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3.5 1什么是绝对值三角不等式?它的几何意义是什么? 2怎样求解形如|x|<a型、|x|>a型、|ax+b|≤c型、|ax+b|≥c型、|x-a|+|x-b|≤c型、|x-a|+|x-b|≥c型的不等式?3怎样利用分类讨论求解含参数的绝对值不等式? 1.绝对值三角不等式1实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.2对于任意两个实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别为A,B,那么|a-b|的几何意义是数轴上A,B两点之间的距离,即线段AB的长度.3定理1如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.几何解释用向量a,b分别替换a,b.
①当a与b不共线时,有|a+b||a|+|b|,其几何意义为三角形的两边之和大于第三边.
②若a,b共线,当a与b同向时,|a+b|=|a|+|b|,当a与b反向时,|a+b||a|+|b|.由于定理1与三角形之间的这种联系,故称此不等式为绝对值三角不等式.
③定理1的推广如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.4定理2如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.当且仅当a-bb-c≥0时,等号成立.[点睛] 绝对值不等式|a-c|≤|a-b|+|b-c|的几何解释是在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|;当点B不在点A,C之间时,|a-c|<|a-b|+|b-c|.利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.2.含绝对值的不等式解法1形如|x|<a型与|x|>a型不等式的解法不等式a>0a=0a<0|x|<a{x|-a<x<a}∅∅|x|>a{x|x>a或x<-a}{x|x≠0}R2形如|ax+b|≤cc>0和|ax+b|≥cc>0型不等式的解法
①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;
②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.3形如|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解.
②以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解,体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的正、负性进而去掉绝对值符号是解题关键.
③构造函数,结合函数的图象求解.[点睛] 1|x-a|±|x-b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a,b的点的距离之和差.2形如|x-a|<|x-b|、|x-a|>|x-b|a≠b型的不等式可通过两边平方去绝对值符号的方法求解.1.判断下列命题是否正确.正确的打“√”,错误的打“×”1不等式|a|-|b|≤|a+b|等号成立的条件是ab≤0 2不等式|a-b|≤|a|+|b|等号成立的条件是ab≤0 3当ab≥0时,|a+b|=|a|+|b|成立 答案1× 2√ 3√2.不等式|2x+1|>3的解集为 A.-12 B.-∞,-1∪2+∞C.-∞,-2∪1,+∞D.-21答案C3.不等式|2x-1|+|x+1|>2的解集为 A.-∞,0∪B.C.-∞,-1∪D.-∞,0答案A4.若存在实数x,使不等式|x-a|+|x-1|≤3能成立,则实数a的取值范围是________.答案[-24]绝对值三角不等式定理的应用[典例] 1设ab<0,a,b∈R,则下列不等式正确的是 A.|a+b|>|a-b| B.|a-b|<|a|+|b|C.|a+b|<|a-b|D.|a-b|<||a|-|b||2以下四个命题
①若a,b∈R,则|a+b|-2|a|≤|a-b|;
②若|a-b|<1,则|a|<|b|+1;
③若|x|<2,|y|>3,则<;
④若AB≠0,则lg≥lg|A|+lg|B|.其中正确的命题有 A.4个B.3个C.2个D.1个[解析] 1法一取a=1,b=-2,则满足ab=-2<0,这样有|a+b|=|1-2|=1,|a-b|=|1--2|=3,|a|+|b|=1+2=3,||a|-|b||=|1-2|=1,∴只有选项C成立,而A、B、D都不成立.故选C.法二由ab<0得a,b异号,易知|a+b|<|a-b|,|a-b|=|a|+|b|,|a-b|>||a|-|b||,∴选项C成立,A、B、D均不成立.故选C.2|a+b|=|b-a+2a|≤|b-a|+2|a|=|a-b|+2|a|,∴|a+b|-2|a|≤|a-b|,
