还剩13页未读，继续阅读
本资源只提供10页预览，全部文档请下载后查看！喜欢就下载吧，查找使用更方便
文本内容:
3.
1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标
1.了解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.
2.掌握空间向量的坐标运算.
3.会判断两向量平行或垂直.
4.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式．知识点一 空间向量的坐标运算空间向量a，b，其坐标形式为a＝a1，a2，a3，b＝b1，b2，b
3.向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3减法a－ba－b＝a1－b1，a2－b2，a3－b3数乘λaλa＝λa1，λa2，λa3数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝a1，a2，a3，b＝b1，b2，b3，则名称满足条件向量表示形式坐标表示形式a∥ba＝λbλ∈Ra1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3λ∈Ra⊥ba·b＝0a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|＝|a|＝夹角cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝1空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同．×2设a＝x1，y1，z1，b＝x2，y2，z2且b≠0，则a∥b⇒＝＝.×3四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．√4设A01，－1，O为坐标原点，则＝01，－1．√类型一 空间向量坐标的计算例1 1已知向量a＝4，－2，－4，b＝6，－32，则2a＋3b·a－2b＝________.2已知a＋b＝2，，2，a－b＝0，，0，则cos〈a，b〉等于 A.B.C.D.考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 1－244 2C解析 12a＋3b·a－2b＝2a2＋3a·b－4a·b－6b2＝2×62－22－6×72＝－
244.2由已知得a＝1，，，b＝10，，故cos〈a，b〉＝＝＝.反思与感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题1直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．2由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．跟踪训练1 若向量a＝11，x，b＝121，c＝111，且满足条件c－a·2b＝－2，则x＝________.考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 2解析 据题意，有c－a＝001－x，2b＝242，故c－a·2b＝21－x＝－2，解得x＝
2.类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示例2 已知空间三点A－202，B－112，C－304，设a＝，b＝.1若|c|＝3，c∥，求c；2若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算解 1因为＝－2，－12，且c∥，所以设c＝λ＝－2λ，－λ，2λ，得|c|＝＝3|λ|＝3，解得λ＝±
1.即c＝－2，－12或c＝21，－2．2因为a＝＝110，b＝＝－102，所以ka＋b＝k－1，k2，ka－2b＝k＋2，k，－4．又因为ka＋b⊥ka－2b，所以ka＋b·ka－2b＝
0.即k－1，k2·k＋2，k，－4＝2k2＋k－10＝
0.解得k＝2或k＝－.引申探究若将本例2中改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值．解 由题意知ka－b＝k＋1，k，－2，ka＋2b＝k－2，k4，∵ka－b⊥ka＋2b，∴ka－b·ka＋2b＝0，即k＋1k－2＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝，故所求k的值为－2或.反思与感悟 1平行与垂直的判断
①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．
②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为
0.2平行与垂直的应用
①适当引入参数比如向量a，b平行，可设a＝λb，建立关于参数的方程．
②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．跟踪训练2 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算解 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，则A100，E，B110，B1111，D1001，由题意，可设点P的坐标为a，a1，因为3＝，所以3a－1，a－10＝－a，－a，0，所以3a－3＝－a，解得a＝，所以点P的坐标为.由题意可设点Q的坐标为b，b0，因为PQ⊥AE，所以·＝0，所以·＝0，即－－＝0，解得b＝，所以点Q的坐标为.因为＝λ，所以－1，－10＝λ，所以＝－1，故λ＝－
4.类型三 空间向量的夹角与长度的计算例3 棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．1求证EF⊥CF；2求异面直线EF与CG所成角的余弦值；3求CE的长．考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量在立体几何中的应用1证明 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D000，E，C010，F，G.所以＝，＝，＝，＝.因为·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥，即EF⊥CF.2解 因为·＝×1＋×0＋×＝，||＝＝，||＝＝，所以cos〈，〉＝＝＝.又因为异面直线所成角的范围是0°，90°]，所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.3解 |CE|＝||＝＝.反思与感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．跟踪训练3 如图，在直三棱柱侧棱垂直于底面的棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．1求BN的长；2求A1B与B1C所成角的余弦值．考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量在立体几何中的应用解 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.1依题意得B010，N101，∴||＝＝，∴线段BN的长为.2依题意得A1102，C000，B1012，∴＝－11，－2，＝0，－1，－2，∴·＝－1×0＋1×－1＋－2×－2＝
