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复习课三 平面向量平面向量的概念及线性运算1.题型为选择题和填空题.主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解,常与向量共线和平面向量基本定理及数量积运算交汇命题.2.向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则,减法可以转化为加法进行运算,向量的加减法满足交换律、结合律,数乘运算满足结合律、分配律.实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方向在向量的线性运算中都可以使用.[典例] 北京高考在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=________;y=________.[解析] ∵=2,∴=.∵=,∴=+,∴=-=+-=-.又=x+y,∴x=,y=-.[答案] -[类题通法]向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量,因此,对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.1.若A3,-6,B-52,C6,y三点共线,则y= A.13 B.-13C.9D.-9解析选D =-88,=3,y+6.∵∥,∴-8y+6-24=
0.∴y=-
9.2.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,||2=16,|+|=|-|,则||= A.8B.4C.2D.1解析选C 由||2=16,得||=
4.∵|+|=|-|=||=4,|+|=2||,∴||=
2.3.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且=,则 A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上解析选B 由于2=3-,∴2-2=-,即2=,∴=,则点P在线段AB的反向延长线上.平面向量的数量积1.题型既有选择题、填空题,又有解答题,主要考查数量积运算、向量的垂直等问题,常与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题.2.解决此类问题要掌握平面向量数量积的两种求法一是根据数量积的定义,即a·b=|a||b|cosθ,二是利用坐标运算,即a·b=x1x2+y1y2;同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判断两个向量垂直的方法.[典例] 1福建高考设a=12,b=11,c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于 A.-B.-C.D.2四川高考设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=
4.若点M,N满足=3,=2,则·= A.20B.15C.9D.6[解析] 1c=a+kb=1+k2+k又b⊥c,所以1×1+k+1×2+k=0,解得k=-.2如图所示,由题设知=+=+,=-=-,∴·=·=||2-||2+·-·=×36-×16=
9.[答案] 1A 2C[类题通法]1数量积的计算通常有三种方法数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意义;2可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行计算.1.已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=,则向量a与b的夹角为 A.30°B.45°C.60°D.以上都不对解析选C ∵a+b+c=0,∴c=-a+b,∴c2=a+b2,即|c|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos〈a,b〉,∴19=4+9+12cos〈a,b〉,∴cos〈a,b〉=.又∵0°≤〈a,b〉≤180°,∴〈a,b〉=60°.2.在△ABC中,AB=4,∠ABC=30°,D是边BC上的一点,且·=·,则·的值为 A.0B.-4C.8D.4解析选D 由·=·,得·-=0,即·=0,所以⊥,即AD⊥CB.又AB=4,∠ABC=30°,所以AD=ABsin30°=2,∠BAD=60°,所以·=AD·AB·cos∠BAD=2×4×=
4.3.已知向量a,b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为60°,则b在a方向上的投影是________.解析∵|a|=|b|=2,a与b的夹角为60°,∴b在a方向上的投影是|b|cos60°=
1.答案14.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为________.解析设||=x,x>0,则·=x.又·=+·=1-x2+x=1,解得x=,即AB的长为.答案平面向量与三角函数的综合问题1.题目以解答题为主.主要包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合,向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面.此类题目所涉及向量的知识往往是数量积的运算,所研究的问题主要是讨论三角函数的图象与性质.2.解决此类问题,首先要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数问题,然后利用三角公式进行恒等变换,转化为题目中所要求的问题.[典例] 广东高考在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=sinx,cosx,x∈.1若m⊥n,求tanx的值;2若m与n的夹角为,求x的值.[解] 1若m⊥n,则m·n=
