当k≠±1时,有1+≠1+2k2,此时直线PQ的斜率kPQ==.所以直线PQ的方程为y+2k=x-1-2k2,整理得yk2+x-3k-y=
0.于是直线PQ恒过定点E30;当k=±1时,直线PQ的方程为x=3,也过点E30.综上所述,直线PQ恒过定点E30.3由2得|EF|=2,所以△FPQ面积S=|EF|=2≥4,当且仅当k=±1时,“=”成立,所以△FPQ面积的最小值为
4.。