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课时跟踪检测
(十九)幂函数层级一 学业水平达标1.在函数
①y=,
②y=x2,
③y=2x,
④y=1,
⑤y=2x2,
⑥y=x中,是幂函数的是 A.
①②④⑤ B.
③④⑥C.
①②⑥D.
①②④⑤⑥解析选C 幂函数是形如y=xαα∈R,α为常数的函数,
①是α=-1的情形,
②是α=2的情形,
⑥是α=-的情形,所以
①②⑥都是幂函数;
③是指数函数,不是幂函数;
⑤中x2的系数是2,所以不是幂函数;
④是常数函数,不是幂函数.所以只有
①②⑥是幂函数.2.已知幂函数fx=kxαk∈R,α∈R的图象过点,则k+α= A. B.1 C. D..2解析选A ∵幂函数fx=kxαk∈R,α∈R的图象过点,∴k=1,f=α=,即α=-,∴k+α=.3.下列函数中,既是偶函数,又在区间0,+∞上单调递减的函数是 A.y=x-2B.y=x-1C.y=x2D.y=x解析选A 所给选项都是幂函数,其中y=x-2和y=x2是偶函数,y=x-1和y=x不是偶函数,故排除选项B、D,又y=x2在区间0,+∞上单调递增,不合题意,y=x-2在区间0,+∞上单调递减,符合题意,故选A.4.函数y=x-1的图象关于x轴对称的图象大致是 解析选B y=x的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=x-1的图象可看作由y=x的图象向下平移一个单位得到的如选项A中的图所示,将y=x-1的图象关于x轴对称后即为选项B.
5.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是 A.nm0B.mn0C.nm0D.mn0解析选A 由图象可知,两函数在第一象限内递减,故m0,n
0.当x=2时,2m>2n,所以n<m<
0.6.若y=ax是幂函数,则该函数的值域是________.解析由已知y=ax是幂函数,得a=1,所以y=x,所以y≥0,故该函数的值域为[0,+∞.答案[0,+∞7.已知幂函数fx=xα的部分对应值如表x1fx1则fx的单调递增区间是________.解析因为f=,所以α=,即α=,所以fx=x的单调递增区间是[0,+∞.答案[0,+∞8.设α∈,则使fx=xα为奇函数且在0,+∞上单调递减的α的值是________.解析因为fx=xα为奇函数,所以α=-
113.又因为fx在0,+∞上为减函数,所以α=-
1.答案-19.已知函数fx=m2+2m·x,m为何值时,函数fx是1正比例函数;2反比例函数;3幂函数.解1若函数fx为正比例函数,则∴m=
1.2若函数fx为反比例函数,则∴m=-
1.3若函数fx为幂函数,则m2+2m=1,∴m=-1±.10.比较下列各组数的大小.13和
3.2;2和;
34.1和
3.
8.解1函数y=x在0,+∞上为减函数,又3<
3.2,所以3>
3.
2.2=,=,函数y=x在0,+∞上为增函数,而>,所以>.
34.1>1=10<
3.8-<1-=1,所以
4.1>
3.8-.层级二 应试能力达标1.已知函数fx=a2-a-1x为幂函数,则实数a的值为 A.-1或2 B.-2或1C.-1D.1解析选C 因为fx=a2-a-1x为幂函数,所以a2-a-1=1,即a=2或-
1.又a-2≠0,所以a=-
1.2.下列结论中,正确的是 A.幂函数的图象都经过点00,11B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取13,时,幂函数y=xα是增函数D..当α=-1时,幂函数y=xα在其整个定义域上是减函数解析选C 当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不经过原点,故A错误;因为所有的幂函数在区间0,+∞上都有定义,且y=xαα∈R>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故B错误;当α>0时,y=xα是增函数,故C正确;当α=-1时,y=x-1在区间-∞,0,0,+∞上是减函数,但在整个定义域上不是减函数,故D错误.故选C.3.设a=,b=,c=,则 A.abcB.cabC.bcaD.bac解析选D 构造幂函数y=xx∈0,+∞,由该函数在定义域内单调递增,知ab;构造指数函数y=x,由该函数在定义域内单调递减,所以ac,故caB.4.如下图所示曲线是幂函数y=xα在第一象限内的图象,已知α取±2,±四个值,则对应于曲线C1,C2,C3,C4的指数α依次为 A.-2,-,,2B.2,,-,-2C.-,-22,D..2,,-2,-解析选B 要确定一个幂函数y=xα在坐标系内的分布特征,就要弄清幂函数y=xα随着α值的改变图象的变化规律.随着α的变大,幂函数y=xα的图象在直线x=1的右侧由低向高分布.从图中可以看出,直线x=1右侧的图象,由高向低依次为C1,C2,C3,C4,所以C1,C2,C3,C4的指数α依次为2,,-,-
2.5.若a+1<3-2a,则a的取值范围是________.解析函数y=x在[0,+∞上是增函数,所以解得-1<a<.答案6.已知函数fx=x在-∞,0上是增函数,在0,+∞上是减函数,那么最小的正整数α=________.解析取值验证.α=1时,y=x0,不满足;α=2时,y=x,在0,+∞上是减函数.∵它为奇函数,则在-∞,0上也是减函数,不满足;α=3时,y=x满足题意.答案37.已知幂函数fx=m-12xm2-4m+2在0,+∞上单调递增,函数gx=2x-k.1求m的值;2当x∈
[12]时,记fx,gx的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.解1依题意,得m-12=1,解得m=0或m=
2.当m=2时,fx=x-2在0,+∞上单调递减,与题设矛盾,舍去,∴m=
0.2由1可知fx=x
2.当x∈
[12]时,fx,gx单调递增,∴A=
[14],B=[2-k4-k].∵A∪B=A,∴B⊆A,∴⇒0≤k≤
1.∴实数k的取值范围是
[01].8.已知幂函数fx=xm∈N*1试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;2若该函数还经过点2,,试确定m的值,并求满足条件f2-a>fa-1的实数a的取值范围.解1m2+m=mm+1,m∈N*,而m与m+1中必有一个为偶数,∴mm+1为偶数.∴函数fx=xm2+m-1m∈N*的定义域为[0,+∞,并且在定义域上为增函数.2∵函数fx经过点2,,∴=2,即2=
2.∴m2+m=
2.解得m=1或m=-
2.又∵m∈N*,∴m=
1.由f2-a>fa-1得解得1≤a<.∴实数a的取值范围为.。