①正确;1>|a-b|≥|a|-|b|,∴|a|<|b|+1,
②正确;|y|>3,∴<.又∵|x|<2,∴<,
③正确;2=|A|2+|B|2+2|A||B|≥2|A||B|+2|A||B|=|A||B|,∴2lg≥lg|A||B|.∴lg≥lg|A|+lg|B|,
④正确.故选A.[答案] 1C 2A应用绝对值三角不等式定理的三个注意点1两端的等号成立的条件在解题时经常用到,特别是用此定理求函数的最大小值时.2该定理可以推广为|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|,也可强化为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,它们经常用于含绝对值的不等式的推证.3当ab≥0时,|a+b|=|a|+|b|;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|. [活学活用]1.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是 A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n解析选D ∵|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,∴m=≤=1,n=≥=1,∴m≤1≤n.故选D.2.对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为________.解析法一|x-2y+1|=|x-1-2y-2-2|≤|x-1|+2|y-2|+2≤1+2+2=5,当且仅当x=0,y=3时,|x-2y+1|取最大值
5.法二∵|x-1|≤1,∴-1≤x-1≤1,∴0≤x≤
2.又∵|y-2|≤1,∴-1≤y-2≤1,∴1≤y≤3,从而-6≤-2y≤-
2.由同向不等式的可加性可得-6≤x-2y≤0,∴-5≤x-2y+1≤1,∴|x-2y+1|的最大值为
5.答案5含绝对值的不等式的解法[典例] 1设x∈R,则不等式|x-3|<1的解集为_______.2解关于x的不等式|x-1|+|x+2|≥
5.[解析] 1|x-3|<1⇔-1<x-3<1⇔2<x<4,故不等式|x-3|<1的解集为24.[答案] 242解[法一 不等式的几何意义法]如图,设数轴上与-21对应的点分别是A,B,则不等式的解就是数轴上到A,B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然,区间[-21]不是不等式的解集.把A向左移动一个单位到点A1,此时|A1A|+|A1B|=1+4=
5.把点B向右移动一个单位到点B1,此时|B1A|+|B1B|=5,故原不等式的解集为-∞,-3]∪[2,+∞.[法二 零点分段法]原不等式|x-1|+|x+2|≥5⇔或或解得x≤-3或x≥2,∴原不等式的解集为-∞,-3]∪[2,+∞.[法三 构造函数法]将原不等式转化为|x-1|+|x+2|-5≥
0.令fx=|x-1|+|x+2|-5,则fx=作出函数的图象,如图所示.由图象可知,当x∈-∞,-3]∪[2,+∞时,y≥0,∴原不等式的解集为-∞,-3]∪[2,+∞.解绝对值不等式的基本方法1利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式;2当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式;3利用绝对值的几何意义,数形结合求解.若两个绝对值中x的系数为1或可化为1,可选用几何法或图象法求解较为简洁;若x的系数不全为1,则选用零点分段讨论法求解,同时注意端点值的取舍. [活学活用]解关于x的不等式1|2x-1|+|3x+2|<11;2|x+3|-|2x-1|<+
1.解1当x>时,原不等式等价于2x-1+3x+2<11,即<x<2;当-≤x≤时,原不等式等价于1-2x+3x+2<11,即-≤x≤;当x<-时,原不等式等价于1-2x-3x-2<11,即-<x<-.所以,原不等式的解集为.2
①当x<-3时,原不等式化为-x+3-1-2x<+1,解得x<10,∴x<-
3.
②当-3≤x<时,原不等式化为x+3-1-2x<+1,解得x<-,∴-3≤x<-.
③当x≥时,原不等式化为x+3-2x-1<+1,解得x>2,∴x>
2.综上可知,原不等式的解集为.利用绝对值三角不等式求最值[典例] 已知a,b∈R,且|a+b+1|≤1,|a+2b+4|≤
4.求|a|+|b|的最大值.[解] |a+b|=|a+b+1-1|≤|a+b+1|+1≤2,|a-b|=|3a+b+1-2a+2b+4+5|≤3|a+b+1|+2|a+2b+4|+5≤3+2×4+5=
16.