0.由向量数量积的坐标公式得sinx-cosx=0,∴tanx=
1.2∵m与n的夹角为,∴m·n=|m|·|n|cos,即sinx-cosx=,∴sin=.又∵x∈,∴x-∈,∴x-=,即x=.[类题通法]在平面向量与三角函数的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表述三角函数之间的关系等;另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题,在解决此类问题的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.1.设a=sinx1,b=,且a∥b,则锐角x为 A.B.C.D.解析选B 因为a∥b,所以sinxcosx-=0,所以sin2x=1,又x为锐角,所以02xπ,所以2x=,x=,故选B.2.设向量a=sinx,cosx,b=cosx,cosx,x∈R,函数ƒx=a·a+b.1求函数ƒx的最大值与最小正周期;2求使不等式ƒx≥成立的x的取值范围.解1∵ƒx=a·a+b=a·a+a·b=sin2x+cos2x+sinxcosx+cos2x=1+sin2x+cos2x+1=+sin,∴ƒx的最大值为+,最小正周期T==π.2由1知ƒx≥⇔+sin≥⇔sin≥0⇔2kπ≤2x+≤2kπ+π⇔kπ-≤x≤kπ+k∈Z.∴使ƒx≥成立的x的取值范围是.1.设P,Q是线段AB的三等分点,若=a,=b,则+= A.a+b B.a-bC.2a+bD.a+b解析选A 如图,=+,=+,∵=-,∴+=+=a+b.2.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|a-b|= A.0B.1C.2D.解析选D 因为|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-0+22=5,所以|a-b|=,故选D.3.若平面向量a=-12与b的夹角是180°,且|b|=3,则b的坐标为 A.3,-6B.-36C.6,-3D.-63解析选A 由题意设b=λa=-λ,2λλ<0,而|b|=3,则=3,所以λ=-3,b=3,-6.4.已知|a|=1,|b|=,且a⊥a-b,则向量a与向量b的夹角为 A.B.C.D.解析选B ∵a⊥a-b,∴a·a-b=a2-a·b=0,∴a·b=a2,∵|a|=1,|b|=,∴cos〈a,b〉===,∴向量a与向量b的夹角为,故选B.5.在△ABC中,+·=||2,则△ABC的形状一定是 A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析选C 由+·=||2,得·+-=0,即·++=0,∴2·=0,∴⊥,∴A=90°.故选C.6.已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,|c|=3,且a,b,c两两所成的角相等,则|a+b+c|等于 A.6或B.6或C.D.6解析选A ∵a,b,c两两所成的角相等,∴这个角为0°或120°.当夹角为0°时,|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=1+2+3=6,排除C;当夹角为120°时,a·b=|a||b|cos120°=1×2×=-1,b·c=|b||c|·cos120°=2×3×=-3,c·a=|c||a|cos120°=3×1×=-,∴|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+b·c+c·a=12+22+32+2=3,∴|a+b+c|=.∴|a+b+c|=6或.7.已知向量a=-13,b=1,t,若a-2b⊥a,则|b|=________.解析∵a=-13,b=1,t,∴a-2b=-33-2t.∵a-2b⊥a,∴a-2b·a=0,即-1×-3+33-2t=0,即t=2,∴b=12,∴|b|==.答案8.已知平面向量a与b的夹角等于,如果|a|=2,|b|=3,那么|2a-3b|=________.解析|2a-3b|2=2a-3b2=4a2-12a·b+9b2=4×22-12×2×3×cos+9×32=133,∴|2a-3b|=.答案9.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是________.解析由于|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则|a|2-4a·b≥
0.设向量a与b的夹角为θ,则cosθ=≤=,∴θ∈.答案10.已知|a|=4,|b|=3,2a-3b·2a+b=
61.1求a与b的夹角θ;2求|a+b|.解1∵2a-3b·2a+b=61,∴4a2-4a·b-3b2=61,即64-4a·b-27=
61.∴a·b=-
6.∴cosθ===-,∴θ=120°.2|a+b|===.11.已知向量a=-32,b=21,c=3,-1,t∈R.1求|a+tb|的最小值及相应的t值;2若a-tb与c共线,求实数t.解1∵a=-32,b=21,∴a+tb=-32+t21=-3+2t2+t,∴|a+tb|===≥=,当且仅当t=时取等号,即|a+tb|的最小值为,此时t=.2∵a-tb=-32-t21=-3-2t2-t,又a-tb与c共线,c=3,-1,∴-3-2t×-1-2-t×3=
0.解得t=.12.已知向量m=11,向量n与向量m的夹角为,且m·n=-
1.1求向量n;2设向量a=10,向量b=cosx,sinx,其中x∈R,若n·a=0,试求|n+b|的取值范围.解1令n=x,y,则∴或∴n=-10或n=0,-1.2∵a=10,n·a=0,∴n=0,-1.∴n+b=cosx,sinx-1.∴|n+b|===.∵-1≤sinx≤1,∴0≤|n+b|≤
2.时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.tan的值为 A. B.-C.D.-解析选D tan=tan=tan=-.2.下列函数中最值是,周期是6π的三角函数的解析式是 A.y=sinB.y=sinC.y=2sinD.y=sin解析选A 由题意得,A=,=6π,ω=,故选A.
