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第1讲抽样方法、总体分布的估计1.2018·南通调研测试某中学共有学生2800人,其中高一年级970人,高二年级930人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取280人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为________.[解析]设高二年级抽取n人,则=,故n=93人.[答案]932.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况,采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中,抽取35人进行问卷调查.已知高二被抽取的人数为13,则n=________.[解析]由已知条件,抽样比为=,从而=,解得n=
720.[答案]
7203.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图如图所示,则该样本的中位数、众数、极差分别是________.[解析]由题意知各数为12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68,中位数是46,众数是45,最大数为68,最小数为12,极差为68-12=
56.[答案]46,45,564.2018·江苏省高考命题研究专家原创卷一某电商联盟在“双11”狂欢节促销活动中,对11月11日9时到14时的销售额进行统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知13时到14时的销售额为
4.5万元,则10时到13时的销售额为________万元.解析设10时到13时的销售额为x万元,由题图可知13时到14时的销售额与10时到13时的销售额的比值为=,又13时到14时的销售额为
4.5万元,所以=,解得x=36,所以10时到13时的销售额为36万元.答案365.2018·无锡模拟若一组样本数据8,x,10,11,9的平均数为10,则该组样本数据的方差为________.[解析]因为平均数==10,所以x=12,从而方差为s2=4+4+0+1+1=
2.[答案]26.2018·苏锡常镇四市调研PM
2.5是指大气中直径小于或等于
2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的PM
2.5监测点统计的数据单位毫克/立方米列出的茎叶图,南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是________校区.[解析]方差较小即两者比较时数据比较集中,从茎叶图知,南岗校区数据集中,而群力校区数据分散的很明显,故南岗校区浓度的方差较小.[答案]南岗7.2018·鹰潭模拟改编某市共有400所学校,现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本,调查学生课外阅读的情况.把这400所学校编上1~400的号码,再从1~20中随机抽取一个号码,如果此时抽得的号码是6,则在编号为21到40的学校中,应抽取的学校的编号为________.[解析]根据系统抽样的条件,可知抽取的号码为第一组的号码加上组距的整数倍,所以为号20+6=26号.[答案]268.2018·江苏省名校高三入学摸底卷已知一组数据1,2,3,4,5m的方差为2,那么相对应的另一组数据2,4,6,8,10m的方差为________.解析1,2,3,4,5m的平均数=2+m,方差s2==2,而2,4,6,8,10m的平均数1=4+2m,方差s=4×=4×2=
8.答案89.2018·宿迁调研将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为
91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示,则7个剩余分数的方差为________.解析由题图可知去掉的两个数是87,99,所以87+90×2+91×2+94+90+x=91×7,解得x=
4.所以s2=×[87-912+90-912×2+91-912×2+94-912×2]=.答案10.在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{an},已知a2=2a1,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为________.[解析]因为小长方形的面积由小到大构成等比数列{an},且a2=2a1,所以样本的频率构成一个等比数列,且公比为2,所以a1+2a1+4a1+8a1=15a1=1,所以a1=,所以小长方形面积最大的一组的频数为300×8a1=
160.[答案]16011.一次数学模拟考试,共12道选择题,每题5分,共计60分,每道题有四个可供选择的答案,仅有一个是正确的.学生小张只能确定其中10道题的正确答案,其余2道题完全靠猜测回答.小张所在班级共有40人,此次考试选择题得分情况统计表如下得分分4045505560百分率15%10%25%40%10%现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析.1应抽取多少张选择题得60分的试卷?2若小张选择题得60分,求他的试卷被抽到的概率.[解]1得60分的人数为40×10%=
4.设抽取x张选择题得60分的试卷,则=,则x=2,故应抽取2张选择题得60分的试卷.2设小张的试卷为a1,另三名得60分的同学的试卷为a2,a3,a4,所有抽取60分试卷的方法为a1,a2,a1,a3,a1,a4,a2,a3,a2,a4,a3,a4共6种,其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种,故小张的试卷被抽到的概率为P==.12.甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次,每次命中的环数分别是甲8,6,7,8,6,5,9,10,4,7;乙6,7,7,8,6,7,8,7,9,
5.1分别计算两组数据的平均数;2分别计算两组数据的方差;3根据计算结果,估计一下两名战士的射击水平谁更好一些.[解]1甲=8+6+7+8+6+5+9+10+4+7=7,乙=6+7+7+8+6+7+8+7+9+5=
7.2由方差公式s2=[x1-2+x2-2+…+xn-2]可求得s=
3.0,s=
1.
