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2.
4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义预习课本P103~105,思考并完成以下问题1怎样定义向量的数量积?向量的数量积与向量数乘相同吗?2向量b在a方向上的投影怎么计算?数量积的几何意义是什么?3向量数量积的性质有哪些?4向量数量积的运算律有哪些?1.向量的数量积的定义1两个非零向量的数量积已知条件向量a,b是非零向量,它们的夹角为θ定义a与b的数量积或内积是数量|a||b|cosθ记法a·b=|a||b|cosθ2零向量与任一向量的数量积规定零向量与任一向量的数量积均为
0.[点睛] 1两向量的数量积,其结果是数量,而不是向量,它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积,其符号由夹角的余弦值来决定.2两个向量的数量积记作a·b,千万不能写成a×b的形式.2.向量的数量积的几何意义1投影的概念
①向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.2数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.[点睛] 1b在a方向上的投影为|b|cosθθ是a与b的夹角,也可以写成.2投影是一个数量,不是向量,其值可为正,可为负,也可为零.3.向量数量积的性质设a与b都是非零向量,θ为a与b的夹角.1a⊥b⇔a·b=
0.2当a与b同向时,a·b=|a||b|,当a与b反向时,a·b=-|a||b|.3a·a=|a|2或|a|==.4cosθ=.5|a·b|≤|a||b|.[点睛] 对于性质1,可以用来解决有关垂直的问题,即若要证明某两个向量垂直,只需判定它们的数量积为0;若两个非零向量的数量积为0,则它们互相垂直.4.向量数量积的运算律1a·b=b·a交换律.2λa·b=λa·b=a·λb结合律.3a+b·c=a·c+b·c分配律.[点睛] 1向量的数量积不满足消去律若a,b,c均为非零向量,且a·c=b·c,但得不到a=b.2a·b·c≠a·b·c,因为a·b,b·c是数量积,是实数,不是向量,所以a·b·c与向量c共线,a·b·c与向量a共线,因此,a·b·c=a·b·c在一般情况下不成立.1.判断下列命题是否正确.正确的打“√”,错误的打“×”1两个向量的数量积仍然是向量. 2若a·b=b·c,则一定有a=c. 3若a,b反向,则a·b=-|a||b|. 4若a·b=0,则a⊥b. 答案1× 2× 3√ 4×2.若|a|=2,|b|=,a与b的夹角为60°,则a·b= A.2 B.C.1D.答案B3.已知|a|=10,|b|=12,且3a·=-36,则a与b的夹角为 A.60°B.120°C.135°D.150°答案B4.已知a,b的夹角为θ,|a|=2,|b|=
3.1若θ=135°,则a·b=________;2若a∥b,则a·b=________;3若a⊥b,则a·b=________.答案1-3 26或-6 30向量数量积的运算[典例] 1已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,求
①a·b;
②a+b·a-2b.2如图,正三角形ABC的边长为,=c,=a,=b,求a·b+b·c+c·a.[解] 1
①由已知得a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-
4.
②a+b·a-2b=a2-a·b-2b2=16--4-2×4=
12.2∵|a|=|b|=|c|=,且a与b,b与c,c与a的夹角均为120°,∴a·b+b·c+c·a=××cos120°×3=-
3.向量数量积的求法1求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.2根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. [活学活用] 已知|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120°,求1a·b;2a2-b2;32a-b·a+3b.解1a·b=|a||b|cos120°=3×4×=-
6.2a2-b2=|a|2-|b|2=32-42=-
7.32a-b·a+3b=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|·cos120°-3|b|2=2×32+5×3×4×-3×42=-
60.与向量的模有关的问题[典例] 1浙江高考已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=________.2已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=________.[解析] 1令e1与e2的夹角为θ,∴e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=cosθ=.又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.∵b·e1-e2=0,∴b与e1,e2的夹角均为30°,∴b·e1=|b||e1|cos30°=1,从而|b|==.2∵a,b的夹角为45°,|a|=1,∴a·b=|a||b|cos45°=|b|,|2a-b|2=4-4×|b|+|b|2=10,∴|b|=
3.[答案] 1 23求向量的模的常见思路及方法1求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.2a·a=a2=|a|2或|a|=,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. [活学活用]已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,求|a+b|,|a-b|,|2a+b|.解∵|a+b|2=a+b2=a+ba+b=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2|a||b|cos60°=50+2×5×5×=75,∴|a+b|=
5.∵|a-b|2=a-b2=a-ba-b=|a|2+|b|2-2a·b=|a|2+|b|2-2|a||b|cos60°=25,∴|a-b|=
5.∵|2a+b|2=2a+b2a+b=4|a|2+|b|2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|cos60°=175,∴|2a+b|=
5.两个向量的夹角和垂直题点一求两向量的夹角1.重庆高考已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥2a+b,则a与b的夹角为 A. B.C.D.解析选C ∵a⊥2a+b,∴a·2a+b=0,∴2|a|2+a·b=0,即2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=
0.∵|b|=4|a|,∴2|a|2+4|a|2cos〈a,b〉=0,∴cos〈a,b〉=-,∴〈a,b〉=.题点二证明两向量垂直2.已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证a+b⊥a-b.证明∵|2a+b|=|a+2b|,∴2a+b2=a+2b
2.即4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,∴a2=b
2.∴a+b·a-b=a2-b2=