3.又||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝.又异面直线所成角为锐角或直角，故A1B与B1C所成角的余弦值为.1．已知M5，－12，A42，－1，O为坐标原点，若＝，则点B的坐标应为 A．－13，－3B．911C．1，－33D．－9，－1，－1考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 B解析 ＝＝－，＝＋＝911．2．若△ABC的三个顶点坐标分别为A1，－21，B423，C6，－14，则△ABC的形状是 A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 A解析 ＝342，＝513，＝2，－31．由·＞0，得A为锐角；由·＞0，得C为锐角；由·＞0，得B为锐角．所以△ABC为锐角三角形．3．已知a＝2，－31，则下列向量中与a平行的是 A．111B．－46，－2C．2，－35D．－2，－35考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 B解析 若b＝－46，－2，则b＝－22，－31＝－2a，所以a∥b.4．已知向量a＝110，b＝－102，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是 A．1B.C.D.考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 D解析 依题意得ka＋b·2a－b＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.5．已知A2，－51，B2，－24，C1，－41，则向量与的夹角为________．考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 解析 ∵＝033，＝－110，∴||＝3，||＝，·＝0×－1＋3×1＋3×0＝3，∴cos〈，〉＝＝，又∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.1．在空间直角坐标系中，已知点Ax1，y1，z1，Bx2，y2，z2，则＝x2－x1，y2－y1，z2－z1．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．2．两点间的距离公式若Ax1，y1，z1，Bx2，y2，z2，则|AB|＝||＝＝.3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．
一、选择题1．已知a＝1，－21，a＋b＝－12，－1，则b等于 A．2，－42B．－24，－2C．－20，－2D．21，－3考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 B2．已知直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是 A．a＝B．a＝kC．a＝p＋λD．以上均不能考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 D3．已知a＝15，－2，b＝m2，m＋2，若a⊥b，则m的值为 A．0B．6C．－6D．±6考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 B解析 ∵a⊥b，∴1×m＋5×2－2m＋2＝0，解得m＝
6.4．已知a＝101，b＝－2，－11，c＝310，则|a－b＋2c|等于 A．3B．2C.D．5考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 A解析 a－b＋2c＝930，|a－b＋2c|＝
3.5．已知向量a＝3，－21，b＝－240，则4a＋2b等于 A．1604B．8，－164C．8164D．804考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 D解析 4a＋2b＝43，－21＋2－240＝12，－84＋－480＝804．6．已知向量a＝2x13，b＝1，－2y9，若a与b为共线向量，则 A．x＝1，y＝1B．x＝，y＝－C．x＝，y＝－D．x＝－，y＝考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 C解析 ∵a＝2x13与b＝1，－2y9共线，∴＝＝y≠0，∴x＝，y＝－.7．若Am＋1，n－13，B2m，n，m－2n，Cm＋3，n－39三点共线，则m＋n的值为 A．0B．－1C．1D．－2考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 A解析 因为＝m－11，m－2n－3，＝2，－26，由题意得∥，所以＝＝，所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝
0.
二、填空题8．已知a＝2，－30，b＝k03，〈a，b〉＝120°，则k＝________.考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 －解析 ∵a·b＝2k，|a|＝，|b|＝，且k＜0，∴cos120°＝，∴k＝－.9．已知向量a＝123，b＝x，x2＋y－2，y，并且a，b同向，则x＋y的值为________．考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 4解析 由题意知a∥b，所以＝＝，即把
①代入
②得x2＋x－2＝0，即x＋2x－1＝0，解得x＝－2或x＝
1.当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝
3.当时，b＝－2，－4，－6＝－2a，向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．当时，b＝123＝a，a与b同向，所以此时x＋y＝
4.10．已知A1，－12，B5，－62，C13，－1，则在上的投影为________．考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 －4解析 ∵＝5，－62－1，－12＝4，－50，＝13，－1－1，－12＝04，－3，∴cos〈，〉＝＝－，在上的投影为||cos〈，〉＝×＝－
4.11．已知向量a＝531，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_____________．考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 ∪解析 由已知得a·b＝5×－2＋3t＋1×＝3t－，因为a与b的夹角为钝角，所以a·b0，即3t－0，所以t.若a与b的夹角为180°，则存在λ0，使a＝λbλ0，即531＝λ，所以所以t＝－，故t的取值范围是∪.
三、解答题12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.1求四棱锥P-ABCD的体积；2若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算解 1∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，∴OA＝OC＝，BO＝OD＝1，S菱形ABCD＝×2×2＝
2.在Rt△POB中，∠PBO＝60°，∴PO＝OB·tan60°＝.∴VP－ABCD＝S菱形ABCD·PO＝×2×＝
2.2如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则B100，C0，，0，D－100，A0，－，0，P00，．∴E，∴＝，＝.∴·＝0＋0＋×－＝－，||＝，||＝.∴cos〈，〉＝＝＝－.∵异面直线所成的角为锐角或直角，∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为.13．已知a＝15，－1，b＝－235．1当λa＋b∥a－3b时，求实数λ的值；2当a－3b⊥λa＋b时，求实数λ的值．考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算解 ∵a＝15，－1，b＝－235，∴a－3b＝15，－1－3－235＝15，－1－－6915＝7，－4，－16，λa＋b＝λ15，－1＋－235＝λ，5λ，－λ＋－235＝λ－25λ＋3，－λ＋5．1∵λa＋b∥a－3b，∴＝＝，解得λ＝－.2∵a－3b⊥λa＋b，∴7，－4，－16·λ－25λ＋3，－λ＋5＝0，即7λ－2－45λ＋3－16－λ＋5＝0，解得λ＝.
四、探究与拓展14．已知三角形的顶点是A1，－11，B21，－1，C－1，－1，－2．则这个三角形的面积为________．考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 解析 由题意得＝12，－2，＝－20，－3，∴||＝＝3，∴||＝＝，∴·＝12，－2·－20，－3＝－2＋6＝4，∴cosA＝cos〈，〉＝＝＝，∴sinA＝＝，S△ABC＝||||·sinA＝.15．已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证＋＋≤
4.考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算证明 设m＝，，，n＝111，则|m|＝4，|n|＝，由题意知m·n≤|m||n|，即＋＋≤
4.当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时，取“＝”号．。
个人认证
优秀文档
获得点赞 0