①若ab≥0,则|a|+|b|=|a+b|≤2;
②若ab<0,则|a|+|b|=|a-b|≤
16.而当即a=8,b=-8时,|a|+|b|取得最大值,且|a|+|b|=|a-b|=
16.求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强,本题直接求|a|+|b|的最大值比较困难,可采用求|a+b|,|a-b|的最值,及ab≥0时,|a|+|b|=|a+b|,ab<0时,|a|+|b|=|a-b|的定理,达到目的,其巧妙之处令人赞叹不已.求y=|x+m|+|x+n|和y=|x+m|-|x+n|的最值,其主要方法有
①借助绝对值的定义,即零点分段;
②利用绝对值几何意义;
③利用绝对值不等式性质定理. [活学活用]1.求函数fx=|x-1|+|x+1|的最小值.解∵|x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|≥|1-x+x+1|=2,当且仅当1-x1+x≥0,即-1≤x≤1时取等号.∴当-1≤x≤1时,函数fx=|x-1|+|x+1|取得最小值
2.2.求函数y=|x-4|-|x+3|的最大值和最小值.解法一∵||x-4|-|x+3||≤|x-4-x+3|=7,∴-7≤|x-4|-|x+3|≤7,∴ymax=7,ymin=-
7.法二把函数看作分段函数y=|x-4|-|x+3|=∴-7≤y≤
7.∴ymax=7,ymin=-
7.含参数的绝对值不等式问题[典例] 已知不等式|x+1|-|x-3|a.1若不等式有解,则实数a的取值范围为________;2若不等式的解集为R,则实数a的取值范围为__________.[解析] 因为|x+1|-|x-3|表示数轴上的点Px与两定点A-1,B3距离的差,即|x+1|-|x-3|=PA-PB.由绝对值的几何意义知,PA-PB的最大值为AB=4,最小值为-AB=-4,即-4≤|x+1|-|x-3|≤
4.1若不等式有解,a只要比|x+1|-|x-3|的最大值小即可,故a
4.2若不等式的解集为R,即不等式恒成立,只要a比|x+1|-|x-3|的最小值还小,即a-
4.法二由||x+1|-|x-3||≤|x+1-x-3|=4,可得-4≤|x+1|-|x-3|≤
4.1若不等式有解,则a
4.2若不等式的解集为R,则a-
4.[答案] 1-∞,4 2-∞,-4不等式有解是含参数的不等式存在性问题,只要求存在满足条件的x即可;不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题,而不等式的解集为∅的对立面如fxm的解集是空集,则fx≤m恒成立也是不等式的恒成立问题,此两类问题都可转化为最值问题,即fxa恒成立⇔afxmax,fxa恒成立⇔afxmin. [活学活用]1.若不等式|2a-1|≤对一切非零实数x恒成立,则实数a的取值范围为________.解析=|x|+≥2,当且仅当|x|=1时,min=
2.要使不等式恒成立,只要|2a-1|≤2即可,则由-2≤2a-1≤2,得-≤a≤.答案2.若关于x的不等式|2+x|+|x-a|<5有解,则实数a的取值范围是_________.解析由题意得,关于x的不等式|2+x|+|x-a|<5有解,所以|2-x|+|x-a|的最小值小于5,而|2+x|+|x-a|表示数轴上的x对应点到a,-2对应点的距离之和,它的最小值为|a+2|,所以有|a+2|<5,可得-7<a<
3.答案-73利用绝对值三角不等式证明不等式[典例] 1已知实数x,y满足|x+y|<,|2x-y|<,求证|y|<.2已知a,b∈R且a≠0,求证≥-.[证明] 1因为3|y|=|3y|=|2x+y-2x-y|≤2|x+y|+|2x-y|,由题设知|x+y|<,|2x-y|<,从而3|y|<+=,所以|y|<.2
①若|a|>|b|,左边==≥=.∵≤,≤,∴+≤.∴左边≥=右边.
②若|a||b|,左边0,右边0,∴原不等式显然成立.
