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第1讲抽样方法、总体分布的估计1．2018·南通调研测试某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为________．[解析]设高二年级抽取n人，则＝，故n＝93人．[答案]932．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n＝________．[解析]由已知条件，抽样比为＝，从而＝，解得n＝
720.[答案]
7203.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图如图所示，则该样本的中位数、众数、极差分别是________．[解析]由题意知各数为12，15，20，22，23，23，31，32，34，34，38，39，45，45，45，47，47，48，48，49，50，50，51，51，54，57，59，61，67，68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为68－12＝
56.[答案]46，45，564．2018·江苏省高考命题研究专家原创卷一某电商联盟在“双11”狂欢节促销活动中，对11月11日9时到14时的销售额进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知13时到14时的销售额为
4.5万元，则10时到13时的销售额为________万元．解析设10时到13时的销售额为x万元，由题图可知13时到14时的销售额与10时到13时的销售额的比值为＝，又13时到14时的销售额为
4.5万元，所以＝，解得x＝36，所以10时到13时的销售额为36万元．答案365．2018·无锡模拟若一组样本数据8，x，10，11，9的平均数为10，则该组样本数据的方差为________．[解析]因为平均数＝＝10，所以x＝12，从而方差为s2＝4＋4＋0＋1＋1＝
2.[答案]26．2018·苏锡常镇四市调研PM
2.5是指大气中直径小于或等于
2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的PM
2.5监测点统计的数据单位毫克/立方米列出的茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是________校区.[解析]方差较小即两者比较时数据比较集中，从茎叶图知，南岗校区数据集中，而群力校区数据分散的很明显，故南岗校区浓度的方差较小．[答案]南岗7．2018·鹰潭模拟改编某市共有400所学校，现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本，调查学生课外阅读的情况．把这400所学校编上1～400的号码，再从1～20中随机抽取一个号码，如果此时抽得的号码是6，则在编号为21到40的学校中，应抽取的学校的编号为________．[解析]根据系统抽样的条件，可知抽取的号码为第一组的号码加上组距的整数倍，所以为号20＋6＝26号．[答案]268．2018·江苏省名校高三入学摸底卷已知一组数据1，2，3，4，5m的方差为2，那么相对应的另一组数据2，4，6，8，10m的方差为________．解析1，2，3，4，5m的平均数＝2＋m，方差s2＝＝2，而2，4，6，8，10m的平均数1＝4＋2m，方差s＝4×＝4×2＝
8.答案89．2018·宿迁调研将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为
91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为________．解析由题图可知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝
4.所以s2＝×[87－912＋90－912×2＋91－912×2＋94－912×2]＝.答案10．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，已知a2＝2a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为________．[解析]因为小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，且a2＝2a1，所以样本的频率构成一个等比数列，且公比为2，所以a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15a1＝1，所以a1＝，所以小长方形面积最大的一组的频数为300×8a1＝
160.[答案]16011．一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅有一个是正确的．学生小张只能确定其中10道题的正确答案，其余2道题完全靠猜测回答．小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表如下得分分4045505560百分率15%10%25%40%10%现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析．1应抽取多少张选择题得60分的试卷？2若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率．[解]1得60分的人数为40×10%＝
4.设抽取x张选择题得60分的试卷，则＝，则x＝2，故应抽取2张选择题得60分的试卷．2设小张的试卷为a1，另三名得60分的同学的试卷为a2，a3，a4，所有抽取60分试卷的方法为a1，a2，a1，a3，a1，a4，a2，a3，a2，a4，a3，a4共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，故小张的试卷被抽到的概率为P＝＝.12．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是甲8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙6，7，7，8，6，7，8，7，9，
5.1分别计算两组数据的平均数；2分别计算两组数据的方差；3根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些．[解]1甲＝8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7＝7，乙＝6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5＝
7.2由方差公式s2＝[x1－2＋x2－2＋…＋xn－2]可求得s＝
3.0，s＝
1.
2.3由甲＝乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；又因为ss，说明甲战士射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定．1．2018·徐州模拟某工厂在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从
一、
二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为________．[解析]因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为1200双皮靴．[答案]12002．2018·北京海淀区模拟某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出
一、
二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．[解析]第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×
0.5＋980×
0.2＋1030×
0.3＝
1015.[答案]50 10153．某公司300名员工2016年年薪情况的频率分布直方图如图所示，由图可知，员工中年薪在
1.4～
1.6万元的共有________人．[解析]由频率分布直方图知年薪低于
1.4万元或者高于
1.6万元的频率为
0.2＋
0.8＋
0.8＋
1.0＋
1.0×
0.2＝
0.76，因此，年薪在
1.4到
1.6万元间的频率为1－
0.76＝
0.24，所以300名员工中年薪在
1.4到
1.6万元间的员工人数为300×
0.24＝72人．[答案]724．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是________．[解析]因为甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，则由题意可得s2＝[x1－702＋x2－702＋…＋80－702＋70－702＋…＋x48－702]，而更正前有75＝[x1－702＋x2－702＋…＋50－702＋100－702＋…＋x48－702]，化简整理得s2＝
50.[答案]70，505．某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并采用茎叶图表示本次测试30人的跳高成绩单位cm，跳高成绩在175cm以上包括175cm定义为“合格”，跳高成绩在175cm以下不包括175cm定义为“不合格”．1如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少？2若从甲队178cm包括178cm以上的6人中抽取2人，则至少有一人在186cm以上包括186cm的概率为多少？[解]1根据茎叶图可知，30人中有12人“合格”，有18人“不合格”．用分层抽样的方法，则5人中“合格”与“不合格”的人数分别为2人、3人．2甲队178cm包括178cm以上的6人中抽取2人的基本事件为178，181，178，182，178，184，178，186，178，191，181，182，181，184，181，186，181，191，182，184，182，186，182，191，184，186，184，191，186，191，共15个．其中都不在186cm以上的基本事件为178，181，178，182，178，184，181，182，181，184，182，184，共6个．所以都不在186cm以上的概率P＝＝，由对立事件的概率公式得，至少有一人在186cm以上包括186cm的概率为1－P＝1－＝.6．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量单位吨，将数据按照[0，
0.5，[
0.5，1，…，[4，
4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．1求直方图中a的值；2设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；3估计居民月均用水量的中位数．[解]1由频率分布直方图，可知月均用水量在[0，
0.5的频率为
0.08×
0.5＝
0.
04.同理，在[
0.5，1，[
1.5，2，[2，
2.5，[3，
3.5，[
3.5，4，[4，
4.5]组的频率分别为
0.08，
0.21，
0.25，
0.06，
0.04，
0.
02.由1－
0.04＋
0.08＋
0.21＋
0.25＋
0.06＋
0.04＋
0.02＝
0.5×a＋
0.5×a，解得a＝
0.
30.2由1，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0．06＋
0.04＋
0.02＝
0.
12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×
0.12＝
36000.3设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为
0.04＋
0.08＋
0.15＋
0.21＋
0.25＝
0.
730.5，而前4组的频率之和为
0.04＋
0.08＋
0.15＋
0.21＝
0.
480.5，所以2≤x
2.
5.由
0.50×x－2＝
0.5－
0.48，解得x＝
2.
04.故可估计居民月均用水量的中位数为
2.04吨．。
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