2.3由甲=乙,说明甲、乙两战士的平均水平相当;又因为ss,说明甲战士射击情况波动大,因此乙战士比甲战士射击情况稳定.1.2018·徐州模拟某工厂在12月份共生产了3600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从
一、
二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且a,b,c构成等差数列,则第二车间生产的产品数为________.[解析]因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一,根据分层抽样的性质可知,第二车间生产的产品数占总数的三分之一,即为1200双皮靴.[答案]12002.2018·北京海淀区模拟某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为________;由所得样品的测试结果计算出
一、
二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时.[解析]第一分厂应抽取的件数为100×50%=50;该产品的平均使用寿命为1020×
0.5+980×
0.2+1030×
0.3=
1015.[答案]50 10153.某公司300名员工2016年年薪情况的频率分布直方图如图所示,由图可知,员工中年薪在
1.4~
1.6万元的共有________人.[解析]由频率分布直方图知年薪低于
1.4万元或者高于
1.6万元的频率为
0.2+
0.8+
0.8+
1.0+
1.0×
0.2=
0.76,因此,年薪在
1.4到
1.6万元间的频率为1-
0.76=
0.24,所以300名员工中年薪在
1.4到
1.6万元间的员工人数为300×
0.24=72人.[答案]724.某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差为75,后来发现有2名同学的分数登记错了,甲实得80分,却记了50分,乙实得70分,却记了100分,更正后平均分和方差分别是________.[解析]因为甲少记了30分,乙多记了30分,故平均分不变,设更正后的方差为s2,则由题意可得s2=[x1-702+x2-702+…+80-702+70-702+…+x48-702],而更正前有75=[x1-702+x2-702+…+50-702+100-702+…+x48-702],化简整理得s2=
50.[答案]70,505.某学校为准备参加市运动会,对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试,并采用茎叶图表示本次测试30人的跳高成绩单位cm,跳高成绩在175cm以上包括175cm定义为“合格”,跳高成绩在175cm以下不包括175cm定义为“不合格”.1如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人,则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少?2若从甲队178cm包括178cm以上的6人中抽取2人,则至少有一人在186cm以上包括186cm的概率为多少?[解]1根据茎叶图可知,30人中有12人“合格”,有18人“不合格”.用分层抽样的方法,则5人中“合格”与“不合格”的人数分别为2人、3人.2甲队178cm包括178cm以上的6人中抽取2人的基本事件为178,181,178,182,178,184,178,186,178,191,181,182,181,184,181,186,181,191,182,184,182,186,182,191,184,186,184,191,186,191,共15个.其中都不在186cm以上的基本事件为178,181,178,182,178,184,181,182,181,184,182,184,共6个.所以都不在186cm以上的概率P==,由对立事件的概率公式得,至少有一人在186cm以上包括186cm的概率为1-P=1-=.6.我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量单位吨,将数据按照[0,
0.5,[
0.5,1,…,[4,
4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.1求直方图中a的值;2设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由;3估计居民月均用水量的中位数.[解]1由频率分布直方图,可知月均用水量在[0,
0.5的频率为
0.08×
0.5=
0.
04.同理,在[
0.5,1,[
1.5,2,[2,
2.5,[3,
3.5,[
3.5,4,[4,
4.5]组的频率分别为
0.08,
0.21,
0.25,
0.06,
0.04,
0.
02.由1-
0.04+
0.08+
0.21+
0.25+
0.06+
0.04+
0.02=
0.5×a+
0.5×a,解得a=
0.
30.2由1,100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+
0.04+
0.02=
0.
12.由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×
0.12=
36000.3设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为
0.04+
0.08+
0.15+
0.21+
0.25=
0.
730.5,而前4组的频率之和为
0.04+
0.08+
0.15+
0.21=
0.
480.5,所以2≤x
2.
5.由
0.50×x-2=
0.5-
0.48,解得x=
2.
04.故可估计居民月均用水量的中位数为
2.04吨.。