③若|a|=|b|,原不等式显然成立.综上可知,原不等式成立.含绝对值不等式的证明题主要分两类一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式性质定理||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明. [活学活用]若fx=x2-x+cc为常数,|x-a|<1,求证|fx-fa|<2|a|+1.证明|fx-fa|=|x2-x+c-a2-a+c|=|x2-x-a2+a|=|x-ax+a-1|=|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+11+2|a|+1=2|a|+1.层级一 学业水平达标1.若0<b<a<1,则下列结论中不正确的是 A.logab>logbaB.|logab+logba|>2C.logba2<1D.|logab|+|logba|>|logab+logba|解析选D 因为0<b<a<1,所以logab>0,logba>0,由绝对值的有关性质可得|logab+logba|=|logab|+|logba|,所以应选D.2.不等式3≤|5-2x|<9的解集为 A.[-21∪[47 B.-21]∪47]C.-2,-1]∪[47D.-21]∪[47解析选D 由3≤|5-2x|<9,得3≤5-2x<9或-9<5-2x≤-3,解得-2<x≤1或4≤x<7,故选D.3.若关于x的不等式|x+1|+|x-2|+m-7>0的解集为R,则实数m的取值范围为 A.4,+∞B.[4,+∞C.-∞,4D.-∞,4]解析选A 令fx=|x+1|+|x-2|,则fx=|x+1|+|x-2|≥|x+1+2-x|=3;因为关于x的不等式|x+1|+|x-2|+m-7>0的解集为R⇔3+m-7>0,解得m∈4,+∞.故选A.4.若|a-c|<b,则下列不等式不成立的是 A.|a|<|b|+|c|B.|c|<|a|+|b|C.b>|c|-|a|D.b<||a|-|c||解析选D ∵|a-c|<b,令a=1,c=2,b=
3.则|a|=1,|b|+|c|=5,∴|a|<|b|+|c|成立.|c|=2,|a|+|b|=4,∴|c|<|a|+|b|成立.||c|-|a||=||2|-|1||=1,∴b>||c|-|a||成立.故b<||a|-|c||不成立.5.若a>0,则使不等式|x-4|+|x-3|<a在R上的解集不是空集的a的取值范围是 A.0<a<1B.a=1C.a>1D.以上均不对解析选C 由|x-3|+|x-4|≥|x-3-x-4|=1,当a≤1时,|x-4|+|x-3|<a的解集为∅,故使不等式|x-4|+|x-3|<a在R上的解集不是空集的a的取值范围是a>1,故选C.6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是________,最小值是________.解析∵|a|≤3,|b|≤2,∴-3≤a≤3,-2≤b≤2,∴-5≤a+b≤5,故0≤|a+b|≤
5.答案5 07.不等式|2x-1|-x<1的解集是________.解析原不等式等价于|2x-1|<x+1⇔-x-1<2x-1<x+1⇔⇔0<x<
2.答案{x|0<x<2}8.不等式|2x+1|-|x-1|>2的解集为____________.解析原不等式等价于或或解不等式组最后取并集可得解集为-∞,-4∪.答案-∞,-4∪9.设m,ε>0,|x-a|<,|y-b|<,|a|≤m,|y|≤m,求证|xy-ab|<mε.证明|xy-ab|=|xy-ay+ay-ab|≤|xy-ay|+|ay-ab|=|yx-a|+|ay-b|=|y||x-a|+|a||y-b|<m×+m×=mε.∴|xy-ab|<mε.10.设函数fx=|x-1|+|x-a|,a∈R.1当a=4时,求不等式fx≥5的解集;2若fx≥4对x∈R恒成立,求a的取值范围.解1当a=4时,由不等式fx≥5得|x-1|+|x-4|≥5,因为在数轴上到点1和4的距离之和等于5的点为0和5,所以|x-1|+|x-4|≥5的解集为{x|x≤0或x≥5}.2因为fx=|x-1|+|x-a|≥|a-1|,所以若不等式fx≥4对x∈R恒成立,则|a-1|≥4,解得{a|a≤-3或a≥5}.层级二 应试能力达标1.不等式|2-x|+2>x的解集是 A.-∞,2 B.-∞,+∞C.2,+∞D.-∞,2∪2,+∞解析选A |2-x|+2>x可化为|x-2|>x-2,则x-2<0,解得x<2,即不等式|2-x|+2>x的解集为-∞,2.故选A.2.已知|x|<1,|y|<1,下列各式成立的是 A.|x+y|+|x-y|>2B.x2+y2<1C.x+y<1D.xy+1>x+y解析选D 可用排除法.对于A选项,当x=y=0时,|x+y|+|x-y|>2不成立;对于B选项,当x=y=时,x2+y2=1,所以x2+y2<1不成立;对于C选项,当x=y=时,x+y=1,所以x+y<1不成立;故选D.3.若关于x的不等式|x+1|≥kx恒成立,则实数k的取值范围是 A.-∞,0]B.[-10]C.
