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9.6 直线与圆锥曲线的位置关系挖命题【考情探究】分析解读 从天津高考试题来看本节内容一直是高考的热点直线与椭圆以及抛物线的位置关系、圆锥曲线中的弦长、弦的中点等问题考查比较频繁常与向量、圆等知识结合考查解题基本策略有:1巧设直线方程;2注意整体代换思想的应用利用根与系数的关系设而不求.炼技法【方法集训】方法1 圆锥曲线中弦长的求法
1.过椭圆+y2=1的右焦点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于ABCD四点则四边形ABCD面积S的最大值与最小值之差为 A. B. C. D.答案 B
2.2016课标Ⅱ2012分已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上A是E的左顶点斜率为kk0的直线交E于AM两点点N在E上MA⊥NA.1当t=4|AM|=|AN|时求△AMN的面积;2当2|AM|=|AN|时求k的取值范围.解析 1设Mx1y1则由题意知y
10.当t=4时E的方程为+=1A-
20.由已知及椭圆的对称性知直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+
2.将x=y-2代入+=1得7y2-12y=
0.解得y=0或y=所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.2设Mx1y1由题意t3k0A-
0.将直线AM的方程y=kx+代入+=1得3+tk2x2+2·tk2x+t2k2-3t=
0.由x1·-=得x1=故|AM|=|x1+|=.由题设直线AN的方程为y=-x+故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得=即k3-2t=3k2k-
1.当k=时上式不成立因此t=.t3等价于=0即
0.由此得或解得k
2.因此k的取值范围是
2.疑难突破 第1问中求出直线AM的倾斜角是解决问题的关键;第2问利用2|AM|=|AN|得出t与k的关系式由t3建立关于k的不等式从而得出k的取值范围.评析本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系以及方程的思想方法的应用考查学生的运算求解能力及逻辑思维能力.注意题目中t3这一隐含条件是把等式转化为不等式的关键.方法2 圆锥曲线中弦中点问题的求法
3.已知椭圆E:+=1ab0的右焦点为F30过点F的直线交E于AB两点.若AB的中点坐标为1-1则E的方程为 A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1答案 D 过专题【五年高考】A组 自主命题·天津卷题组
1.2018天津1914分设椭圆+=1ab0的左焦点为F上顶点为B.已知椭圆的离心率为点A的坐标为b0且|FB|·|AB|=
6.1求椭圆的方程;2设直线l:y=kxk0与椭圆在第一象限的交点为P且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQO为原点求k的值.解析 1设椭圆的焦距为2c由已知得=又由a2=b2+c2可得2a=3b.由已知可得|FB|=a|AB|=b由|FB|·|AB|=6可得ab=6从而a=3b=
2.所以椭圆的方程为+=
1.2设点P的坐标为x1y1点Q的坐标为x2y
2.由已知有y1y20故|PQ|sin∠AOQ=y1-y
2.又因为|AQ|=而∠OAB=故|AQ|=y
2.由=sin∠AOQ可得5y1=9y
2.由方程组消去x可得y1=.易知直线AB的方程为x+y-2=0由方程组消去x可得y2=.由5y1=9y2可得5k+1=3两边平方整理得56k2-50k+11=0解得k=或k=.所以k的值为或.解题关键 利用平面几何知识将=sin∠AOQ转化为点P、Q坐标间的关系是解决第2问的关键.
2.2017天津文2014分已知椭圆+=1ab0的左焦点为F-c0右顶点为A点E的坐标为0c△EFA的面积为.1求椭圆的离心率;2设点Q在线段AE上|FQ|=c延长线段FQ与椭圆交于点P点MN在x轴上PM∥QN且直线PM与直线QN间的距离为c四边形PQNM的面积为3c.i求直线FP的斜率;ii求椭圆的方程.解析 1设椭圆的离心率为e.由已知可得c+ac=.又由b2=a2-c2可得2c2+ac-a2=0即2e2+e-1=
0.又因为0e1解得e=.所以椭圆的离心率为.2i依题意设直线FP的方程为x=my-cm0则直线FP的斜率为.由1知a=2c可得直线AE的方程为+=1即x+2y-2c=0与直线FP的方程联立可解得x=y=即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c有+=整理得3m2-4m=0所以m=即直线FP的斜率为.ii由a=2c可得b=c故椭圆方程可以表示为+=
1.由i得直线FP的方程为3x-4y+3c=0与椭圆方程联立得消去y整理得7x2+6cx-13c2=0解得x=-舍去或x=c.因此可得点P进而可得|FP|==所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c.由已知线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=×=所以△FQN的面积为|FQ||QN|=同理△FPM的面积等于由四边形PQNM的面积为3c得-=3c整理得c2=2c又由c0得c=
2.所以椭圆的方程为+=
1.
