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2．
4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角预习课本P106～107，思考并完成以下问题1平面向量数量积的坐标表示是什么？2如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？ 1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝x1，y1，b＝x2，y2，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0[点睛] 记忆口诀数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式1向量的模设a＝x，y，则|a|＝.2两点间的距离公式若Ax1，y1，Bx2，y2，则||＝.3向量的夹角公式设两非零向量a＝x1，y1，b＝x2，y2，a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.1．判断下列命题是否正确．正确的打“√”，错误的打“×”1向量的模等于向量坐标的平方和． 2若a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝
0. 3若两个非零向量的夹角θ满足cosθ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角． 答案1× 2× 3×2．已知a＝－34，b＝52，则a·b的值是 A．23 B．7 C．－23 D．－7答案D3．已知向量a＝x－53，b＝2，x，且a⊥b，则由x的值构成的集合是 A．{23}B．{－16}C．{2}D．{6}答案C4．已知a＝1，，b＝－20，则|a＋b|＝________.答案2平面向量数量积的坐标运算[典例] 1全国卷Ⅱ向量a＝1，－1，b＝－12，则2a＋b·a＝ A．－1 B．0C．1D．22广东高考在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝1，－2，＝21，则·＝ A．5B．4C．3D．2[解析] 1a＝1，－1，b＝－12，∴2a＋b·a＝10·1，－1＝
1.2由＝＋＝1，－2＋21＝3，－1，得·＝21·3，－1＝
5.[答案] 1C 2A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． [活学活用]已知向量a与b同向，b＝12，a·b＝
10.1求向量a的坐标；2若c＝2，－1，求b·c·a.解1因为a与b同向，又b＝12，所以a＝λb＝λ，2λ．又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝
20.因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝24．2因为b·c＝1×2＋2×－1＝0，所以b·c·a＝0·a＝
0.向量的模的问题[典例] 1设x，y∈R，向量a＝x1，b＝1，y，c＝2，－4，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝ A.B.C．2D．102已知点A1，－2，若向量与a＝23同向，||＝2，则点B的坐标是________．[解析] 1由⇒⇒∴a＝21，b＝1，－2，a＋b＝3，－1．∴|a＋b|＝.2由题意可设＝λaλ＞0，∴＝2λ，3λ．又||＝2，∴2λ2＋3λ2＝22，解得λ＝2或－2舍去．∴＝46．又A1，－2，∴B54．[答案] 1B 254求向量的模的两种基本策略1字母表示下的运算利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．2坐标表示下的运算若a＝x，y，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝. [活学活用]1．已知向量a＝cosθ，sinθ，向量b＝，0，则|2a－b|的最大值为________．解析2a－b＝2cosθ－，2sinθ，|2a－b|＝＝＝，当且仅当cosθ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋.答案2＋2．已知平面向量a＝24，b＝－12，若c＝a－a·bb，则|c|＝________.解析∵a＝24，b＝－12，∴a·b＝2×－1＋4×2＝6，∴c＝a－a·bb＝24－6－12＝24－－612＝8，－8，∴|c|＝＝
8.答案8向量的夹角和垂直问题 [典例] 1已知a＝32，b＝－12，a＋λb⊥b，则实数λ＝________.2已知a＝21，b＝－1，－1，c＝a＋kb，d＝a＋b，c与d的夹角为，则实数k的值为________．[解析] 1∵a＝32，b＝－12，∴a＋λb＝3－λ，2＋2λ．又∵a＋λb⊥b，∴a＋λb·b＝0，即3－λ×－1＋2×2＋2λ＝0，解得λ＝－.2c＝a＋kb＝2－k1－k，d＝a＋b＝10，由cos＝得＝，∴2－k2＝k－12，∴k＝.[答案] 1－ 2解决向量夹角问题的方法及注意事项1先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cosθ＝求出cosθ，也可由坐标表示cosθ＝直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.2由于0≤θ≤π，利用cosθ＝来判断角θ时，要注意cosθ0有两种情况一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ0也有两种情况一是θ为锐角，二是θ＝
0. [活学活用]已知平面向量a＝34，b＝9，x，c4，y，且a∥b，a⊥c.1求b与c；2若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．解1∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝
12.∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，∴b＝912，c＝4，－3．2m＝2a－b＝68－912＝－3，－4，n＝a＋c＝34＋4，－3＝71．设m，n的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝－.∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即m，n的夹角为.求解平面向量的数量积[典例] 已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值．[解] [法一 定义法]如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cosA＝，cosC＝，∴·＋·＋·＝·＋·＝4×5cosπ－C＋5×3cosπ－A＝－20cosC－15cosA＝－20×－15×＝－
25.[法二 坐标法]如图，建立平面直角坐标系，则A30，B00，C04．∴＝－30，＝04，＝3，－4．∴·＝－3×0＋0×4＝0，·＝0×3＋4×－4＝－16，·＝3×－3＋－4×0＝－
9.∴·＋·＋·＝0－16－9＝－
25.[法三 转化法]∵||＝3，||＝4，||＝5，∴AB⊥BC，∴·＝0，∴·＋·＋·＝·＋＝·＝－||2＝－