[01]D.[0,+∞解析选C 作出y=|x+1|与l1y=kx的图象如图,当k<0时,直线一定经过第
二、四象限,从图看出明显不恒成立;当k=0时,直线为x轴,符合题意;当k0时,要使|x+1|≥kx恒成立,只需k≤
1.综上可知k∈
[01].故选C.4.已知函数fx=|x+1|+|x-a|,若不等式fx≥6的解集为-∞,-2]∪[4,+∞,则a的值为 A.-7或3B.-7或5C.3D.3或5解析选C 当x=-2时,由|-2+1|+|-2-a|=6,即|a+2|=5得a=3或a=-7;当a=4时,由|4+1|+|4-a|=6,即|4-a|=1得a=5或a=
3.综上可知a=3,故选C.5.关于x不等式x+|2x+3|≥3的解集是___________.解析当x≥-,不等式为3x+3≥3⇒x≥0,当x<-,不等式为x-2x-3≥3⇒x≤-6,故不等式的解为{x|x≤-6或x≥0}.答案{x|x≤-6或x≥0}6.已知函数fx=|x+a|+|x-2|,fx≤|x-4|的解集为A,若
[12]⊆A,则实数a的取值范围为________.解析由1≤x≤2,不等式|x+a|+|x-2|≤|x-4|可化为|x+a|+2-x≤4-x,即|x+a|≤2,所以-a-2≤x≤2-a,即要使
[12]⊆A,借助数轴可得解得-3≤a≤0,因此a的取值范围是[-30].答案[-30]7.已知函数fx=|x+6|-|m-x|m∈R.1当m=3时,求不等式fx≥5的解集;2若不等式fx≤7对任意实数x恒成立,求m的取值范围.解1当m=3时,fx≥5即|x+6|-|x-3|≥5,
①当x<-6时,得-9≥5,所以x∈∅;
②当-6≤x≤3时,得x+6+x-3≥5,即x≥1,所以1≤x≤3;
③当x>3时,得9≥5,成立,所以x>
3.故不等式fx≥5的解集为{x|x≥1}.2因为|x+6|-|m-x|≤|x+6+m-x|=|m+6|.由题意得|m+6|≤7,则-7≤m+6≤7,解得-13≤m≤1,故m的取值范围是[-131].8.已知函数fx=|x+1|,gx=2|x|+a.1当a=-1时,解不等式fx≤gx;2若存在x0∈R,使得fx0≥gx0,求实数a的取值范围.解1当a=-1时,不等式fx≤gx,即|x+1|≤2|x|-1,从而即x≤-1,或即-1<x≤-,或即x≥
2.从而不等式fx≤gx的解集为.2存在x0∈R,使得fx0≥gx0,即存在x0∈R,使得|x0+1|≥|x0|+,即存在x0∈R,使得≤|x0+1|-|x0|.设hx=|x+1|-|x|=则hx的最大值为1,因而≤1,即a≤
2.故实数a的取值范围为-∞,2].时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.二次不等式ax2+bx+c0的解集是全体实数的条件是 A. .C..解析选D 结合二次函数的图象,可知若ax2+bx+c0,则2.不等式组所表示的平面区域是 解析选D 不等式x-y+5≥0表示的区域为直线x-y+5=0及其右下方的区域,不等式x+y+10表示的区域为直线x+y+1=0右上方的区域,故不等式组表示的平面区域为选项D.3.已知ab|a|,则 A.B.ab1C.1D.a2b2解析选D 由ab|a|,可知0≤|b||a|,由不等式的性质可知|b|2|a|2,所以a2b2,故选D.4.若-4x1,则fx= A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值-1D.有最大值-1解析选D fx==,又∵-4x1,∴x-
10.∴-x-
10.∴fx=-≤-
1.当且仅当x-1=,即x=0时等号成立.5.已知关于x的不等式|2x-m|≤1的整数解有且仅有一个值为2其中m∈N*,则关于x的不等式|x-1|+|x-3|≥m的解集为 A.-∞,0]B.[4,+∞C.04]D.-∞,0]∪[4,+∞解析选D 由不等式|2x-m|≤1,可得≤x≤,∵不等式的整数解为2,∴≤2≤,解得3≤m≤
5.再由不等式仅有一个整数解2,∴m=