3.2015天津文1914分已知椭圆+=1ab0的上顶点为B左焦点为F离心率为.1求直线BF的斜率;2设直线BF与椭圆交于点PP异于点B过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点QQ异于点B直线PQ与y轴交于点M|PM|=λ|MQ|.i求λ的值;ii若|PM|sin∠BQP=求椭圆的方程.解析 1设F-c
0.由已知离心率=及a2=b2+c2可得a=cb=2c.又因为B0bF-c0故直线BF的斜率k===
2.2设点PxPyPQxQyQMxMyM.i由1可得椭圆的方程为+=1直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立消去y整理得3x2+5cx=0解得xP=-.因为BQ⊥BP所以直线BQ的方程为y=-x+2c与椭圆方程联立消去y整理得21x2-40cx=0解得xQ=.又因为λ=及xM=0可得λ===.ii由i有=所以==即|PQ|=|PM|.又因为|PM|sin∠BQP=所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=.又因为yP=2xP+2c=-c所以|BP|==c因此c=得c=
1.所以椭圆方程为+=
1.评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力.B组 统一命题、省区、市卷题组
1.2018课标Ⅰ85分设抛物线C:y2=4x的焦点为F过点-20且斜率为的直线与C交于MN两点则·= A.5 B.6 C.7 D.8答案 D
2.2016课标Ⅲ文125分已知O为坐标原点F是椭圆C:+=1ab0的左焦点AB分别为C的左右顶点.P为C上一点且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点则C的离心率为 A. B. C. D.答案 A
3.2015江苏125分在平面直角坐标系xOy中P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立则实数c的最大值为 . 答案
4.2018课标Ⅰ1912分设椭圆C:+y2=1的右焦点为F过F的直线l与C交于AB两点点M的坐标为
20.1当l与x轴垂直时求直线AM的方程;2设O为坐标原点证明:∠OMA=∠OMB.解析 1由已知得F10l的方程为x=1由已知可得点A的坐标为或.所以AM的方程为y=-x+或y=x-.2证明:当l与x轴重合时∠OMA=∠OMB=0°当l与x轴垂直时直线OM为AB的垂直平分线所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时设l的方程为y=kx-1k≠0Ax1y1Bx2y2则x1x2直线MAMB的斜率之和为kMA+kMB=+由y1=kx1-ky2=kx2-k得kMA+kMB=.将y=kx-1代入+y2=1得2k2+1x2-4k2x+2k2-2=0所以x1+x2=x1x2=.则2kx1x2-3kx1+x2+4k==0从而kMA+kMB=0故MAMB的倾斜角互补所以∠OMA=∠OMB.综上∠OMA=∠OMB.
5.2018江苏1814分如图在平面直角坐标系xOy中椭圆C过点焦点F1-0F20圆O的直径为F1F
2.1求椭圆C及圆O的方程;2设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点求点P的坐标;
②直线l与椭圆C交于AB两点.若△OAB的面积为求直线l的方程.解析 1由题意知c=所以圆O的方程为x2+y2=3因为点在椭圆上所以2a=+=4所以a=
2.因为a2=b2+c2所以b=1所以椭圆C的方程为+y2=
1.2
①由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切且切点在第一象限所以直线l的斜率k存在且k0设直线l的方程为y=kx+mk0m0将直线l的方程代入圆O的方程得x2+kx+m2=3整理得k2+1x2+2kmx+m2-3=0因为直线l与圆O相切所以Δ=2km2-4k2+1·m2-3=0整理得m2=3k2+3将直线l的方程代入椭圆C的方程得+kx+m2=1整理得4k2+1x2+8kmx+4m2-4=0因为直线l与椭圆C相切所以Δ=8km2-44k2+14m2-4=0整理得m2=4k2+1所以3k2+3=4k2+1因为k0所以k=-则m=3将k=-m=3代入k2+1x2+2kmx+m2-3=0整理得x2-2x+2=0解得x1=x2=将x=代入x2+y2=3解得y=1y=-1舍去所以点P的坐标为
1.
