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高考达标检测
(五十一)参数方程1.2017·江苏高考在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为t为参数,曲线C的参数方程为s为参数.设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.解直线l的普通方程为x-2y+8=
0.因为点P在曲线C上,设P2s22s,从而点P到直线l的距离d==.当s=时,dmin=.因此当点P的坐标为44时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.2.已知曲线C1t为参数,曲线C2θ为参数.1化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;2若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3t为参数的距离的最小值.解1曲线C1x+42+y-32=1,曲线C2+=1,曲线C1是以-43为圆心,1为半径的圆;曲线C2是以坐标原点为中心,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.2当t=时,P-44,Q8cosθ,3sinθ,故M-2+4cosθ,2+sinθ.曲线C3为直线x-2y-7=0,M到C3的距离d=|4cosθ-3sinθ-13|,从而当cosθ=,sinθ=-时,d取最小值.3.在平面直角坐标系xOy中,C1的参数方程为t为参数,在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,C2的极坐标方程ρ2-2ρcosθ-3=
0.1说明C2是哪种曲线,并将C2的方程化为普通方程;2C1与C2有两个公共点A,B,点P的极坐标,求线段AB的长及定点P到A,B两点的距离之积.解1C2是圆,C2的极坐标方程ρ2-2ρcosθ-3=0,化为普通方程为x2+y2-2x-3=0,即x-12+y2=
4.2点P的直角坐标为11,且在直线C1上,将C1的参数方程t为参数代入x2+y2-2x-3=0,得2+2-2-3=0,化简得t2+t-3=
0.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-,t1·t2=-3,所以|AB|=|t1-t2|===,定点P到A,B两点的距离之积|PA|·|PB|=|t1t2|=
3.4.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的参数方程为θ为参数,直线l的参数方程为t为参数,定点P11.1以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;2已知直线l与圆C相交于A,B两点,求||PA|-|PB||的值.解1依题意得圆C的一般方程为x-12+y2=4,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式得ρ2-2ρcosθ-3=0,所以圆C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-3=
0.2因为定点P11在直线l上,所以直线l的参数方程可表示为t为参数.代入x-12+y2=4,得t2-t-3=
0.设点A,B分别对应的参数为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-
3.所以t1,t2异号,不妨设t10,t20,所以|PA|=t1,|PB|=-t2,所以||PA|-|PB||=|t1+t2|=.5.已知直线l t为参数,曲线C1θ为参数.1设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;2若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l距离的最小值.解1由已知得l的普通方程为y=x-1,C1的普通方程为x2+y2=1,联立方程解得l与C1的交点为A10,B,则|AB|=
1.2由题意,得C2的参数方程为θ为参数,故点P的坐标为,从而点P到直线l的距离是d==sin+2,当sin=-1时,d取得最小值,且最小值为.6.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为t为参数.在以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=.1直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程;2设曲线C上的点到直线l的距离为d,求d的取值范围.解1直线l的普通方程为x-y+3=0,曲线C的直角坐标方程为3x2+y2=
3.2∵曲线C的直角坐标方程为3x2+y2=3,即x2+=1,∴曲线C上的点的坐标可表示为cosα,sinα,∴d===.∴d的最小值为=,d的最大值为=.∴≤d≤,即d的取值范围为.7.平面直角坐标系xOy中,曲线C x-12+y2=
1.直线l经过点Pm0,且倾斜角为,以O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.1写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程;2若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m的值.解1曲线C的直角坐标方程为x-12+y2=1,即x2+y2=2x,即ρ2=2ρcosθ,所以曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.直线l的参数方程为t为参数.2设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,将直线l的参数方程代入x2+y2=2x中,得t2+m-t+m2-2m=0,所以t1t2=m2-2m,由题意得|m2-2m|=1,解得m=1或m=1+或m=1-.8.已知直线的参数方程是t是参数,圆C的极坐标方程为ρ=4cos.1求圆心C的直角坐标;2由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.解1∵ρ=4cos=2cosθ-2sinθ,∴ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ,∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y=0,即x-2+y+2=4,∴圆心的直角坐标为,-.2直线l上的点向圆C引切线,则切线长为==≥4,∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值为
4.。