4.问题转化为解不等式|x-1|+|x-3|≥4,当x≤1时,不等式为1-x+3-x≥4,解得x≤0;当1<x≤3时,不等式为x-1+3-x≥4,解得x∈∅.当x>3时,不等式为x-1+x-3≥4,解得x≥
4.综上,不等式解为-∞,0]∪[4,+∞.故选D.6.若关于x的不等式x2-4x-2-a0在区间14内有解,则实数a的取值范围是 A.-∞,-2B.-2,+∞C.-6,+∞D.-∞,-6解析选A 令gx=x2-4x-2,x∈14,则不等式x2-4x-2-a0在区间14内有解等价于agxmax,又gxmax=g4=-2,所以a-
2.7.不等式组的解集为D,下列命题中正确的是 A.∀x,y∈D,x+2y≤-1B.∀x,y∈D,x+2y≥-2C.∀x,y∈D,x+2y≤3D.∀x,y∈D,x+2y≥2解析选B 画出不等式组所表示的区域如图所示,作直线l x+2y=0,平移l,从而可知当经过点A,即x=2,y=-1时,x+2ymin=0,即x+2y≥0,故只有B成立,故选B.8.已知x0,y0,若不等式2log[a-1x+ay]≤1+logxy恒成立,则4a的最小值为 A.B.C.+2D.+解析选C 由于2log[a-1x+ay]≤1+logxy得log[a-1x+ay]≤+logxy,即log[a-1x+ay]≤log,所以a-1x+ay≥·,所以a≥,整理得a≥,令1+·=t1,则=t-1,所以a≥==,而≤=,所以4a≥+
2.故选C.
二、填空题本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.把答案填在题中横线上9.已知函数fx=,a∈R的定义域为R,则实数a的取值范围是______.解析函数fx=,a∈R的定义域为R,所以|x+1|+|x-a|≥2恒成立,|x+1|+|x-a|几何意义是数轴上的点到-1,a的距离的和,到-1,a的距离的和大于或等于2的a满足a≤-3或a≥
1.答案-∞,-3]∪[1,+∞10.若一次函数fx满足ffx=x+1,则fx=________,gx=x0的值域为________.解析试题分析由已知可设fx=ax+ba≠0,则ffx=aax+b+b=a2x+ab+b,又因为ffx=x+1,所以有⇒故有fx=x+;从而gx==x++1≥2+1=2,当且仅当x=x0即x=时等号成立.故gx的值域为[2,+∞.答案x+ [2,+∞11.当x∈12时,不等式x2+mx+40恒成立,则m的取值范围是________.解析设fx=x2+mx+4,要使x∈12时,不等式x2+mx+40恒成立.则有即解得m≤-
5.答案-∞,-5]12.已知实数x,y满足若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则m的取值范围为________,如果目标函数z=2x-y的最小值为-1,则实数m=________.解析作出可行域如图所示,由解得要使不等式组所表示的平面区域形状为三角形,则点A11在直线x+y=m的左下方,即1+1m,所以m的取值范围为m
2.当目标函数z=2x-y经过点B1,m-1时,z取得最小值-1,即2-m-1=-1,所以m=
4.答案2,+∞ 413.若正实数x,y满足xy+x+2y=6,则xy的最大值为________,x+y的最小值为________.解析因为6=xy+x+2y≥xy+2,所以-+3≤0,≤,即xy≤2,所以xy的最大值为
2.由xy+x+2y=6得x=,0y3,所以x+y=+y=+y+1-3≥4-3,当且仅当=y+1,即y=2-1时取等号,所以x+y的最小值为4-
3.答案2 4-314.已知fx=则不等式fx2-x-5的解集为________.解析先解不等式ft-5,即或解得t≤0或0t2,所以不等式ft-5的解集为-∞,2,所以要求解不等式fx2-x-5的解集,只需求x2-x2,解得-1x2,所以所求解集为-12.答案-1215.已知实数x,y满足则的取值范围为________,的取值范围为________.解析作出可行域如图所示,设直线y=kxx0与曲线y=x2+相切,联立⇒x2-4kx+1=0⇒Δ=16k2-4=0⇒k=,所以∈⇒∈