②设Ax1kx1+mBx2kx2+m由
①知m2=3k2+3且k0m0因为直线l和椭圆C相交所以结合
②的过程知m24k2+1解得k-将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得4k2+1x2+8kmx+4m2-4=0解得x12=所以|x1-x2|=因为AB==|x1-x2|=·O到l的距离d==所以S△OAB=···=···=解得k2=5因为k0所以k=-则m=3即直线l的方程为y=-x+
3.
6.2018课标Ⅲ2012分已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于AB两点线段AB的中点为M1mm
0.1证明:k-;2设F为C的右焦点P为C上一点且++=
0.证明:2||=||+||.证明 1设Ax1y1Bx2y2则+=1+=
1.两式相减并由=k得+·k=
0.由题设知=1=m于是k=-.由题设得0m故k-.2由题意得F
10.设Px3y3则x3-1y3+x1-1y1+x2-1y2=
00.由1及题设得x3=3-x1+x2=1y3=-y1+y2=-2m
0.又点P在C上所以m=从而P||=.于是||===2-.同理||=2-.所以||+||=4-x1+x2=
3.故2||=||+||.思路分析 1利用“点差法”求得斜率k利用AB中点坐标建立k与m的关系式由m的范围得到k的范围.2根据题设++=0及点P在C上确定m进一步得出||、||、||的关系.解后反思 题中涉及弦的中点坐标可以采用“点差法”求解设出点A、B的坐标代入椭圆方程并作差再将弦AB的中点坐标代入所得的差可得直线AB的斜率.
7.2016课标Ⅱ文2112分已知A是椭圆E:+=1的左顶点斜率为kk0的直线交E于AM两点点N在E上MA⊥NA.1当|AM|=|AN|时求△AMN的面积;2当2|AM|=|AN|时证明:k
2.解析 1设Mx1y1则由题意知y
10.由已知及椭圆的对称性知直线AM的倾斜角为.又A-20因此直线AM的方程为y=x+
2.将x=y-2代入+=1得7y2-12y=
0.解得y=0或y=所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.2将直线AM的方程y=kx+2k0代入+=1得3+4k2x2+16k2x+16k2-12=
0.由x1·-2=得x1=故|AM|=|x1+2|=.由题设直线AN的方程为y=-x+2故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得=即4k3-6k2+3k-8=
0.设ft=4t3-6t2+3t-8则k是ft的零点ft=12t2-12t+3=32t-12≥0所以ft在0+∞单调递增.又f=15-260f2=60因此ft在0+∞有唯一的零点且零点k在2内所以k
2.评析本题考查了直线与椭圆的位置关系考查了设而不求整体运算的技巧考查了函数的思想方法属难题.
8.2015湖南文2013分已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1ab0的一个焦点C1与C2的公共弦的长为
2.过点F的直线l与C1相交于AB两点与C2相交于CD两点且与同向.1求C2的方程;2若|AC|=|BD|求直线l的斜率.解析 1由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为
01.因为F也是椭圆C2的一个焦点所以a2-b2=
1.
①又C1与C2的公共弦的长为2C1与C2都关于y轴对称且C1的方程为x2=4y由此易知C1与C2的公共点的坐标为所以+=
1.
②联立
①②得a2=9b2=
8.故C2的方程为+=
1.2如图设Ax1y1Bx2y2Cx3y3Dx4y
4.因与同向且|AC|=|BD|所以=从而x3-x1=x4-x2即x1-x2=x3-x4于是x1+x22-4x1x2=x3+x42-4x3x
4.
③设直线l的斜率为k则l的方程为y=kx+
1.由得x2-4kx-4=
0.而x1x2是这个方程的两根所以x1+x2=4kx1x2=-
4.
④由得9+8k2x2+16kx-64=
0.而x3x4是这个方程的两根所以x3+x4=-x3x4=-.