3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+++等于 A.B.2C.3D.4解析选D 依题意知,点M是线段AC的中点,也是线段BD的中点,所以+=2,+=2,所以+++=4,故选D.4.若点sinα,sin2α在第四象限,则角α在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析选B ∵点sinα,sin2α在第四象限,∴∴即∴α在第二象限.5.已知平面向量a=12,b=-2,m,且a∥b,则2a+3b等于 A.-5,-10B.-4,-8C.-3,-6D.-2,-4解析选B ∵a=12,b=-2,m,∴1×m-2×-2=0,∴m=-
4.∴2a+3b=24+-6,-12=-4,-8.6.若α∈,且sinα=,则sin-cosπ-α的值为 A.B.-C.D.-解析选B sin-cosπ-α=sinα+cosα+cosα=sinα+cosα.∵sinα=,α∈,∴cosα=-.∴sinα+cosα=×-×=-.7.已知向量a=12,b=-2,-4,|c|=,若c-b·a=,则a与c的夹角为 A.30°B.60°C.120°D.150°解析选C a·b=-10,则c-b·a=c·a-b·a=c·a+10=,所以c·a=-,设a与c的夹角为θ,则cosθ===-,又0°θ180°,所以θ=120°.8.将函数y=sin的图象经怎样的平移后所得的图象关于点成中心对称 A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度解析选C 函数y=sin的对称中心为,其中离最近的对称中心为,故函数图象只需向右平移个单位长度即可.9.函数ƒx=Asinωx+φA>0,ω>0,x≥0的部分图象如图2所示,则ƒ1+ƒ2+ƒ3+…+ƒ11的值等于 A.2B.2+C.2+2D.-2-2解析选C 由图象可知,函数的振幅为2,初相为0,周期为8,则A=2,φ=0,=8,从而ƒx=2sinx.∴ƒ1+ƒ2+ƒ3+…+ƒ11=ƒ1+ƒ2+ƒ3=2sin+2sin+2sin=2+
2.10.已知3a+4b+5c=0,且|a|=|b|=|c|=1,则a·b+c= A.0B.-C.D.-解析选B 由3a+4b+5c=0,得向量3a4b5c能组成三角形,又|a|=|b|=|c|=1,所以三角形的三边长分别是345,故三角形为直角三角形,且a⊥b,所以a·b+c=a·c=-.11.如图,在四边形ABCD中,||+||+||=4,||·||+||·||=4,·=·=0,则+·的值为 A.4 B.2C.4D.2解析选A ∵=++,·=·=0,∴+·=+·++=2+·+·+·+·+2=2+2·+
2.∵·=0,·=0,∴⊥,⊥,∴∥,∴·=||||,∴原式=||+||
2.设||+||=x,则||=4-x,||·x=4,∴x2-4x+4=0,∴x=2,∴原式=4,故选A.12.已知函数y=2sinωx+θω>00<θ<π为偶函数,其图象与直线y=2的交点的横坐标为x1,x2,若|x1-x2|的最小值为π,则 A.ω=2,θ=B.ω=,θ=C.ω=,θ=D.ω=2,θ=解析选A ∵函数y=2sinωx+θω>00<θ<π为偶函数,∴θ=,∴y=2cosωx,排除C、D;y=2cosωx∈[-22],结合题意可知T=π,∴=π,ω=2,排除B,选A.