[12],又==1+=1+,令t=∈
[12],令ft=+=t+,t∈
[12],所以可知ft在[1,上单调递减;ft在,2]上单调递增;所以ftmax=3,ftmin=2,所以的取值范围为.答案
[12]
三、解答题本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16.14分解下列不等式组126-2x≤x2-3x
18.解1原不等式组可化为即0x1,所以原不等式组的解集为{x|0x1}.2原不等式等价于即因式分解,得所以所以-3x≤-2或3≤x
6.所以不等式的解集为{x|-3x≤-2或3≤x6}.17.15分已知函数fx=|2x-a|+|2x+3|,gx=|x-1|+2,1解不等式|gx|<5;2若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得fx1=gx2成立,求实数a的取值范围.解1由||x-1|+2|<5得-5<|x-1|+2<5,∴|x-1|<3,解得-2<x<
4.所以原不等式的解集为{x|-2<x<4}.2因为对任意x1∈R,都有x2∈R,使得fx1=gx2成立,所以{y|y=fx}⊆{y|y=gx},又fx=|2x-a|+|2x+3|≥|2x-a-2x+3|=|a+3|,gx=|x-1|+2≥2,所以|a+3|≥2,从而a≥-1或a≤-
5.故实数a的取值范围为-∞,-5]∪[-1,+∞.18.15分已知fx=x2-x+
1.1当a=时,解不等式fx≤0;2若a0,解关于x的不等式fx≤
0.解1当a=时,有不等式fx=x2-x+1≤0,∴x-2≤0,∴≤x≤2,即所求不等式的解集为.2∵fx=x-a≤0,a0,且方程x-a=0的两根为x1=a,x2=,∴当a,即0a1时,不等式的解集为;当a,即a1时,不等式的解集为;当=a,即a=1时,不等式的解集为{1}.19.15分某公司计划在2017年同时出售变频空调和智能洗衣机,由于这两种产品的市场需求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况如资金、劳动力确定产品的月供应量,以使得总利润最大.已知这两种产品的直接限制因素是资金和劳动力,经调查,得到这两种产品的有关数据如下表每台产品所需资金百元月投入资金百元空调洗衣机成本3020300劳动力工资510110利润68试问怎样确定两种产品的月供应量,才能使总利润最大?最大利润是多少?解设空调、洗衣机的月供应量分别是x台,y台,总利润是z百元,可得即目标函数为z=6x+8y.作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示.由z=6x+8y得y=-x+,由图可得,当直线经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.解方程组得点M的坐标为49,满足x,y∈N,所以zmax=6×4+8×9=
96.答当空调的月供应量为4台,洗衣机的月供应量为9台时,可获得最大利润,最大利润为9600元.20.15分如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知|AB|=3米,|AD|=2米.1要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则AN的长度应在什么范围内?2当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小值.解设AN的长为x米x2,由=,得|AM|=,∴S矩形AMPN=|AN|·|AM|=.1由S矩形AMPN32,得32,又x2,则3x2-32x+640,解得2x或x8,即AN长的取值范围为∪8,+∞.2y===3x-2++12≥2+12=24,当且仅当3x-2=,即x=4时,取等号,∴当AN的长度是4米时,矩形AMPN的面积最小,最小值为24平方米.预习课本,思考并完成以下问题。