⑤将
④⑤代入
③得16k2+1=+即16k2+1=所以9+8k22=16×9解得k=±即直线l的斜率为±.C组 教师专用题组
1.2017课标Ⅰ文2012分设AB为曲线C:y=上两点A与B的横坐标之和为
4.1求直线AB的斜率;2设M为曲线C上一点C在M处的切线与直线AB平行且AM⊥BM求直线AB的方程.解析 1设Ax1y1Bx2y2则x1≠x2y1=y2=x1+x2=4于是直线AB的斜率k===
1.2由y=得y=设Mx3y3由题设知=1解得x3=2于是M
21.设直线AB的方程为y=x+m故线段AB的中点为N22+m|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=
0.当Δ=16m+10即m-1时x12=2±
2.从而|AB|=|x1-x2|=
4.由题设知|AB|=2|MN|即4=2m+1解得m=
7.所以直线AB的方程为y=x+
7.
2.2015福建文1912分已知点F为抛物线E:y2=2pxp0的焦点点A2m在抛物线E上且|AF|=
3.1求抛物线E的方程;2已知点G-10延长AF交抛物线E于点B证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.解析 1由抛物线的定义得|AF|=2+.因为|AF|=3即2+=3解得p=2所以抛物线E的方程为y2=4x.2证明:因为点A2m在抛物线E:y2=4x上所以m=±2由抛物线的对称性不妨设A
22.由A22F10可得直线AF的方程为y=2x-
1.由得2x2-5x+2=0解得x=2或x=从而B.又G-10所以kGA==kGB==-所以kGA+kGB=0从而∠AGF=∠BGF这表明点F到直线GAGB的距离相等故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.评析本题主要考查抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识考查推理论证能力、运算求解能力考查数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想.
3.2014陕西文2013分已知椭圆+=1ab0经过点0离心率为左右焦点分别为F1-c0F2c
0.1求椭圆的方程;2若直线l:y=-x+m与椭圆交于AB两点与以F1F2为直径的圆交于CD两点且满足=求直线l的方程.解析 1由题设知解得a=2b=c=1∴椭圆的方程为+=
1.2由1知以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1∴圆心到直线l的距离d=由d1得|m|.*∴|CD|=2=2=.设Ax1y1Bx2y2由得x2-mx+m2-3=0由根与系数的关系可得x1+x2=mx1x2=m2-
3.∴|AB|==.由=得=1解得m=±满足*.∴直线l的方程为y=-x+或y=-x-.评析本题主要考查椭圆的方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识考查抽象概括能力、推理能力及运算求解能力.考查了转化与化归思想、函数与方程的思想.
4.2014辽宁2012分圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴y轴正半轴围成一个三角形当该三角形面积最小时切点为P如图双曲线C1:-=1过点P且离心率为.1求C1的方程;2椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点直线l过C2的右焦点且与C2交于AB两点若以线段AB为直径的圆过点P求l的方程.解析 1设切点坐标为x0y0x00y00则切线斜率为-切线方程为y-y0=-x-x0即x0x+y0y=4此时两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.由+=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值即S有最小值因此点P的坐标为.由题意知解得a2=1b2=2故C1的方程为x2-=
1.2由1知C2的焦点坐标为-00由此设C2的方程为+=1其中b
10.由P在C2上得+=1解得=3因此C2的方程为+=
1.显然l不是直线y=
0.设l的方程为x=my+点Ax1y1Bx2y2由得m2+2y2+2my-3=0又y1y2是方程的根因此由x1=my1+x2=my2+得因=-x1-y1=-x2-y2由题意知·=0所以x1x2-x1+x2+y1y2-y1+y2+4=
0.