0.又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,∴a+b⊥a-b.题点三利用夹角和垂直求参数3.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3且向量3a+2b与ka-b互相垂直,则k的值为 A.-B.C.±D.1解析选B ∵3a+2b与ka-b互相垂直,∴3a+2b·ka-b=0,∴3ka2+2k-3a·b-2b2=
0.∵a⊥b,∴a·b=0,又|a|=2,|b|=3,∴12k-18=0,k=.求向量a与b夹角的思路1求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ=,最后借助θ∈[0,π],求出θ的值.2在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cosθ的值. 层级一 学业水平达标1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角θ为 A.B.C.D.解析选C 由题意,知a·b=|a||b|cosθ=4cosθ=2,又0≤θ≤π,所以θ=.2.已知|b|=3,a在b方向上的投影为,则a·b等于 A.3B.C.2D.解析选B 设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ=,∴a·b=|a||b|cosθ=3×=.3.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为 A.-6B.6C.3D.-3解析选B ∵c·d=0,∴2a+3b·ka-4b=0,∴2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0,∴2k=12,∴k=
6.4.已知a,b满足|a|=4,|b|=3,夹角为60°,则|a+b|= A.37B.13C.D.解析选C |a+b|====.5.在四边形ABCD中,=,且·=0,则四边形ABCD是 A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形解析选B ∵=,即一组对边平行且相等,·=0,即对角线互相垂直,∴四边形ABCD为菱形.6.给出以下命题
①若a≠0,则对任一非零向量b都有a·b≠0;
②若a·b=0,则a与b中至少有一个为0;
③a与b是两个单位向量,则a2=b
2.其中,正确命题的序号是________.解析上述三个命题中只有
③正确,因为|a|=|b|=1,所以a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,故a2=b
2.当非零向量a,b垂直时,有a·b=0,显然
①②错误.答案
③7.设e1,e2是两个单位向量,它们的夹角为60°,则2e1-e2·-3e1+2e2=________.解析2e1-e2·-3e1+2e2=-6e+7e1·e2-2e=-6+7×cos60°-2=-.答案-8.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为________.解析∵c⊥a,∴c·a=0,∴a+b·a=0,即a2+a·b=
0.∵|a|=1,|b|=2,∴1+2cos〈a,b〉=0,∴cos〈a,b〉=-.又∵0°≤〈a,b〉≤180°,∴〈a,b〉=120°.答案120°9.已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量,a=2e1+e2,b=2e2-3e1,求a与b的夹角.解因为|e1|=|e2|=1,所以e1·e2=1×1×cos60°=,|a|2=2e1+e22=4+1+4e1·e2=7,故|a|=,|b|2=2e2-3e12=4+9-12e1·e2=7,故|b|=,且a·b=-6e+2e+e1·e2=-6+2+=-,所以cos〈a,b〉===-,所以a与b的夹角为120°.10.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b方向上的投影为-
1.1求a与b的夹角θ;2求a-2b·b;3当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b互相垂直?解1∵|a|=2|b|=2,∴|a|=2,|b|=
1.又a在b方向上的投影为|a|cosθ=-1,∴a·b=|a||b|cosθ=-
1.∴cosθ=-,∴θ=.2a-2b·b=a·b-2b2=-1-2=-
3.3∵λa+b与a-3b互相垂直,∴λa+b·a-3b=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,∴λ=.层级二 应试能力达标1.已知|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为,则向量m=a-4b的模为 A.2 B.2C.6D.12解析选B |m|2=|a-4b|2=a2-8a·b+16b2=4-8×2×1×+16=12,所以|m|=
2.2.在Rt△ABC中,C=90°,AC=4,则·等于 A.-16B.-8C.8D.16解析选D 法一因为cosA=,故·=||·||cosA=||2=16,故选D.法二在上的投影为||cosA=||,故·=||||cosA=||2=16,故选D.3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等,则|a-b|= A.1B.C.D.3解析选C 由于投影相等,故有|a|cos〈a,b〉=|b|cos〈a,b〉,因为|a|=1,|b|=2,所以cos〈a,b〉=0,即a⊥b,则|a-b|==.
4.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为BC的中点,则·= A.-3B.0C.-1D.1解析选C ·=·-=·-||2+||2=×2×2×cos60°-22+×22=-
1.5.设向量a,b,c满足a+b+c=0,a-b⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是________.解析法一由a+b+c=0得c=-a-b.又a-b·c=0,∴a-b·-a-b=0,即a2=b
2.则c2=a+b2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2,∴|a|2+|b|2+|c|2=
4.法二如图,作==a,=b,则=c.∵a⊥b,∴AB⊥BC,又∵a-b=-=,a-b⊥c,∴CD⊥CA,所以△ABC是等腰直角三角形,∵|a|=1,∴|b|=1,|c|=,∴|a|2+|b|2+|c|2=
4.答案46.已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,·2a-3b=12,则|b|=________;b在a方向上的投影等于________.解析·2a-3b=a2+a·b-3b2=12,即3|b|2-|b|-4=0,解得|b|=舍负,b在a方向上的投影是|b|cos45°=×=
1.答案 17.已知非零向量a,b,满足|a|=1,a-b·a+b=,且a·b=.1求向量a,b的夹角;2求|a-b|.解1∵a-b·a+b=,∴a2-b2=,即|a|2-|b|2=.又|a|=1,∴|b|=.∵a·b=,∴|a|·|b|cosθ=,∴cosθ=,∴向量a,b的夹角为45°.2∵|a-b|2=a-b2=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=,∴|a-b|=.8.设两个向量e1,e2,满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.解由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得
0.即2te1+7e2·e1+te20,化简即得2t2+15t+70,解得-7t-.当夹角为π时,也有2te1+7e2·e1+te20,但此时夹角不是钝角,设2te1+7e2=λe1+te2,λ0,可得⇒∴所求实数t的取值范围是∪.。