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2.
2.2 向量减法运算及其几何意义预习课本P85~86,思考并完成以下问题1a的相反向量是什么? 2向量的减法运算及其几何意义是什么? 1.相反向量与a长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a.1规定零向量的相反向量仍是仍是零向量;2--a=a;3a+-a=-a+a=0;4若a与b互为相反向量,则a=-b,b=-a,a+b=
0.[点睛] 相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两方面进行定义,相反向量必为平行向量.2.向量的减法1定义a-b=a+-b,即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.2几何意义以O为起点,作向量=a,=b,则=a-b,如图所示,即a-b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量.[点睛] 在用三角形法则作向量减法时,只要记住“连接向量终点,箭头指向被减向量”即可.1.判断下列命题是否正确.正确的打“√”,错误的打“×”1两个向量的差仍是一个向量. 2向量的减法实质上是向量的加法的逆运算. 3向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量. 4相反向量是共线向量. 答案1√ 2√ 3√ 4√2.非零向量m与n是相反向量,下列不正确的是 A.m=n B.m=-nC.|m|=|n|D.方向相反答案A3.化简-++的结果等于 A. B. C. D.答案B4.在平行四边形ABCD中,向量的相反向量为______.答案,向量的减法运算[典例] 化简1---;2++---.[解] 1---=+-+=-=
0.2++---=+--=-=
0.1向量减法运算的常用方法2向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和;
②起点相同且为差.做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.[活学活用]化简下列各式1--;2+-;3--.解1--=+=.2+-=-=.3--=++=++=.向量的减法及其几何意义[典例] 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.[解] 法一如图
①所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c.法二如图
②所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c.求作两个向量的差向量的两种思路1可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+-b即可.2也可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.[活学活用]在本例的条件下作出向量
①a-b+c;
②a-b-c.解如图所示.利用已知向量表示未知向量[典例] 如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量,,.[解] 因为四边形ACDE是平行四边形,所以==c,=-=b-a,故=+=b-a+c.[一题多变]1.[变设问]本例条件不变,试用向量a,b,c表示与.解=-=c-a,=-=c-b.2.[变条件]本例中的条件“点B是该平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点”,其他条件不变,其结论又如何呢?解因为四边形ACDE是平行四边形,所以==c,=-=b-a,=+=b-a+c.用几个基本向量表示其他向量的一般步骤1观察待表示的向量位置;2寻找相应的平行四边形或三角形;3运用法则找关系,化简得结果.层级一 学业水平达标1.在三角形ABC中,=a,=b,则= A.a-b B.b-aC.a+bD.-a-b解析选D =-=--=-a-b.2.在△ABC中,||=||=||=1,则|-|的值为 A.0B.1C.D.2解析选B |-|=|+|=||=
1.3.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 A.=+B.=-C.=-+D.=--解析选B =+=-.故选B.4.已知一点O到▱ABCD的3个顶点A,B,C的向量分别是a,b,c,则向量等于 A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析选B 如图,点O到平行四边形的三个顶点A,B,C的向量分别是a,b,c,结合图形有=+=+=+-=a-b+c.5.下列各式能化简为的个数是
①--
②-+
③-+-+
④--+A.1B.2C.3D.4解析选C
①中,--=++=+=;
②中,-+=-0=;
③中,-+-+=---=+-=;
④中,--+=++=+
2.6.下列四个等式
①a+b=b+a;
②--a=a;
③++=0;
④a+-a=0,其中正确的是______填序号.解析由向量的运算律及相反向量的性质可知
①②④是正确的,
③符合向量的加法法则,也是正确的.答案
①②③④7.若a,b为相反向量,且|a|=1,|b|=1,则|a+b|=__________,|a-b|=________.解析若a,b为相反向量,则a+b=0,∴|a+b|=0,又a=-b,∴|a|=|-b|=1,∵a与-b共线,∴|a-b|=
2.答案0 28.在△ABC中,D是BC的中点,设=c,=b,=a,=d,则d-a=______,d+a=______.解析根据题意画出图形,如图所示,则d-a=-=+==c;d+a=+=+==b.答案c b9.化简1-+-;2++-.解1-+-=+-+=-=
0.2++-=++-=+=
0.10.设O是△ABC内一点,且=a,=b,=c,若以线段OA,OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作平行四边形,其第四个顶点为H.试用a,b,c表示,,.解由题意可知四边形OADB为平行四边形,∴=+=a+b,∴=-=c-a+b=c-a-b.又四边形ODHC为平行四边形,∴=+=c+a+b,∴=-=a+b+c-b=a+c.层级二 应试能力达标1.已知=a,=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形,则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0解析选B 如图,a-b=-=,c-d=-=,又四边形ABCD为平行四边形,则=,即-=0,所以+=0,即a-b+c-d=
0.故选B.2.平面上有三点A,B,C,设m=+,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有 A.A,B,C三点必在同一直线上B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°D.△ABC必为等腰直角三角形解析选C ∵|m|=|n|,+=-,-=+,∴|-|=|+|,如图.即▱ABCD的对角线相等,∴▱ABCD是矩形,∴∠B=90°,选C.3.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,||=2,则|+|= A.B.2C.D.2解析选B 如图,设菱形对角线交点为O,∵+=+=,∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形.又∵AB=2,∴OB=
1.在Rt△AOB中,||==,∴||=2||=
2.4.已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,给出下列结论1|-|=|+|;2|-|=|-|;3|-|=|-|;4|-|2=|-|2+|-|
2.其中正确的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4解析选D 如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,则它是正方形,根据向量加减法的几何意义可知题中四个结论都正确.
5.如图,已知ABCDEF是一正六边形,O是它的中心,其中=b,=c,则等于________.解析===-=b-c.答案b-c6.对于向量a,b,当且仅当____________________________________________时,有|a-b|=||a|-|b||.解析当a,b不同向时,根据向量减法的几何意义,知一定有|a-b|>||a|-|b||,所以只有两向量共线且同向时,才有|a-b|=||a|-|b||.答案a与b同向
7.如图,已知=a,=b,=c,=d,=e,=f,试用a,b,c,d,e,f表示以下向量1;2;3++.解1=-=c-a.2=+=-+=-a+d.3++=+++++=
0.
8.如图所示,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,=b,=c,试作出下列向量,并分别求出其长度1a+b+c.2a-b+c.解1由已知得a+b=+==c,所以延长AC到E,使||=||.则a+b+c=,且||=
2.所以|a+b+c|=
2.2作=,连接CF,则+=,而=-=a-b,所以a-b+c=+=,且||=2,所以|a-b+c|=
2.。