⑤将
①②③④代入
⑤式整理得2m2-2m+4-11=0解得m=-1或m=-+
1.因此直线l的方程为x-y-=0或x+y-=
0.【三年模拟】解答题共100分
1.2017天津十二区县一模19已知椭圆E:+=1a0b0的焦点在x轴上左顶点为A斜率为kk0的直线交椭圆E于AB两点点C在椭圆E上AB⊥AC直线AC交y轴于点D.1当点B为椭圆的上顶点△ABD的面积为2ab时求椭圆的离心率;2当b=2|AB|=|AC|时求k的取值范围.解析 1由题意可知直线AB的方程为y1=x+b直线AC的方程为y2=-x+a令x=0则y1=by2=-所以S△ABD=··a=2ab于是a2+b2=4b2a2=3b2所以e===.2由题意可知直线AB的方程为y=kx+a椭圆方程为+=1联立并整理得3+a2k2x2+2a3k2x+a4k2-3a2=0解得x=-a或x=-所以|AB|=·=·同理|AC|=·因为2|AB|=|AC|所以2··=·整理得a2=.因为椭圆E的焦点在x轴上所以a23即3整理得0解得k
2.
2.2019届天津一中第二次月考19已知椭圆C:+=1ab0的离心率为以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为
8.1求椭圆C的标准方程;2如图斜率为的直线l与椭圆C交于AB两点点P21在直线l的上方若∠APB=90°且直线PAPB分别与y轴交于点MN求线段MN的长度.解析 1由题意知椭圆的离心率e===故a2=4b2又以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8则4×ab=8故ab=4因此a=2b=故椭圆的标准方程为+=
1.2设直线l的方程为y=x+mAx1y1Bx2y2由得x2+2mx+2m2-4=0又Δ=2m2-42m2-40故-2m2由根与系数的关系得x1+x2=-2mx1x2=2m2-4又kPA=kPB=∴kPA+kPB=+=又y1-1x2-2+y2-1x1-2=x2-2+x1-2=x1x2+m-2x1+x2-4m-1=2m2-4+m-2-2m-4m-1=0即kPA+kPB=0又∠APB=90°∴kPA·kPB=-1∴kPA=1kPB=-1∴△PMN是等腰直角三角形∴|MN|=2xP=4∴线段MN的长度为
4.
3.2018天津宝坻一中模拟19如图在平面直角坐标系xOy中已知椭圆C:+=1ab0的离心率e=左顶点为A-40过点A作斜率为kk≠0的直线l交椭圆C于点D交y轴于点E.1求椭圆C的标准方程;2已知点P为AD的中点是否存在定点Q对于任意的kk≠0都有OP⊥EQ若存在求出点Q的坐标;若不存在说明理由;3过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M求的最小值.解析 1因为椭圆C的左顶点为A-40所以a=4又e=所以c=
2.又因为b2=a2-c2=12所以椭圆C的标准方程为+=
1.2设DxDyD由题意得直线l的方程为y=kx+4由得x+4[4k2+3x+16k2-12]=0所以xD=.所以D.因为点P为AD的中点所以P的坐标为则kOP=-k≠
0.直线l的方程为y=kx+4令x=0得E点坐标为04k假设存在定点Qmnm≠0使得OP⊥EQ则kOP·kEQ=-1即-·=-1恒成立所以4m+12k-3n=0恒成立所以即所以存在满足条件的定点Q定点Q的坐标为-
30.3因为OM∥l所以OM的方程可设为y=kx由得M点的横坐标为xM=±由OM∥l得====·=≥2当且仅当=即k=±时取等号所以当k=±时取得最小值最小值为
2.
4.2018天津一中3月月考19已知椭圆C1:+=1ab0的离心率为P-20是它的一个顶点过点P作圆C2:x2+y2=r2的切线PTT为切点且|PT|=.1求椭圆C1及圆C2的方程;2过点P作互相垂直的两条直线l1l2其中l1与椭圆的另一交点为Dl2与圆交于AB两点求△ABD面积的最大值.解析 1根据题意可知P-20为椭圆的左顶点∴a=2又e==∴c=∴b2=a2-c2=2∴椭圆C1的标准方程为+=1由题意知r==∴圆C2的方程为x2+y2=
2.2依题意知直线l1的斜率必存在设直线l1的方程为y=kx+2PxPyPDxDyD由得1+2k2x2+8k2x+8k2-4=0∴xP+xD=-又xP=-2∴xD=∴|DP|=|xP-xD|=直线l2的方程为y=-x+2即x+ky+2=0∴|AB|=2=2则S△ABD=·|AB|·|DP|=×2·===≤=当且仅当=即k=±时取等号.∴△ABD面积的最大值为.
