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高考达标检测
（三十八）圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题1．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，若|AF|＝3，则直线l的斜率为 A．1 B.C.D．2解析选D 由题意可知焦点F10，设AxA，yA，由|AF|＝3＝xA＋1，得xA＝2，又点A在第一象限，故A22，故直线l的斜率为
2.2．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x有一个公共点，则实数k的值为 A.B．0C.或0D．8或0解析选C 由得ky2－y＋2＝0，若k＝0，直线与抛物线有一个交点，则y＝2，若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，∴k＝，综上可知k＝0或.3．已知双曲线C－＝1a0，b0，过点P36的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N1215，则双曲线C的离心率为 A．2B.C.D.解析选B 设Ax1，y1，Bx2，y2，由AB的中点为N1215，得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由两式相减得＝，则＝＝.由直线AB的斜率k＝＝1，∴＝1，则＝，∴双曲线的离心率e＝＝＝.4．已知抛物线C y2＝8x与点M－22，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·＝0，则k＝ A.B.C.D．2解析选D 如图所示，设F为焦点，取AB的中点P，过A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由·＝0，知MA⊥MB，则|MP|＝|AB|＝|AG|＋|BH|，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MP∥AG∥BH，所以∠GAM＝∠AMP＝∠MAP，又|AG|＝|AF|，AM为公共边，所以△AMG≌△AMF，所以∠AFM＝∠AGM＝90°，则MF⊥AB，所以k＝－＝
2.5．已知F是双曲线－＝1a＞0，b＞0的右焦点，A，B分别为其左、右顶点．O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|＝2|ON|，则双曲线的离心率为 A．3B．4C．5D．6解析选C 如图，设A－a0，Ba0，M0，2m，N0，－3m．则直线AM的方程为y＝x＋2m，直线BN的方程为y＝x－3m.∵直线AM，BN的交点Dc，y0，∴＋2m＝－3m，则＝5，∴双曲线的离心率为
5.6．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为 A．2B.C.D.解析选C 设A，B两点的坐标分别为x1，y1，x2，y2，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4t2－1＝
0.则x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，故当t＝0时，|AB|max＝.
二、填空题7．焦点是F05，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为__________．解析设所求的椭圆方程为＋＝1ab0，直线被椭圆所截弦的端点为Ax1，y1，Bx2，y2．由题意，可得弦AB的中点坐标为，且＝，＝－.将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得两式相减并化简，得＝－·＝－2×＝3，所以a2＝3b
2.又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝
25.故所求椭圆的标准方程为＋＝
1.答案＋＝18．经过双曲线－＝1a＞0，b＞0的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，则该双曲线的离心率为________．解析∵经过双曲线－＝1a＞0，b＞0的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，∴根据双曲线的几何性质知所给直线应与双曲线的一条渐近线y＝x平行，∴＝tan60°＝，即b＝a，∴c＝＝2a，故e＝＝
2.答案29．抛物线x2＝4y与直线x－2y＋2＝0交于A，B两点，且A，B关于直线y＝－2x＋m对称，则m的值为________．解析设Ax1，y1，Bx2，y2联立消去y，得x2－2x－4＝
0.则x1＋x2＝2，＝
1.∴y1＋y2＝x1＋x2＋2＝3，＝.∵A，B关于直线y＝－2x＋m对称，∴AB的中点在直线y＝－2x＋m上，即＝－2×1＋m，解得m＝.答案
三、解答题10．椭圆C＋＝1a＞b＞0的离心率为，过右焦点F2c0垂直于x轴的直线与椭圆交于P，Q两点且|PQ|＝，又过左焦点F1－c0作直线l交椭圆于两点．1求椭圆C的方程；2若椭圆C上两点A，B关于直线l对称，求△AOB面积的最大值．解1由题意可知|PQ|＝＝.