二、填空题本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上13.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.解析设=a,=b,则=a+b,=a+b,=a+b,代入条件得λ=μ=,∴λ+μ=.答案14.在平面直角坐标系xOy中,已知=-1,t,=22.若∠ABO=90°,则实数t的值为________.解析∵∠ABO=90°,∴⊥,∴·=
0.又=-=22--1,t=32-t,∴22·32-t=6+22-t=
0.∴t=
5.答案515.已知ƒx=sin,若cosα=,则ƒ=________.解析因为cosα=,所以sinα=;ƒ=sin=sin=sinα+cosα=.答案16.有下列四个命题
①若α,β均为第一象限角,且αβ,则sinαsinβ;
②若函数y=2cos的最小正周期是4π,则a=;
③函数y=是奇函数;
④函数y=sin在[0,π]上是增函数.其中正确命题的序号为________.解析α=390°30°=β,但sinα=sinβ,所以
①不正确;函数y=2cos的最小正周期为T==4π,所以|a|=,a=±,因此
②不正确;
③中函数定义域是,显然不关于原点对称,所以
③不正确;由于函数y=sin=-sin=-cosx,它在0,π上单调递增,因此
④正确.答案
④
三、解答题本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.本小题满分10分已知|a|=1,|b|=,a与b的夹角为θ.1若a∥b,求a·b;2若a-b与a垂直,求θ.解1∵a∥b,∴θ=0°或180°,∴a·b=|a||b|cosθ=±.2∵a-b与a垂直,∴a-b·a=0,即|a|2-a·b=1-cosθ=0,∴cosθ=.又0°≤θ≤180°,∴θ=45°.18.本小题满分12分已知tanα=,求的值.解原式=====,又∵tanα=,∴原式==-
3.19.本小题满分12分已知a=cos2α,sinα,b=12sinα-1,α∈,π,a·b=,求.解∵a·b=cos2α+sinα2sinα-1=cos2α+2sin2α-sinα=1-sinα=,∴sinα=.∵α∈,∴cosα=-,∴sin2α=2sinαcosα=-,∴===-
10.20.本小题满分12分已知函数ƒx=2cosx·sin-sin2x+sinxcosx.1当x∈时,求ƒx的值域;2用五点法在下图中作出y=ƒx在闭区间上的简图;解ƒx=2cosx·sin-sin2x+sinxcosx=2cosx-sin2x+sinxcosx=sin2x+cos2x=2sin.1∵x∈,∴≤2x+≤,∴-≤sin≤1,∴当x∈时,ƒx的值域为[-,2].2由T=,得T=π,列表x-2x+0π2π2sin020-20图象如图所示.21.本小题满分12分已知fx=sinx+2sin+·cos.1若fα=,α∈,求α的值;2若sin=,x∈,求fx的值.解fx=sinx+2sincos=sinx+sin=sinx+cosx=sin.1由fα=,得sin=,∴sin=.∵α∈,∴α+∈.∴α+=,∴α=-.2∵x∈,∴∈.又∵sin=,∴cos=.∴sinx=2sincos=,cosx=-=-.∴fx=sinx+cosx=-=.22.本小题满分12分已知函数ƒx=Asinωx+φω>00<φ<的部分图象如图所示.1求ƒx的解析式;2将函数y=ƒx的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,再将所得函数图象向右平移个单位,得到函数y=gx的图象,求gx的单调递增区间;3当x∈时,求函数y=ƒ-ƒ的最值.解1由图得T=-==,∴T=2π,∴ω==
1.又ƒ=0,得Asin=0,∴+φ=2kπ,k∈Z,φ=2kπ-,k∈Z.∵0<φ<,∴当k=1时,φ=.又由ƒ0=2,得Asin=2,∴A=4,∴ƒx=4sin.2将ƒx=4sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变得到y=4sin,再将图象向右平移个单位得到gx=4sin=4sin,由2kπ-≤2x-≤2kπ+k∈Z得kπ-≤x≤kπ+k∈Z,∴gx的单调递增区间为k∈Z.3y=ƒ-ƒ=4sin-×4sin=4sin-4sin=4-4cosx=2sinx+2cosx-4cosx=2sinx-2cosx=4sin.∵x∈,x-∈,∴sin∈,∴函数的最小值为-4,最大值为
2.。