25.求平面向量数量积常用的三个方法1定义法利用定义式a·b＝|a||b|cosθ求解；2坐标法利用坐标式a·b＝x1x2＋y1y2解题；3转化法求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算． [活学活用]如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．解析法一以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得＝，＝.故cos∠DOE＝＝＝.法二∵＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴||＝，||＝，·＝2＋2＝1，∴cos∠DOE＝＝.答案层级一 学业水平达标1．已知向量a＝0，－2，b＝1，，则向量a在b方向上的投影为 A. B．3C．－D．－3解析选D 向量a在b方向上的投影为＝＝－
3.选D.2．设x∈R，向量a＝x1，b＝1，－2，且a⊥b，则|a＋b|＝ A.B.C．2D．10解析选B 由a⊥b得a·b＝0，∴x×1＋1×－2＝0，即x＝2，∴a＋b＝3，－1，∴|a＋b|＝＝.3．已知向量a＝21，b＝－1，k，a·2a－b＝0，则k＝ A．－12B．－6C．6D．12解析选D 2a－b＝42－－1，k＝52－k，由a·2a－b＝0，得21·52－k＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝
12.4．a，b为平面向量，已知a＝43，2a＋b＝318，则a，b夹角的余弦值等于 A．B．－C．D．－解析选C 设b＝x，y，则2a＋b＝8＋x6＋y＝318，所以解得故b＝－512，所以cos〈a，b〉＝＝.5．已知A－21，B6，－3，C05，则△ABC的形状是 A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析选A 由题设知＝8，－4，＝24，＝－68，∴·＝2×8＋－4×4＝0，即⊥.∴∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．6．设向量a＝12m，b＝m＋11，c＝2，m．若a＋c⊥b，则|a|＝________.解析a＋c＝33m，由a＋c⊥b，可得a＋c·b＝0，即3m＋1＋3m＝0，解得m＝－，则a＝1，－1，故|a|＝.答案7．已知向量a＝1，，2a＋b＝－1，，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________.解析∵a＝1，，2a＋b＝－1，，∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·2a＋b＝2，∴cosθ＝＝，∴θ＝.答案8．已知向量a＝，1，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则向量b的坐标为________．解析设b＝x，yy≠0，则依题意有解得故b＝.答案9．已知平面向量a＝1，x，b＝2x＋3，－x，x∈R.1若a⊥b，求x的值；2若a∥b，求|a－b|.解1若a⊥b，则a·b＝1，x·2x＋3，－x＝1×2x＋3＋x－x＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝
3.2若a∥b，则1×－x－x2x＋3＝0，即x2x＋4＝0，解得x＝0或x＝－
2.当x＝0时，a＝10，b＝30，a－b＝－20，|a－b|＝
2.当x＝－2时，a＝1，－2，b＝－12，a－b＝2，－4，|a－b|＝＝
2.综上，|a－b|＝2或
2.10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A14，B－23，C2，－1．1求·及|＋|；2设实数t满足－t⊥，求t的值．解1∵＝－3，－1，＝1，－5，∴·＝－3×1＋－1×－5＝
2.∵＋＝－2，－6，∴|＋|＝＝
2.2∵－t＝－3－2t，－1＋t，＝2，－1，且－t⊥，∴－t·＝0，∴－3－2t×2＋－1＋t·－1＝0，∴t＝－
1.层级二 应试能力达标1．设向量a＝10，b＝，则下列结论中正确的是 A．|a|＝|b| B．a·b＝C．a－b与b垂直D．a∥b解析选C 由题意知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，a－b·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．2．已知向量＝22，＝41，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是 A．－30B．20C．30D．40解析选C 设Px0，则＝x－2，－2，＝x－4，－1，∴·＝x－2x－4＋2＝x2－6x＋10＝x－32＋1，故当x＝3时，·最小，此时点P的坐标为30．3．若a＝x2，b＝－35，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是 A.B.C.D.解析选C x应满足x2·－35＜0且a，b不共线，解得x＞，且x≠－，∴x＞.4．已知＝－31，＝05，且∥，⊥O为坐标原点，则点C的坐标是 A.B.C.D.解析选B 设Cx，y，则＝x，y．又＝－31，∴＝－＝x＋3，y－1．∵∥，∴5x＋3－0·y－1＝0，∴x＝－
3.∵＝05，∴＝－＝x，y－5，＝－＝34．∵⊥，∴3x＋4y－5＝0，∴y＝，∴C点的坐标是.5．平面向量a＝12，b＝42，c＝ma＋bm∈R，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.解析因为向量a＝12，b＝42，所以c＝ma＋b＝m＋42m＋2，所以a·c＝m＋4＋22m＋2＝5m＋8，b·c＝4m＋4＋22m＋2＝8m＋
20.因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以＝，即＝，所以＝，解得m＝
2.答案26．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为______；·的最大值为______．解析以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D00，A10，B11，C01，设E1，a0≤a≤1．所以·＝1，a·10＝1，·＝1，a·01＝a≤1，故·的最大值为
1.答案1 17．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝12．1若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；2若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.解1设c＝x，y，∵|c|＝2，∴＝2，∴x2＋y2＝
20.由c∥a和|c|＝2，可得解得或故c＝24或c＝－2，－4．2∵a＋2b⊥2a－b，∴a＋2b·2a－b＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，∴cosθ＝＝－
1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.8．已知＝40，＝22，＝1－λ＋λλ2≠λ．1求·及在上的投影；2证明A，B，C三点共线，且当＝时，求λ的值；3求||的最小值．解1·＝8，设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴在上的投影为||cosθ＝4×＝
2.2＝－＝－22，＝－＝1－λ·－1－λ＝λ－1，所以A，B，C三点共线．当＝时，λ－1＝1，所以λ＝
2.3||2＝1－λ2＋2λ1－λ·＋λ2＝16λ2－16λ＋16＝162＋12，∴当λ＝时，||取到最小值，为
2.。
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