①又椭圆的离心率e＝＝＝，则＝，
②由
①②解得a2＝3，b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝
1.2由1可知左焦点F1－10依题意，直线l不垂直x轴，当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为y＝kx＋1k≠0，则直线AB的方程可设为y＝－x＋m，Ax1，y1，Bx2，y2，联立整理得2k2＋3x2－6kmx＋3k2m2－6k2＝0，Δ＝－6km2－4×2k2＋33k2m2－6k2＞0，则m2k2－2k2－3＜0，
③x1＋x2＝，x1x2＝.设AB的中点为CxC，yC，则xC＝＝，yC＝.∵点C在直线l上，∴＝k，则m＝－2k－，
④此时m2－2－＝4k2＋＋10＞0与
③矛盾，故k≠0时不成立.当直线l的斜率k＝0时，Ax0，y0，Bx0，－y0x0＞0，y0＞0，∴△AOB的面积S＝·2y0·x0＝x0y
0.∵＋＝1≥2＝x0y0，∴x0y0≤.当且仅当＝＝时取等号．∴△AOB的面积的最大值为.11．已知抛物线E y2＝2pxp＞0的焦点F，E上一点3，m到焦点的距离为
4.1求抛物线E的方程；2过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为－1，求直线l的方程．解1抛物线E y2＝2pxp＞0的准线方程为x＝－，由抛物线的定义可知3－＝4，解得p＝2，∴抛物线E的方程为y2＝4x.2法一由1得抛物线E的方程为y2＝4x，焦点F10，设A，B两点的坐标分别为Ax1，y1，Bx2，y2，则两式相减，整理得＝x1≠x2．∵线段AB中点的纵坐标为－1，∴直线l的斜率kAB＝＝＝－2，∴直线l的方程为y－0＝－2x－1，即2x＋y－2＝
0.法二由1得抛物线E的方程为y2＝4x，焦点F10，设直线l的方程为x＝my＋1，由消去x，得y2－4my－4＝
0.设A，B两点的坐标分别为Ax1，y1，Bx2，y2，∵线段AB中点的纵坐标为－1，∴＝＝－1，解得m＝－，∴直线l的方程为x＝－y＋1，即2x＋y－2＝
0.12．2018·海口调研已知椭圆C＋＝1ab0的左，右顶点分别为A，B，其离心率e＝，点M为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是
2.1求椭圆C的方程；2若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当·＝0时，求点P的坐标．解1由题意可知解得a＝2，b＝，所以椭圆方程为＋＝
1.2由1知B20，设直线BD的方程为y＝kx－2，Dx1，y1，把y＝kx－2代入椭圆方程＋＝1，整理得3＋4k2x2－16k2x＋16k2－12＝0，所以2＋x1＝⇒x1＝，则D，所以BD中点的坐标为，则直线BD的垂直平分线方程为y－＝－，得P.又·＝0，即·＝0，化简得＝0⇒64k4＋28k2－36＝0，解得k＝±.故P或.1．已知椭圆C＋＝1ab0的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x＝2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q.记λ＝，若直线l的斜率k≥，则λ的取值范围为__________．解析∵椭圆C＋＝1ab0的短轴长为2，离心率为，∴解得a＝，b＝c＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝
1.∵过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，∴设直线l的方程为y＝kx－1，联立得2k2＋1x2－4k2x＋2k2－2＝0设Ax1，y1，Bx2，y2，y1＞y2，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴λ＝＝＝＝＝＝＝.∵k≥，∴当k＝时，λmax＝＝，当k→＋∞时，λmin→，∴λ的取值范围是.答案2．已知动点M到定点F10的距离比M到定直线x＝－2的距离小
1.1求点M的轨迹C的方程；2过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N.设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证直线PQ恒过一个定点；3在2的条件下，求△FPQ面积的最小值．解1由题意可知，动点M到定点F10的距离等于M到定直线x＝－1的距离，根据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是抛物线，所以点M的轨迹C的方程为y2＝4x.2证明设A，B两点坐标分别为x1，y1，x2，y2，则点P的坐标为.由题意可设直线l1的方程为y＝kx－1，k≠0，由得k2x2－2k2＋4x＋k2＝
0.Δ＝2k2＋42－4k4＝16k2＋
160.因为直线l1与曲线C交于A，B两点，所以x1＋x2＝2＋，y1＋y2＝kx1＋x2－2＝.所以点P的坐标为.由题知，直线l2的斜率为－，同理可得点Q的坐标为1＋2k2，－2k．当k≠±1时，有1＋≠1＋2k2，此时直线PQ的斜率kPQ＝＝.所以直线PQ的方程为y＋2k＝x－1－2k2，整理得yk2＋x－3k－y＝
0.于是直线PQ恒过定点E30；当k＝±1时，直线PQ的方程为x＝3，也过点E30．综上所述，直线PQ恒过定点E30．3由2得|EF|＝2，所以△FPQ面积S＝|EF|＝2≥4，当且仅当k＝±1时，“＝”成立，所以△FPQ面积的最小值为
4.。
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