5.2018天津河西二模19已知椭圆C1的方程为+=1ab0离心率e=其一个焦点在抛物线C2:y2=2pxp0的准线上且抛物线C2与直线l:x-y+=0相切.1求椭圆C1的方程;2若点MN为椭圆C1上的两个不同的点T为平面内任意一点且满足=+2+直线OM与ON的斜率之积为-试说明:是否存在两个定点F1F2使得|TF1|+|TF2|为定值若存在求点F1F2的坐标;若不存在请说明理由.解析 1联立抛物线方程与直线方程得得y2-2py+2p=0∵抛物线C2与直线l:x-y+=0相切∴Δ=4p2-8p=0解得p=
2.∴抛物线C2的方程为y2=4x准线方程为x=-.∵椭圆C1的一个焦点在抛物线C2的准线上∴c=又∵e==a2=b2+c2∴a2=12b2=
6.∴椭圆C1的方程为+=
1.2设TxyMx1y1Nx2y2∵直线OM与ON的斜率之积为-∴=-即x1x2+2y1y2=
0.∵点MN在椭圆+=1上∴+2=12+2=
12.∵=+2+=2+∴∴x2+2y2=4+4x1x2++24+4y1y2+=+2+4+2+4x1x2+2y1y2=
60.∴点Txy在椭圆+=1上.根据椭圆的定义可知:当F1F2为椭圆+=1的焦点时|TF1|+|TF2|为定值.其中F1-0F
20.
6.2018天津一中4月月考19过椭圆C:+=10b3的上顶点A作相互垂直的两条直线分别交椭圆于不同的两点MN点MN与点A不重合.1设椭圆的下顶点为B0-b当直线AM的斜率为时若S△ANB=2S△AMB求b的值;2若存在点MN使得|AM|=|AN|且直线AMAN斜率的绝对值都不为1求e的取值范围.解析 1由题意可设直线AM的方程为y=kx+bk≠0则直线AN的方程为y=-x+bMx1y1Nx2y2由得9k2+b2x2+18kbx=0解得x1=-同理可得x2=∵S△ANB=2S△AMB∴x2=-2x1∴=2·即2b2k2+18=b2+9k2当k=时代入可得b=.2由1可得|AM|=·|x1|=·|AN|=·|x2|=·不妨设k0且k≠1∵|AM|=|AN|∴·=·即b2+9k2=b2k3+9k整理可得k-1[b2k2+b2-9k+b2]=0则b2k2+b2-9k+b2=0有不为1的正根∴解得0b∵a=3c2=a2-b2∴6c29∴c3∴e
1.故e的取值范围为.
7.2018天津南开中学第三次月考19已知椭圆+y2=1a1的左顶点为A上顶点为B右焦点为F.1若S△ABF=求a的值;2点P在椭圆上且在第二象限内线段AP的垂直平分线交y轴于点Q.若△APQ为正三角形求椭圆的离心率的取值范围.解析 1由题意知椭圆的焦点在x轴上∴b=1c=∴S△ABF=·a+c·b=×=解得a=.2易知A-a0B01设Pxyx0y0AP的中点为Mx0y0显然直线AP的斜率存在设直线AP的方程为y=kx+a由P在椭圆上且在第二象限内得k·a1即k由得1+a2k2x2+2a3k2x+a4k2-a2=0解得x=-a或x=-由中点坐标公式可得x0=-y0=即M则线段AP垂直平分线的方程为y-=-令x=0则y=-=∴Q|AQ|2=a2+|AM|2=+=∵△APQ为正三角形∴|AQ|2=4|AM|2即a2+=4·整理得a4k2=3由k解得a23则∴椭圆的离心率e==∴椭圆的离心率的取值范围为.考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点
1.直线与圆锥曲线的位置关系
1.会用代数法和数形结合法判断直线与椭圆、抛物线的位置关系
2.根据所学知识熟练解决直线与椭圆、抛物线位置关系的综合问题2018天津19直线与椭圆的位置关系三角函数★★★2017天津文20椭圆的几何性质2015天津文19直线方程
2.弦长公式的应用2018北京文20求弦长的最值直线与椭圆的位置关系★☆☆
3.弦中点问题2018课标Ⅲ20弦中点相关问题向量的运算★☆☆。
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